2024屆安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗或，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以,且，所以，即，，所以，故選：B4.在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心也是三角形的重心，所以得高為，設(shè)底面半徑為r，由已知得，故體積為.故選：A5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因為是奇函數(shù)，所以，即，解得，故.故選：D6.分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，則一次分形長度為，二次分形長度為，，次分形后線段的長度為，故5次分形后長度，故選：C.7.已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故選：D8.已知正方體的棱長為，分別為棱，上的動點，則四面體的體積最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗過點作交于，連接，又，又平面，且平面，平面，則，設(shè)，，則，，故四面體PQAD的體積，當(dāng)時，其最大值為.故選：A.二、選擇題9.甲乙兩名射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲78795491074乙9578768677則（）A.甲乙兩人射擊成績的平均數(shù)相同B.甲乙兩人射擊成績的中位數(shù)相同C.甲命中環(huán)數(shù)的極差大于乙命中環(huán)數(shù)的極差D.甲比乙射擊成績更穩(wěn)定〖答案〗ABC〖解析〗對A，甲平均數(shù)為，乙平均數(shù)為，故A正確；對B，甲命中環(huán)數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)為7；乙命中環(huán)數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)為7，故B正確；對C，甲的極差為，乙的極差為，故C正確；對D，甲的方差為：，乙的方差為：，，故D錯誤.故選：ABC10.已知，，，A，B兩點不重合，則（）A.的最大值為2B.的最大值為2C.若，最大值為D.若，最大值為4〖答案〗AD〖解析〗A選項，由已知A，B為單位圓上任意兩點，，，A正確；B選項，設(shè)D為的中點，則，由于A，B兩點不重合，所以，則，故B錯誤；C選項，當(dāng)P，A，B共線時，，故C錯誤；D選項，當(dāng)P，A，B共線時，若坐標(biāo)分別為與或與時，兩點重合，此時，若坐標(biāo)不同時為與時，此時⊥，則，故，故D正確.故選：AD11.已知為函數(shù)的極值點，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.在上單調(diào)遞減 B.的極小值為-2C. D.〖答案〗BCD〖解析〗，由，故，所以，.此時，令可得或；令可得.故在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.對A，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯誤；對B，極小值為，故B正確；對C，因為在單調(diào)遞減，故，故C正確；對D，，故D正確.故選：BCD12.已知平行四邊形中，，，，，分別為與的外接圓，上一點，則（）A.，兩點之間的距離的最大值為6B.若直線與，都相切，則直線的斜率為1C.若直線過原點與相切，則直線被截得的弦長為4D.的最大值為〖答案〗BD〖解析〗在平行四邊形中，，，，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，，所以，所以，則，所以，，，所以的方程為：，的方程為：，則，所以，兩點之間距離的最大值為，故A錯誤.由已知，故直線的斜率為，所以B正確.當(dāng)斜率為時，直線被截得的弦長為4，當(dāng)斜率不為0時，直線被截得的弦長不為4，故C錯誤.顯然與相切，當(dāng)與相切（不與重合）時，最大，此時，所以，所以D正確.故選：BD.三、填空題13.在的展開式中，常數(shù)項為_____．〖答案〗〖解析〗常數(shù)項為，系數(shù)為．14.寫出函數(shù)，的一個單調(diào)遞增區(qū)間為________.〖答案〗，或，等〖解析〗因，所以為偶函數(shù)，由，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對稱性可知在上單調(diào)遞增.故〖答案〗為：，或，等.15.過拋物線的焦點的直線與交于、兩點，且，為坐標(biāo)原點，則的面積為________.〖答案〗〖解析〗易知，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此時，又因為原點到直線的距離為，故的面積為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)既有極小值又有極大值，則實數(shù)a的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)既有極小值又有極大值，則在上有兩個不等的實數(shù)根，即有兩個不等的實數(shù)根，所以有兩個不等的實數(shù)根，所以有兩個不等的實數(shù)根，令，，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，故，解得.故〖答案〗為：四、解答題17.如圖，在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，，滿足.（1）求；（2）點D在BC上，，，求AB.解：（1）由已知及正弦定理得：，即.由余弦定理得：，又，所以.故，所以；（2）由（1）知，又，所以，，在△ABD中，由正弦定理得：，所以.18.已知數(shù)列滿足，.（1）記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求.（1）證明：因為，所以，故，故，當(dāng)時，，故，所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列；（2）解：由（1）知：，故，其中，故，設(shè)，故.19.為發(fā)展體育運動增強學(xué)生體質(zhì)，甲乙兩班各5名同學(xué)進(jìn)行羽毛球友誼賽，每人至多參加一場比賽，各場比賽互不影響，比賽勝者本班獲得相應(yīng)積分，負(fù)者班級積分為0，其中甲班5名參賽學(xué)生的情況如下表：學(xué)生ABCDE獲勝概率0.40.50.60.70.8獲勝積分87654（1）若進(jìn)行5場比賽，求甲班至多獲勝4場的概率；（2）若進(jìn)行3場比賽，依據(jù)班級積分期望超過10為參賽資格，請問甲班三人組合是否具有參賽資格？請說明理由.解：（1）記參賽獲勝事件分別用表示，5場全勝的概率為：，甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，故甲班至多獲勝4場的概率為,故甲班至多獲勝4場的概率為0.9328；（2）記三人組合班級得分為，的取值分別為0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得，，，，，，，，，因為，所以BCD三人組合具有參賽資格.20.在矩形ABCD中，，將△ADC沿AC折起至△APC的位置，且.（1）求證：平面平面PBC；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：由已知可得：，，在△PBC中，，故，又，且，平面PAB，平面PAB，平面PAB，因為，所以平面平面PBC；（2）解：取AB、CD的中點O、E，連接OP，OE.因，所以，由（1）知：平面平面ABC，平面平面ABC，平面所以平面ABC.以O(shè)B，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面APC的法向量為，，，，，故，取，，，則，又平面APC的法向量為，.設(shè)二面角的二面角為，則，所以二面角的正弦值為.21.已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）不經(jīng)過點P的直線l與C相交于M，N兩點，且，求證：直線l過定點.（1）解：由已知得：，則，又因為在C上，則，解得，，所以雙曲線C的方程為.（2）證明：若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程，消去y得，由已知，則，且，可得，，又因為，由可得：，整理得：，則，可得，則，由已知l不經(jīng)過點，故，所以，即，可得l：，過定點；若直線l的斜率不存在，設(shè)，，可得，由可得：，又因為，解得，滿足條件，綜上所述：故直線l過定點.22.已知函數(shù)，，若曲線與相切.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線上存在兩個不同點，關(guān)于y軸的對稱點均在圖象上.①求實數(shù)m的取值范圍；②證明：.（1）解：設(shè)曲線與的切點坐標(biāo)為，由，得.故切線方程為：，即，又切線方程為，所以，①且，②設(shè)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，最大值為，由②可得：代入①得：，故，所以遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）①解：由（1）知，故，，，關(guān)于y軸的對稱點為，，由已知得：，，即有兩個不等的實根，，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，又，，，，且，故實數(shù)m的取值范圍是；②證明：不妨設(shè)，要證明，即證，因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，故只需證，又，即證明，令，因為，故，故，在單調(diào)遞減，所以.故，即，所以.安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗或，所以.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以,且，所以，即，，所以，故選：B4.在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心也是三角形的重心，所以得高為，設(shè)底面半徑為r，由已知得，故體積為.故選：A5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因為是奇函數(shù)，所以，即，解得，故.故選：D6.分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，則一次分形長度為，二次分形長度為，，次分形后線段的長度為，故5次分形后長度，故選：C.7.已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故選：D8.已知正方體的棱長為，分別為棱，上的動點，則四面體的體積最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗過點作交于，連接，又，又平面，且平面，平面，則，設(shè)，，則，，故四面體PQAD的體積，當(dāng)時，其最大值為.故選：A.二、選擇題9.甲乙兩名射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲78795491074乙9578768677則（）A.甲乙兩人射擊成績的平均數(shù)相同B.甲乙兩人射擊成績的中位數(shù)相同C.甲命中環(huán)數(shù)的極差大于乙命中環(huán)數(shù)的極差D.甲比乙射擊成績更穩(wěn)定〖答案〗ABC〖解析〗對A，甲平均數(shù)為，乙平均數(shù)為，故A正確；對B，甲命中環(huán)數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)為7；乙命中環(huán)數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)為7，故B正確；對C，甲的極差為，乙的極差為，故C正確；對D，甲的方差為：，乙的方差為：，，故D錯誤.故選：ABC10.已知，，，A，B兩點不重合，則（）A.的最大值為2B.的最大值為2C.若，最大值為D.若，最大值為4〖答案〗AD〖解析〗A選項，由已知A，B為單位圓上任意兩點，，，A正確；B選項，設(shè)D為的中點，則，由于A，B兩點不重合，所以，則，故B錯誤；C選項，當(dāng)P，A，B共線時，，故C錯誤；D選項，當(dāng)P，A，B共線時，若坐標(biāo)分別為與或與時，兩點重合，此時，若坐標(biāo)不同時為與時，此時⊥，則，故，故D正確.故選：AD11.已知為函數(shù)的極值點，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.在上單調(diào)遞減 B.的極小值為-2C. D.〖答案〗BCD〖解析〗，由，故，所以，.此時，令可得或；令可得.故在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.對A，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯誤；對B，極小值為，故B正確；對C，因為在單調(diào)遞減，故，故C正確；對D，，故D正確.故選：BCD12.已知平行四邊形中，，，，，分別為與的外接圓，上一點，則（）A.，兩點之間的距離的最大值為6B.若直線與，都相切，則直線的斜率為1C.若直線過原點與相切，則直線被截得的弦長為4D.的最大值為〖答案〗BD〖解析〗在平行四邊形中，，，，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，，所以，所以，則，所以，，，所以的方程為：，的方程為：，則，所以，兩點之間距離的最大值為，故A錯誤.由已知，故直線的斜率為，所以B正確.當(dāng)斜率為時，直線被截得的弦長為4，當(dāng)斜率不為0時，直線被截得的弦長不為4，故C錯誤.顯然與相切，當(dāng)與相切（不與重合）時，最大，此時，所以，所以D正確.故選：BD.三、填空題13.在的展開式中，常數(shù)項為_____．〖答案〗〖解析〗常數(shù)項為，系數(shù)為．14.寫出函數(shù)，的一個單調(diào)遞增區(qū)間為________.〖答案〗，或，等〖解析〗因，所以為偶函數(shù)，由，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對稱性可知在上單調(diào)遞增.故〖答案〗為：，或，等.15.過拋物線的焦點的直線與交于、兩點，且，為坐標(biāo)原點，則的面積為________.〖答案〗〖解析〗易知，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，故，，又，即，即，所以，，可得，，解得.此時，又因為原點到直線的距離為，故的面積為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)既有極小值又有極大值，則實數(shù)a的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)既有極小值又有極大值，則在上有兩個不等的實數(shù)根，即有兩個不等的實數(shù)根，所以有兩個不等的實數(shù)根，所以有兩個不等的實數(shù)根，令，，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，故，解得.故〖答案〗為：四、解答題17.如圖，在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，，滿足.（1）求；（2）點D在BC上，，，求AB.解：（1）由已知及正弦定理得：，即.由余弦定理得：，又，所以.故，所以；（2）由（1）知，又，所以，，在△ABD中，由正弦定理得：，所以.18.已知數(shù)列滿足，.（1）記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求.（1）證明：因為，所以，故，故，當(dāng)時，，故，所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列；（2）解：由（1）知：，故，其中，故，設(shè)，故.19.為發(fā)展體育運動增強學(xué)生體質(zhì)，甲乙兩班各5名同學(xué)進(jìn)行羽毛球友誼賽，每人至多參加一場比賽，各場比賽互不影響，比賽勝者本班獲得相應(yīng)積分，負(fù)者班級積分為0，其中甲班5名參賽學(xué)生的情況如下表：學(xué)生ABCDE獲勝概率0.40.50.60.70.8獲勝積分87654（1）若進(jìn)行5場比賽，求甲班至多獲勝4場的概率；（2）若進(jìn)行3場比賽，依據(jù)班級積分期望超過10為參賽資格，請問甲班三人組合是否具有參賽資格？請說明理由.解：（1）記參賽獲勝事件分別用表示，5場全勝的概率為：，甲班至多獲勝4場與5場全勝為對立事件，故甲班至多獲勝4場的概率為,故甲班至多獲勝4場的概率為0.9328；（2）記三人組合班級得分為，的取值分別為0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得，，，，，，，，，因為，所以BCD三人組合具有參賽資格.20.在矩形ABCD中，，將△ADC沿AC折起至△APC的位置，且.（1）求證：平面平面PBC；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：由已知可得：，，在△PBC中，，故，又，且，平面PAB，平面PAB，平面PAB，因為，所以平面平面