高中數(shù)學(xué)第一章-集合

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：（1）理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了

解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡單的

集合.

（2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡單不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三部分：

_____I.集合的皙關(guān)怖t;

工合］---------2.集合間的巴含羌

—3.集合同為運(yùn)就.

集合知識(shí)1-即除惘值不EMF技;

“度用2.

1.

2.M命*］呻漫式；

2.充霆條件.

二、知識(shí)回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為AqA；

②空第是任何集合的子集，記為。qA；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果AuB,同時(shí)那么4=8.

如果4仁8,ByC,那么AuC.

［注］:①Z=｛整數(shù)｝（J）Z=｛全體整數(shù)｝（X）

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.（X）（例：S=N；A=N+,

則GA=｛0｝）

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合4=集合B,則C?4=0,C/=0Qs（CAB）=D（注：C./=0）.

3.0｛（x,y）|孫=0,x&R,yWR｝坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②］（x,y）|盯＜0,xGR,yGR｝二、四象限的點(diǎn)集.

?{（x,y）6>0,XCR,yCR}-、三象限的點(diǎn)集.［注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：解的集合{（2,1）}.

\2x-3y=1

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.（例：A={（x,y）|y=x+l}B={y|y=x2+l}貝ljAC8=0）

4.①〃個(gè)元素的子集有2"個(gè).②”個(gè)元素的真子集有2"一1個(gè).③〃個(gè)元素的非空真子

集有2"-2個(gè).

5.⑴①個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題?定為真.否命題=逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若"+"5,則a#2或〃*3應(yīng)是真命題.

解：逆否：〃=2且6=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.

@x*L且yH2,=l^>A-+y片3.

解：逆否：x+y=3Ax=1或y=2.

xW1且yW2Ax+y33,故x+yW3是x#1且yW2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若x>5,=x>5或"2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：AC|8Q{x|xwA,且xe團(tuán)

并：AU8={x|xeA或xe團(tuán)

補(bǔ)：0A={xeU,且xgA}

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系：

AqA,①GA,AGU,Q.AGU,

（2）等價(jià)關(guān)系：=403=4=AUB=8=G，AUB=U

（3）集合的運(yùn)算律：

交換律：AC}B^BC\A;A\JB=B\JA.

結(jié)合律：（An8）nC=An（8nC）；（AU6）UC=AU（BUC）

分配律：.An（BUc）=（An6）u（Anc）；AU（8nc）=（4U8）n（Auc）

0T律：①nA=①，①UA=A,UPlA=UA=U

等幕律：AC\A=A,A\JA=A.

求補(bǔ)律：ACuA=@AUiA=UuU=6u6=UuU（（A）=A

反演律:u（AAB）=（uA）U（?B）u（AUB）=（VA）A（tB）

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(<!>)=0.

基本公式：

(1)card(A\JB)=card(A)+card(B)—card(AC\B)

(2)card(A\JB\jC)-card(A)+card(B)+card(C)

—card(AC\B)—card(BC\C)—card(CQA)

+carJ(AnBnC)

(3)card(uA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為ao(x-x)(x-xz)…(x-x.)〉0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為

了統(tǒng)一方便)②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負(fù)相間)

n1n2

則不等式gx"+alx-+a2x-+…+冊>0(<0)(4>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論;

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0△=0A<0

uu

二次函數(shù)號(hào)

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象-------X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=Ob

X],尤。2<X)%,=x2=----無實(shí)根

(a>0的根22a

ax2+Ox+c>0b

］

{x|x<X或X>x2}<xx^---->

(6Z>0)的解集2aR

2

ax+/?x+c<0<x<x}

20

(。>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為儂>0(或四〈0)；20(或1由〈0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

⑵轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)以立>0Q〃x)g(x)>0;"D>0QVP沮(中皂°

g(x)g(x)[g(x)H0

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：|ax+。|<c,與|ax+b\>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

-一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單

命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq”);P且q(記作“pAq”);非P(記

作"-1q")。

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反：

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；

(3)“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P;

否命題：若lP則rq；逆否命題：若Fq則1P。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命原命題互逆逆命題

者P則q

題；互若q則P

為否

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命互逆互

題是逆否命題.否逆否

為

否

5、四種命題之間的相互關(guān)系：互

否命題逆否命題

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：若1P則iq互逆若1q則1P

(原命題Q逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=>q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=>q且q=>p,則稱p是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與己知、公理、定理…)矛盾，從而否

定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)惠的概念，掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

(5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.

§02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):

定義F:A一百

.反函數(shù)

映身寸舟殳研光圖保

-性質(zhì)

函數(shù)一

二次函數(shù)

4具體函數(shù)指數(shù)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

二、知識(shí)回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與——映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(X)(xeA)的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表

示出，得到x=8(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x=Q(y),x在A中都有唯一

的值和它對(duì)應(yīng)，那么,x=°(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=°(y)

(yeC)叫做函數(shù)丁=/(%)(%￡A)的反函數(shù)，記作尤=/T(y),習(xí)慣上改寫成

y=.f~'(x)

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值XI,X2,

⑴若當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(X])<f(X2),則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)：

⑵若當(dāng)X,<X2時(shí)，都有f(X|)>f(X2),則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)尸f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=Rx)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)產(chǎn)f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)F)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

M-X)=Q0,那么函數(shù)f(X)就叫做偶函數(shù).

/(X)是偶函數(shù)o/(-、)=/(.、)o/(-.x)-/(.x)=0。綱=l(/(.x)=0)

/(■X)

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

-x)hf(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

/(”是奇函數(shù)O/(T)=-/(X)O/(T)+/(K)=0O驍=-1(/(機(jī)0)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)"X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)"-x)=/(x)或

"-0=-/(x)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于、軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果"X)是偶函數(shù)，則〃x)=〃|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，貝U/(O)=O。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù):f(-x)=f(x)

設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(-a,b)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于y軸對(duì)稱，例如：丫=/+1在口廠1)上不是偶函數(shù).

②滿足f(-x)=/(x),或〃-x)-/(x)=O,若/(x)NO時(shí)，#2=1.

f(~x)

⑵奇函數(shù)：/(-x)=-/(%)

設(shè)(4,6)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(-4,-b)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：y=x3在[1,-1)上不是奇函數(shù).

②滿足/(-x)=-/(x),或〃-x)+/(x)=O,若"x)*0時(shí)，-^-=-1.

f(~x)

8.時(shí)稱變換：?y=f(x)州對(duì)稱>y=/(-x)

@y=f(x)詢對(duì)稱〉y=-f(x)

@y=f(x)原點(diǎn)對(duì)稱>y=-f(-x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

，但)一/(七)=曲?一歷”二關(guān)二"；+七[

qX：+b2+Jxj2+b2

在進(jìn)行討論.,

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

X

例如：已知函數(shù)f(x)=1+——的定義域?yàn)锳,函數(shù)/[/■(x)]的定義域是8,則集合A與

1-X

集合B芝間的關(guān)系是.

解：f(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(A-)的值域eR,故BeR,而4={x|xHl},故BnA.

11.常用變換：

①/(x+y)=f(x)f(y)Of(x-y)=l^-.

/(>,)

證：f(x-y)=o/(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

/(x)

②心)=〃x)-〃y)Q-(x)+f(y)

y

證：f(x)=/(-->')=/(-)+/(>')

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0.且。W1)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖

象

(1)定義域：R

性(2)值域:(0,+8)

質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=l

(4)x>0時(shí)，y>l;x<0H'h0<y<l(400時(shí),0勺〈1鵬〈0

時(shí)，y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)尸的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

loga(M-N)=log“M+log”N°)

M

log”—=log”M-log。N

N

n,2)

logaM=n\oga(±M)

log。'y[M=-logrtM

n

N=N

換底公式：log“N=?&d

log"

推論：log?b-log；,c-logca=1

=bg,“a2?log”？的?…?log。-a?=log%a,,

(以上MAO,NA0,a”0,a工l,bA0,bwl,cA0,cHl,a1,a2...anA0且手1)

注⑴：當(dāng)凡bY0時(shí)，log(6/-b)=log(-?)+log(-/?).

⑵：當(dāng)M〉0時(shí)，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M?0,而MYO,故取“一”.

例如:log"x2w2k)g〃x;(21og?X中x>0而log,*中x6R).

(2)y=a，(">0,。工1)與y=log〃x互為反函數(shù).

當(dāng)心1時(shí)，y=log。x的a值越大,越靠近x軸;當(dāng)OYaYl時(shí),則相反.

(四)方法總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log.(M-N)=log“"+log“N8

M

log”—=log“M-log“N

N

,l,2)

logaM=nlog?(±A/)

log。y[M=-log。M

n

aM=N

換底公式：Iog?N=3M

log/,a

推論：log”b-loghc-logca=1

=log/02?log巴內(nèi).…?log%-a”=logq%

(以上M>0,N>0,aA0,aHl,bA0,bwl,cA0,cwl,aj,a2...anAO且Ml)

注⑴：當(dāng)YO時(shí)，log(?-b)=log(-tz)+log(-/?).

(2)：當(dāng)MAO時(shí),取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M?0,而MYO,故取“一”.

22

例如:logaX^2\ogaxv(2logax中x>0而logax中無￡R).

(2))=。"(aA0,〃)與y=log°x互為反函數(shù).

當(dāng)aAl時(shí)，y=log.x的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYQYI時(shí)，則相反.

(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

a>l0<a<l

y~k>g.x0A.i一一一^~?

'"T--------------

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0

(4)x￡(°」)時(shí)y<0xe(0,l)時(shí)y>0

Xe(1,+8)時(shí)y>0xG(1,+8)時(shí)y<0

(5)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對(duì)數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)幕的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義

等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②''判別式法”；③反函數(shù)法：④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的判定法:①設(shè)X1,X2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且X1<X2；②判定f(X1)

與f(X2)的大?。虎圩鞑畋容^或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)

系：①f(-X)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶;f(x)+f(-X)=0

為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-X)=T為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線：②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)

際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡單的實(shí)

際問題.

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義冊+1一冊=《巴旦=q(qW0)

品

遞推公a,,=a?_!+d；an=a,?_?+md

?！ǘ訽]夕；a=aqn~m

式nm

通項(xiàng)公a=%+(〃一l)d

na=diq"”(%,qW0)

式n

中項(xiàng)

A_an-k+"〃+女G=±y]a?-ka(a,,_a>0)

2n+kkn+k

(n,keN"k>Q)

前"項(xiàng)

Sn=^(a\+?！?叫(q=l)

和

S?=-

n(n-i)=g2)

Sn=nax+——-——a1—<7\—q

重要性

質(zhì)

a,?+a?=ap+aq(m,n,p,qeN",am-an=apciq(m,n,p,qwN\ni+n=p+q)

m+n=p+q)

1.（1）等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

｛?！埃秊?-P<=>an+i-an=d(常數(shù))｛冊｝為G?尸=—3吐=q（常數(shù)）

a“

通項(xiàng)公

Q〃=%+(n?l)d=a&+(n?k)d=d〃+〃]?d%=。闖'1=44

式

求和公_〃(由+冊)n(n-l)叫(q=1)

3?———rctii?u

式n2,2

=g/+(%—gnS"='=/一a,q(豐]

\-q-\-q'I

中項(xiàng)公a+b4小2

A-2推廣：2%"f+%+“，G?="。推廣:a,,=a?_mxa?+m

式…

1±

質(zhì)1

若m+n=p+q則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apav。

2

若化J成A.P（其中Z“eN）則｛”｝若化,｝成等比數(shù)列（其中1€等）,

也為A.Po

則｛4.｝成等比數(shù)列。

3

?s“，$2“一%,sin-s2n成等差數(shù)列。%，$2”一s“,s3n-s2n成等比數(shù)列。

4

,a-aa-a、

d=-lt-----L}=-tn-----l-t(zmWn)q"T=4_

n-1m—n%%,

(/nHn)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①a“-a,i=d（〃22,"為常數(shù)）

②2冊=?！?1+?！?1（"22）

③a”=kn+b（n,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:

①%=冊_均（〃22,4為常數(shù),且二0）

②播=冊+1,冊-1（"22,WO）。

注①：i.b=ifac,是a、b、c成等比的雙非條件，B|Jb=4acN^a、8、c等比數(shù)列.

ii.b=-Jac（ac>0）-為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=&忌f為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.8=±而且仇,0-*為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛%｝成等比的充要條件是數(shù)列｛bg.r"“｝（XA1）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛冊｝的前"項(xiàng)和S”與通項(xiàng)冊的關(guān)系：=%（”="

［注］:①="?+（。1-1）（"可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)

列也是等差數(shù)列）一若"不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛〃“｝前n項(xiàng)和S“=g可以為零也可-不為零一為等差

的充要條件f若"為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若"不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③卡零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的好倍

Sk，S2k_Sk，S3k-s2k；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，GeN+）,則S偶也=上；

S偶?n+l

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2"-l（”eN+）,則52“-尸⑵一,“，且$奇Y偶=*，互=」-

=代入〃到2"-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+片也口

2

②『+22+32+…公="("+1)(2"+1)

6

③/+23+33…及3=|"嗎叫

[注]:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999,...=>a?=10"-1；5,55,555,=-(10"-1).

4.等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第?年產(chǎn)量為a,年增長率為r,則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第及年產(chǎn)量為。(l+r)"T,且過"年后總產(chǎn)量為：

、2八、"-1a[a—(l+r)),]

a+a(l+r)+a(l+r)-+...+a(l+r)=———----.

1-(1+/')

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息為廣，每月利息按

復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過"個(gè)月后便成為a(l+r)"元.因此，第二年年初可存款：

a(l+r)12+a(l+r)"+a(l+r)10+...+a(l+r)='"1+')U-.+力].

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為〃元；機(jī)為機(jī)個(gè)月將款全部付清；r為年利率.

mm2m

a(l+r)=x(l+r)"i+X(1+r)-+......%(1+r)+x?(1+r)=x-'Tnx="由+"”

r(l+r)m-1

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴。"+2=Pa“+i+/“(P、4為二階常數(shù))T用特證根方法求解.

具體步驟:①寫出特征方程一=&+4(/對(duì)應(yīng)叫+2，x對(duì)應(yīng)勺用)，并設(shè)二根片,與②若片內(nèi)2

可設(shè)〃兒=。1引+。2月?若肛=32可設(shè)；③由初始值勺％確定?

⑵〃〃=Pa〃_]+r(P、r為常數(shù))?用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)〃

轉(zhuǎn)化為?！?2=尸?！?1+的〃的形式，再用特征根方法求；④?！?'+。2尸"7(公式法)，

由許必確定?

①轉(zhuǎn)化等差，等比：an+l+x=P(a“+x)=Pa“+Px-x=>x=".

P—1

nln

②選彳弋法：an=Pa+r=P(Pan_2+r)+r=…=>a“=(4[+—^—)P~---=(a^x)P~'-x

P—1P—\

2

=P"~'a1+P"~-r+---+Pr+r.

ri—Pa+，■

③用特征方程求解：""":相減，=>〃“+|-P?！?Pa〃Tna〃+i=(P+l)an-Pan,i.

“月味+4

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：C1=」一，C2=%+'一，死產(chǎn)C'2P"T+C1=(%+—J)P"T+'一.

1\-P21p_i"-11p-1l-p

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前.〃項(xiàng)和為S“，在dYO時(shí)，有最大值.如何確定使S“取最大值時(shí)的“值，有

兩種方法：

一是求使冊20必用Y0,成立的”值；二是由S“=弓〃2+(生-?)“利用二次函數(shù)的性質(zhì)求〃

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前"項(xiàng)和可依

照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：1」,3匕...(2”-1)-!-,...

242"

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差小，A的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于nN2的任意自然數(shù),

驗(yàn)證an-an式巴」)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

%

e

2勺+1=an+*_2(4+i=。/“+2)〃N都成立。

a.>

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)心的最值問題：(1)當(dāng)%>0,d<0時(shí)，滿足彳wt)0的項(xiàng)數(shù)m

W0

\a<0

使得s,“取最大值.(2)當(dāng)a,<0,d>0時(shí)，滿足\m的項(xiàng)數(shù)m使得s,“取最小值。在解含絕

［見“+1?0

對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于'」一1其中｛%｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部

分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛a,億｝其中｛%｝是等差數(shù)列，物,｝是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

八+1)

1):1+2+3+…+n=------

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=〃2

「］I2

3)I3+234-----=—n(n+1)

4)I2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2n+l)

6

、1111111

5)------------=-------------------------------=-(Z--------------

〃(九+1)nn4-1n{n4-2)2nn+2

6)—=-^—(---)(P<<7)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(3x+?)的圖像.正切函數(shù)的圖

像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)尸Asin(3x+@)的簡圖，理解A.3、。的物理意義.

(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理.，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sinQ/cosa=tanQJana?cosa=1”.

§04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與a(0°<a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角夕的終邊重合)：

j/?|/7=A:x360o+a,fcez)

②終邊在x軸上的角的集合：團(tuán)夕=kxl80°,kez}

③終邊在y軸上的角的集合：回夕=kxl8(r+90Fez}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：物|P=&x900,&ez}

⑤終邊在尸軸上的角的集合:也|』=

kxl80°+45°,&ez}SINCOS：角函數(shù)值大小關(guān)系圖

1、2、3、4表示第一、二、三、

四段限?半所在區(qū)域

⑥終邊在廣-x軸上的角的集合：帆夕=kxl80°-45°,kez}

⑦若角a與角尸的終邊關(guān)于無軸對(duì)稱，則角a與角力的關(guān)系：a=360°k-/3

⑧若角a與角B的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則角a與角力的關(guān)系:a=360N+180。-4

⑨若角a與角夕的終邊在一條直線匕則角a與角夕的關(guān)系：。=180°&+?

⑩角a與角夕的終邊互相垂直，則角a與角夕的關(guān)系：a=360"+夕±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360。=2萬180。=萬1°=0.017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=g￡°弋57.30°=57°18'.1°=￡弋0.01745(rad)

it180

_11

3、弧長公式：扇形面積公式：5扇形=//r=/附，廠

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域:

三角函數(shù)定義域

f(x)=sirtr\x\x&R}

/(x)=cosx{x|R}

/(x)=taar|X|XGRUx^k7T+^7C,kez|

/(x)=cotv{X|XGR且x工k4、keZ}

f(x)=secxjx|xeR且xk7T+^7C,ke

f(x)=cscx{x1XGR且XWk7T,女wZ}

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：皿=tana*=cota

cosasina

tanacota=lcscasina=lsecacosa=l

sin2a+cos2a=lsec2a-tan2a=1esc2a-cot2a=1

9、誘導(dǎo)公式：

把錚施三角函數(shù)化為頡三角函數(shù)，概括為:

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：(-)基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三

sinx.2