教學(xué)案例-圓與圓的位置關(guān)系

《圓與圓的位置關(guān)系》教學(xué)案例

在講授圓和圓的位置關(guān)系一課中，要求學(xué)生理解圓和圓的位置關(guān)系，會(huì)用連心線與兩圓

半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系。在此基礎(chǔ)上會(huì)用坐標(biāo)法判斷兩圓的位置關(guān)系。由于關(guān)系

式多、雜如何有一種能讓學(xué)生記住的好方法？

一問題探究：首先，我選擇了從動(dòng)態(tài)角度讓學(xué)生直觀感受兩個(gè)圓的位置關(guān)系5種。利用多

媒體輔助進(jìn)行，學(xué)生從直觀感受五種位置的區(qū)別于聯(lián)系。

①④⑤

教師給出定義學(xué)生選擇相應(yīng)圖形：當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)時(shí)兩圓外離①或內(nèi)含⑤，當(dāng)兩圓有一個(gè)公

共點(diǎn)時(shí)兩圓外切②或內(nèi)切④，當(dāng)兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)兩圓相交④。這個(gè)難不倒學(xué)生。如何從

代數(shù)上給出理論說明，圓的兩要素圓心和半徑一定是研究重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從兩圓圓心距離即

連心線與兩圓半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系。學(xué)生從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，根據(jù)圖形運(yùn)動(dòng)

變化，從新認(rèn)識(shí)圖形，探索圓和圓的位置關(guān)系。很快大家得到了兩圓五種位置關(guān)系的表達(dá)式:

①.兩圓外離：d>R+r由圖可知圓心距大于兩半徑之和

②兩圓外切：d=R+r由圖可知圓心距等于兩半徑之和

③兩圓相交：R-r<d<R+r由圖可知圓心距大于兩半徑之差且小于兩半徑之和

④兩圓內(nèi)切：d=R—r由圖可知圓心距等于于兩半徑之差

⑤兩圓內(nèi)含：d<R—r由圖可知圓心距小于兩半徑之差

教師設(shè)計(jì)圖表，學(xué)生填空

位置關(guān)系交點(diǎn)情況圓心距與半徑關(guān)系

外離沒有交點(diǎn)d>R+r

外切有一個(gè)交點(diǎn)d=R+r

相交有兩個(gè)交點(diǎn)R一rVdVR+r

內(nèi)切有一個(gè)交點(diǎn)d=R一r

內(nèi)含沒有交點(diǎn)d<R-r

給大家五分鐘時(shí)間把剛才得到的結(jié)論熟悉一下，班級(jí)里一片噪音放生大背起來，時(shí)間過

后找同學(xué)提問有的偷看，有的沒記住，有的背亂了。有的開始抱怨：“這么多結(jié)論又不一樣,

怎么記??？"我順勢(shì)提出誰能尋找一個(gè)很好的記憶方法把這五個(gè)式子記??？“萬物都有規(guī)律,

找找看吧！看誰的方法好，大家分享一下?！边@時(shí)的我也沒有什么好方法。學(xué)生們自發(fā)討論

起來，拿筆拿本畫著什么。我也在思考……

過了一會(huì)一位同學(xué)笑著很不自信地說，“老師半徑不是加就是減”，“好，你說得對(duì)這是

一個(gè)特征，還有什么特點(diǎn)”，“位置關(guān)系名稱帶外字的圓心距大，位置關(guān)系名稱帶內(nèi)字的圓

心距小，”“噢，那帶外字的半徑相加，越加越大對(duì)應(yīng)大于號(hào)。”順著他的發(fā)現(xiàn)別的同學(xué)也有

啟發(fā)，“帶內(nèi)字的半徑相減，越減越小對(duì)應(yīng)小于號(hào)?！蔽野l(fā)現(xiàn)這個(gè)方法很好，接著問“都成立

嗎？”老師我知道“特殊的帶切字的是等號(hào)?！薄澳銈兊倪@個(gè)方法很好，老師都沒想到，那還

有一個(gè)連不等式怎么記?誰能幫幫老師?！庇忠淮蜗萑氤了?，“三角形兩邊之和大于第三邊，

兩邊之差小于第三邊，兩圓相交”“嗯，你們太聰明了，這個(gè)方法非常好，現(xiàn)在兩分鐘時(shí)間

用剛才的方法把圓和圓的位置關(guān)系表達(dá)式記下來?！贝蠹蚁癖豢谠E似地，邊說邊念叨，我將

表達(dá)式擦掉，叫學(xué)生上來填寫，學(xué)生嘴里念叨著什么帶內(nèi)…、帶外…、帶切…、內(nèi)小外大…。

沒有一個(gè)填錯(cuò)的，我又把關(guān)系式保留，位置關(guān)系擦掉，叫學(xué)生上來填寫，完成的非常好。有

的時(shí)候，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)力、觀察力要強(qiáng)于老師，老師的思維已經(jīng)定勢(shì)，而學(xué)生對(duì)于他們來說，

知識(shí)是新的，他們的認(rèn)識(shí)往往很有創(chuàng)意，我們應(yīng)該創(chuàng)造這樣的機(jī)會(huì)去聆聽他們的見解。

設(shè)計(jì)意圖

從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，根據(jù)圖形運(yùn)動(dòng)變化，學(xué)生從新認(rèn)識(shí)，探索圓與圓的位置

關(guān)系，總結(jié)出圓和圓的五種位置關(guān)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力。

二應(yīng)用舉例

例1：已知圓Ci：r+_y"+2x+8j—8=0,圓C2：x~+—4x—4y—2—0）試判

斷圓Cl與圓C2的位置關(guān)系

（補(bǔ)充）判斷圓Cix"+_y2+2.x—6y—26=0,圓C2：%2+_y~—4x—2y+4=0,試判

斷圓Cl與圓C2的位置關(guān)系，并畫圖說明。

師生活動(dòng)

教師：引導(dǎo)不同層次學(xué)生探究，如何判斷兩元關(guān)系？

學(xué)生：嘗試用不同方法解決。

法一：在同一坐標(biāo)系下面畫出兩個(gè)圓的圖形。

法二：將兩元化成標(biāo)準(zhǔn)方程，分別計(jì)算連心線的長與半徑的和、差比較，可知（1）R-

r<d<R+r,所以兩圓相交；（2）d=R—r,所以兩圓相內(nèi)切。

教師：利用幾何方法，方法簡(jiǎn)單，思路清楚，聯(lián)想到直線和圓位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法,

還有什么方法？

法三：代數(shù)法：要判斷兩圓的位置關(guān)系，只要看他們有幾個(gè)公共點(diǎn)，只需聯(lián)立方程組判

斷有幾組實(shí)數(shù)解即可。聯(lián)立方程組，計(jì)算判別式得（1）大于零，（2）等于零，可知（1）方

程組有兩個(gè)不同的實(shí)根，因此兩圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，即兩圓相交；（2）方程組有兩個(gè)相

同的實(shí)根，因此兩圓有一個(gè)公共點(diǎn)，近一步可判知兩圓內(nèi)切。

教師：有無必要把交點(diǎn)的坐標(biāo)求出來？

學(xué)生：本題只要判斷兩圓位置關(guān)系，故只需求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，不需要求出公共的坐標(biāo),

因此，不必解方程組具體求出實(shí)數(shù)根。

教師：比較著三種方法，那種簡(jiǎn)單？

學(xué)生：幾何法，簡(jiǎn)捷方便，事半功倍。

設(shè)計(jì)意圖

類比直線和圓的位置關(guān)系，掌握判斷兩圓位置關(guān)系的方法，培養(yǎng)學(xué)生類比聯(lián)想能力和知

識(shí)運(yùn)用能力、

四、反饋訓(xùn)練

教材練習(xí)

師生活動(dòng)

教師：讓學(xué)生定時(shí)訓(xùn)練，并巡視發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的問題，找一學(xué)生會(huì)的結(jié)果，根據(jù)學(xué)生答題情

況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

學(xué)生：在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成題目，鞏固剛學(xué)過的知識(shí)并將出現(xiàn)的問題反饋給老師。

設(shè)計(jì)意圖

通過題目訓(xùn)練，進(jìn)一步熟練掌握判斷兩圓位置關(guān)系的方法。

五、歸納小結(jié)

1、三類關(guān)系：兩圓位置關(guān)系的五種情況歸為三類關(guān)系：相離（外離、內(nèi)含）、相交、相

切（外切和內(nèi)切）。

2、兩個(gè)方法：判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系方法：代數(shù)法、幾何法。

3、一個(gè)思想：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

《圓與圓的位置關(guān)系》教學(xué)案例

牡丹江市第五高中

徐敏

小數(shù)除法

教材簡(jiǎn)介：

本單元的主要內(nèi)容有：小數(shù)除以整數(shù)、一個(gè)數(shù)除以小數(shù)、商的近似值、循環(huán)

小數(shù)、用計(jì)算器探索規(guī)律、解決問題。

教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生掌握小數(shù)除法的計(jì)算方法。

2、使學(xué)生會(huì)用“四舍五入”法，結(jié)合實(shí)際情況用“進(jìn)一”法和“去尾”法取商

的近似數(shù)，初步認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)和無限小數(shù)。

3、使學(xué)生能借助計(jì)算器探索計(jì)算規(guī)律，能應(yīng)用探索出的規(guī)律進(jìn)行小數(shù)乘除法的

計(jì)算。

4、使學(xué)生體會(huì)解決有關(guān)小數(shù)除法的簡(jiǎn)單實(shí)際問題，體會(huì)小數(shù)除法的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)建議：

1.抓住新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，為小數(shù)除法的學(xué)習(xí)架設(shè)認(rèn)知橋梁。

2.聯(lián)系數(shù)的含義進(jìn)行算理指導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握小數(shù)除法的計(jì)算方法。

課時(shí)安排：

本單元可安排11課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。

第一課時(shí)小數(shù)除以整數(shù)（一）

——商大于1

教學(xué)內(nèi)容：P16例1、做一做，P19練習(xí)三第1、2題。

教學(xué)目的：

1、掌握比較容易的除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法，會(huì)用這種方法計(jì)算相應(yīng)

的小數(shù)除法。

2、培養(yǎng)學(xué)生的類推能力、發(fā)散思維能力、分析能力和抽象概括能力。

3、體驗(yàn)所學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的簡(jiǎn)單問題，

從中獲得價(jià)值體驗(yàn)。

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。

教學(xué)難點(diǎn)：理解商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的道理。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

計(jì)算下面各題并說一說整數(shù)除法的計(jì)算方法.

2244-4=4164-32=13804-15=

一■、導(dǎo)入新課:

情景圖引入新課：同學(xué)們你們喜歡鍛煉嗎？經(jīng)常鍛煉對(duì)我們的身體有益，請(qǐng)看王

鵬就堅(jiān)持每天晨跑，請(qǐng)你根據(jù)圖上信息提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題？

出示例1：王鵬堅(jiān)持晨練。他計(jì)劃4周跑步22.4千米，平均每周應(yīng)跑多少千米？

教師：求平均每周應(yīng)跑多少千米，怎樣列式？（22.4+4）

觀察這道算式和前面學(xué)習(xí)的除法相比有什么不同？

板書課題：“小數(shù)除以整數(shù)”。

三.教學(xué)新課：

教師：想一想，被除數(shù)是小數(shù)該怎么除呢？小組討論。分組交流討論情況：

（1）生：22.4千米=22400米22400+4=5600米5600米=5.6千米

（2）還可以列豎式計(jì)算。

教師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍秘Q式計(jì)算。計(jì)算完后，交流自己計(jì)算的方法。

教師：請(qǐng)學(xué)生將自己計(jì)算的豎式在視頻展示臺(tái)上展示出來，具體說說你是怎樣算

的？

追問：24表示什么？

商的小數(shù)點(diǎn)位置與被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置有什么關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生理解后回答“因?yàn)樵诔ㄋ闶嚼?，除到被除?shù)的哪一位，商就寫在哪一

位上面，也就是說，被除數(shù)和商的相同數(shù)位是對(duì)齊了的，只有把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊了，

相同數(shù)位才對(duì)齊了，所以商的小數(shù)點(diǎn)要對(duì)著被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”.

問：和前面準(zhǔn)備題中的224除以4相比,224除以4和它有哪些相同的地方?有哪

些不同的地方？

怎樣計(jì)算小數(shù)除以整數(shù)？（按整數(shù)除法的方法除，計(jì)算時(shí)商的小數(shù)點(diǎn)要和

被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊）

教師：同學(xué)們贊同這種說法嗎？（贊同）老師也贊同他的分析.

教師：大家會(huì)用這種方法計(jì)算嗎？（會(huì)）請(qǐng)同學(xué)們用這種方法算一算.

四、鞏固練習(xí)

完成“做一做”：25.2+634.54-15

五、課堂作業(yè)：練習(xí)三的第1、2題

課后反思：

學(xué)生們?cè)谇耙惶斓念A(yù)習(xí)后共提出四個(gè)問題：

1,被除數(shù)是小數(shù)的除法怎樣計(jì)算？（熊佳豪）

2,為什么在計(jì)算時(shí)先要擴(kuò)大，最后又要將結(jié)果縮?。浚ㄠ崜P(yáng)）

3,小數(shù)除以整數(shù)怎樣確定小數(shù)點(diǎn)的位置？（梅家順）

4,為什么小數(shù)點(diǎn)要打在被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)的上面？

特別是第4個(gè)問題很有深度，有研究的價(jià)值.在這四個(gè)問題的帶動(dòng)

下，學(xué)生們一直精神飽滿地投入到學(xué)習(xí)的全過程，教學(xué)效果相當(dāng)好.

第二課時(shí)小數(shù)除以整數(shù)（二）

----商小于1

教學(xué)內(nèi)容：P17例2、例3、做一做，P18例4、做一做，P19—20練習(xí)三第3一11

題。

教學(xué)目的：

1、使學(xué)生學(xué)會(huì)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法，進(jìn)一步理解除數(shù)是整數(shù)的小

數(shù)除法的意義。

2、使學(xué)生知道被除數(shù)比除數(shù)小時(shí)，不夠商1,要先在商的個(gè)位上寫0占位；理

解被除數(shù)末位有余數(shù)時(shí)，可以在余數(shù)后面添0繼續(xù)除。

3、理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算法則跟整數(shù)除法之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)習(xí)的

遷移。

教學(xué)重點(diǎn)：能正確計(jì)算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法。

教學(xué)難點(diǎn)：正確掌握小數(shù)除以整數(shù)商小于1時(shí)，計(jì)算中比較特殊的兩種情況。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)：

教師出示復(fù)習(xí)題：

（1）22.44-4（2）21.454-15

教師先提問：“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，計(jì)算時(shí)應(yīng)注意什么？”然后讓學(xué)生獨(dú)立

完成。

二、新課

1、教學(xué)例2：

上節(jié)課我們知道王鵬平均每周跑5.6千米，那他每天跑多少千米呢?這道題

該如何列式？

問：你為什么要除以7,題目里并沒有出現(xiàn)〃7〃？

原來〃7〃這個(gè)條件隱藏在題目中，我們要仔細(xì)讀題才能發(fā)現(xiàn).

嘗試用例1的方法進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算的過程中遇到了什么問題？（被除數(shù)的

整數(shù)部分比除數(shù)小）

問：”被除數(shù)的整數(shù)部分比除數(shù)小，不夠商1,那商幾呢?為什么要商0?（在被除

數(shù)個(gè)位的上面，也就是商的個(gè)位上寫“0”，用0來占位。）

強(qiáng)調(diào)：點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)后接著算.

請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍鲆蛔觥?/p>

2.4/37.2/9

學(xué)生做完后，教師問：在什么情況下，小數(shù)除法中商的最高位是0?

2、教學(xué)例3：

先讓學(xué)生根據(jù)題意列出算式，再讓學(xué)生用豎式計(jì)算。當(dāng)學(xué)生計(jì)算到12除6時(shí)，

教師提問：接下來怎么除？請(qǐng)同學(xué)們想一想。

引導(dǎo)學(xué)生說出：12除6可以根據(jù)小數(shù)末尾添上0以后小數(shù)大小不變的性質(zhì)，在6

的右面添上0看成60個(gè)十分之一再除。

請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)筆試試。

在計(jì)算中遇到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)時(shí)該怎么辦？

在余數(shù)后面添0繼續(xù)除的依據(jù)是什么？

3、做教科書第17頁的做一做。

4、教學(xué)例4：想一想，前面幾例小數(shù)除以整數(shù)是怎樣計(jì)算的？在計(jì)算過程中應(yīng)

注意什么？整數(shù)部分不夠商1怎么辦?如果有余數(shù)怎么辦？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。（1）小