梁的內(nèi)力課件

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梁的內(nèi)力

提要：在前面的章節(jié)中，已經(jīng)介紹過軸向拉(壓)桿件和受扭桿件的內(nèi)力的計(jì)算，本章將討論受彎桿件的內(nèi)力計(jì)算。以彎曲為主要變形的構(gòu)件稱為梁(beam)，如房屋建筑中的樓板梁(圖4.1)與火車的輪軸(圖4.2)。本章主要研究外力作用在同一平面，變形也在同一平面(即平面彎曲)的梁。梁的內(nèi)力計(jì)算與前面一樣仍然采用截面法，由于荷載的作用，梁在各橫截面產(chǎn)生內(nèi)力，包括剪力和彎矩。截?cái)嗔荷先我粰M截面，都會有剪力和彎矩，任取截面左或右側(cè)部分為研究對象，通過靜力平衡方程可以求出該橫截面內(nèi)力。通過列出剪力方程和彎矩方程，可以繪制剪力圖和彎矩圖，從而反映出梁上所有橫截面的內(nèi)力大小和方向。通過分析剪力方程和彎矩方程發(fā)現(xiàn)剪力、彎矩和荷載之間存在微分關(guān)系，相應(yīng)的在剪力圖、彎矩圖和荷載之間存在某些規(guī)律，依據(jù)這些規(guī)律可以不寫剪力方程和彎矩方程，直接作出內(nèi)力圖。在材料服從胡克定律和小變形的前提下還可以利用疊加法，更方便地作出內(nèi)力圖。梁的約束條件及荷載千差萬別，為便于計(jì)算，一般抓住主要因素對其做出簡化，得出計(jì)算簡圖。首先是梁的簡化，一般在計(jì)算簡圖中用梁的軸線代替梁。另外，還需要對支座和荷載進(jìn)行簡化，下面分別討論梁上支座和荷載的簡化。4.1梁的計(jì)算簡圖4.1梁的計(jì)算簡圖圖4.1樓板梁計(jì)算簡圖圖4.2火車輪軸計(jì)算機(jī)簡圖

支座的簡化根據(jù)結(jié)構(gòu)中梁的約束情況，支座一般可簡化為以下三種基本形式。可動鉸支座。圖4.3(a)是可動鉸支座的簡化形式。該支座限制此截面沿垂直于支承面方向的移動，因此可動鉸支座只有一個約束，相應(yīng)只有一個支反力，即垂直于支承面的反力。(2)固定鉸支座。有兩個約束，相應(yīng)的約束反力為兩個，分別是水平反力和垂直反力(圖4.3(b))。(3)固定端。它使梁在固定端內(nèi)不能發(fā)生任何方向的移動和轉(zhuǎn)動，約束反力除X、Y之外，還有阻止轉(zhuǎn)動的反力偶m(圖4.3(c))。4.1梁的計(jì)算簡圖這里需要指出的是，理想的“自由轉(zhuǎn)動”和“絕對固定”實(shí)際上是不存在的，比如由于摩擦力的存在，轉(zhuǎn)動不會完全自由，由于約束材料的變形，梁也不會完全被固定，只是這些運(yùn)動相對較小，所以我們把它忽略了。圖4.3各種支座的約束反力(a)可動鉸支座；(b)固定鉸支座；(c)固定端4.1梁的計(jì)算簡圖2.載荷的簡化梁上的載荷通?？梢院喕癁橐韵氯N形式。(1)集中力。作用在梁上很小區(qū)域上的橫向力，其特點(diǎn)是分布范圍遠(yuǎn)小于輪軸或大梁的長度，因此可以簡化為集中力，如火車輪軸上的P(圖4.2)、吊車大梁所掛的重物Q(圖4.4(a))等，它的常用單位為牛頓(N)或千牛頓(kN)。圖4.4集中力、均布載荷和分布載荷示意圖吊車梁載荷與分布示意圖；(b)閘門立柱的靜水壓力分布示意圖4.1梁的計(jì)算簡圖(2)集中力偶。工程中的某些梁，通過與梁連接的構(gòu)件，承受與梁軸線平行的外力作用，如圖4.5(a)所示。在做梁的受力分析時，可將該力向梁軸線簡化，得到一軸向外力和一作用在梁的載荷平面內(nèi)的外力偶(圖4.5(b))。該外力偶只作用在承力構(gòu)件與梁連接處的很小區(qū)域上，稱為集中力偶。集中力偶的常用單位是或。圖4.5集中力偶示意圖(a)承受與梁平行外力的示意圖；(b)力向梁軸線簡化后的示意圖4.1梁的計(jì)算簡圖(3)分布載荷。連續(xù)作用在梁的一段或整個長度上的橫向作用力，可簡化為沿軸線的分布載荷。建筑結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)壓、水壓，以及梁的自重等是常見的分布載荷。吊車大梁的自重(圖4.4(a))為均勻分布的分布載荷，一般簡稱為均布載荷；閘門立柱上的靜水壓力(圖4.4(b))為線性分布的分布載荷。分布載荷的大小可用載荷集度q來表示，q為常數(shù)的分布荷載就是均布載荷。設(shè)梁段上分布載荷的合力為(圖4.6)，則4.1梁的計(jì)算簡圖式中，q的常用單位為或。

(4.1)圖4.6分布載荷示意圖4.1梁的計(jì)算簡圖

3.靜定梁的基本形式經(jīng)過對載荷及支座的簡化，并以梁的軸線表示梁，可以畫出計(jì)算簡圖。圖4.l、圖4.2及圖4.4中分別畫出了樓板梁、火車輪軸、吊車大梁和閘門立柱的計(jì)算簡圖。在平面彎曲問題中，梁的所有外力均作用在同一平面內(nèi)，為平面力系，因而可建立三個獨(dú)立的靜力平衡方程。如果梁上未知的支座反力也是三個，則全部反力可通過靜力平衡方程求解，這樣的梁稱為靜定梁。常見的靜定梁有以下三種形式:4.1梁的計(jì)算簡圖(1)簡支梁(simplysupportedbeam)。一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座的梁，稱為簡支梁。如吊車大梁(圖4.4(a))，兩支座間的距離稱為跨度。(2)外伸梁(beamwithanoverhang)。當(dāng)簡支梁的一端或兩端伸出支座之外，稱為外伸梁。如火車輪軸(圖4.2)即為外伸梁。(3)懸臂梁(cantileverbeam)。一端為固定端、另一端自由的梁稱為懸臂梁，如閘門立柱(圖4.4(b))。工程中另有一些梁，其支座反力的數(shù)目多于有效平衡方程的數(shù)目，這樣的梁稱為靜不定梁或者超靜定梁(圖4.1)。為確定靜不定梁的全部支反力，除靜力平衡方程外，還需考慮梁的變形，這將在后面章節(jié)進(jìn)行介紹。4.1梁的計(jì)算簡圖

4.2梁的平面彎曲彎曲是桿件的基本變形之一。如果桿件上作用有垂直于軸線的外力(通常稱為橫向力)，使變形前原為直線的軸線變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲變形(bendingdeformation)。凡是以彎曲變形為主要變形的桿件，通常稱為梁(beam)。在工程實(shí)際中，桿件在外載荷作用下發(fā)生彎曲變形的事例是很多的，例如，樓板梁(圖4.1)、火車輪軸(圖4.2)、橋式吊車的大梁(圖4.4(a))、閘門立柱(圖4.4(b))等桿件，在垂直于軸線的載荷作用下均發(fā)生彎曲變形。

圖4.7受彎桿件的對稱軸和對稱面(a)受彎桿件的對稱軸；(b)受彎桿件的對稱面(a)(b)4.2梁的平面彎曲

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩設(shè)桿的橫截面面積為，微面積上的內(nèi)力分布集度為，由靜力關(guān)系得：得拉桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：式中，為橫截面上的正應(yīng)力，為橫截面上的軸力，為橫截面面積。公式(2.1)也同樣適用于軸向壓縮的情況。當(dāng)為拉力時，為拉應(yīng)力；當(dāng)為壓力時，為壓應(yīng)力，根據(jù)前面關(guān)于內(nèi)力正負(fù)號的規(guī)定，所以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

(2.1)應(yīng)該指出：正應(yīng)力均勻分布的結(jié)論只在桿上離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)的部分才成立，在荷載作用點(diǎn)附近的截面上有時是不成立的。這是因?yàn)樵趯?shí)際構(gòu)件中，荷載以不同的加載方式施加于構(gòu)件，這對截面上的應(yīng)力分布是有影響的。但是，實(shí)驗(yàn)研究表明，加載方式的不同，只對作用力附近截面上的應(yīng)力分布有影響，這個結(jié)論稱為圣維南(Saint-Venant)原理。根據(jù)這一原理，在拉(壓)桿中，離外力作用點(diǎn)稍遠(yuǎn)的橫截面上，應(yīng)力分布便是均勻的了。一般在拉(壓)桿的應(yīng)力計(jì)算中直接用公式(2.1)。當(dāng)桿件受多個外力作用時，通過截面法可求得最大軸力，如果是等截面桿件，利用公式(2.1)就可求出桿內(nèi)最大正應(yīng)力；如果是變截面桿件，則一般需要求出每段桿件的軸力，然后利用公式(2.1)分別求出每段桿件上的正應(yīng)力，再進(jìn)行比較確定最大正應(yīng)力。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

【例2.2】一變截面圓鋼桿，如圖2.6(a)所示，已知，，，，，

。試求：(1)各截面上的軸力，并作軸力圖。

(2)桿的最大正應(yīng)力。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩解：(1)求內(nèi)力并畫軸力圖。分別取三個橫截面I-I、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ將桿件截開，以右邊部分為研究對象，各截面上的軸力分別用、、表示，并設(shè)為拉力，各部分的受力圖如圖2.6(b)所示。由各部分的靜力平衡方程可得：圖2.6例2.2圖其中負(fù)號表示軸力與所設(shè)方向相反，即為壓力。作出軸力圖如圖2.6(c)所示。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩(2)求最大正應(yīng)力。由于該桿為變截面桿，、及三段內(nèi)不僅內(nèi)力不同，橫截面面積也不同，這就需要分別求出各段橫截面上的正應(yīng)力。利用式(2.1)分別求得、和段內(nèi)的正應(yīng)力為由上述結(jié)果可見，該鋼桿最大正應(yīng)力發(fā)生在段內(nèi)，大小為4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

二.斜截面上的應(yīng)力

前面討論了拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力，但實(shí)驗(yàn)表明，有些材料拉(壓)桿的破壞發(fā)生在斜截面上。為了全面研究桿件的強(qiáng)度，還需要進(jìn)一步討論斜截面上的應(yīng)力。設(shè)直桿受到軸向拉力的作用，其橫截面面積為，用任意斜截面將桿件假想的切開，設(shè)該斜截面的外法線與軸的夾角為，如圖2.7(a)所示。設(shè)斜截面的面積為，則

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

設(shè)為截面上的內(nèi)力，由左段平衡求得為，如圖2.7(b)所示。仿照橫截面上應(yīng)力的推導(dǎo)方法，可知斜截面上各點(diǎn)處應(yīng)力均勻分布。用表示其上的應(yīng)力，則式中的為橫截面上的正應(yīng)力。將應(yīng)力分解成沿斜截面法線方向分量和沿斜截面切線方向分量，稱為正應(yīng)力(normalstress)，而稱為切應(yīng)力(shearstress)，如圖2.7(c)所示。關(guān)于應(yīng)力的符號規(guī)定為：正應(yīng)力符號規(guī)定同前，切應(yīng)力繞截面順時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負(fù)。的符號規(guī)定：由軸逆時針轉(zhuǎn)到外法線方向時為正，反之為負(fù)。

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩由圖2.7(c)可知

(2.2)

(2.3)

從式(2.2)、式(2.3)可以看出，和均隨角度而改變。當(dāng)時，達(dá)到最大值，其值為，斜截面為垂直于桿軸線的橫截面，即最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上；當(dāng)時，達(dá)到最大值，其值為，最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成角的斜截面上。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

圖2.7斜截面的應(yīng)力以上分析結(jié)果對于壓桿也同樣適用。盡管在軸向拉(壓)桿中最大切應(yīng)力只有最大正應(yīng)力大小的二分之一，但是如果材料抗剪比抗拉(壓)能力要弱很多，材料就有可能由于切應(yīng)力而發(fā)生破壞。有一個很好的例子就是鑄鐵在受軸向壓力作用的時候，沿著45°斜截面方向發(fā)生剪切破壞。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

應(yīng)力集中的概念

前面所介紹的應(yīng)力計(jì)算公式適用于等截面的直桿，對于橫截面平緩變化的拉壓桿按該公式計(jì)算應(yīng)力在工程實(shí)際中一般是允許的；然而在實(shí)際工程中某些構(gòu)件常有切口、圓孔、溝槽等幾何形狀發(fā)生突然改變的情況。試驗(yàn)和理論分析表明，此時橫截面上的應(yīng)力不再是均勻分布，而是在局部范圍內(nèi)急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中(stressconcentration)。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

圖2.8帶圓孔薄板的應(yīng)力集中如圖2.8(a)所示的帶圓孔的薄板，承受軸向拉力的作用，由試驗(yàn)結(jié)果可知：在圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增大；而在離這一區(qū)域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力迅速減小而趨于均勻，如圖2.8(b)所示。

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

在I-I截面上，孔邊最大應(yīng)力與同一截面上的平均應(yīng)力之比，用表示

(2.4)

稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)(theoreticalstressconcentrationfactor)，它反映了應(yīng)力集中的程度，是一個大于1的系數(shù)。試驗(yàn)和理論分析結(jié)果表明：構(gòu)件的截面尺寸改變越急劇，構(gòu)件的孔越小，缺口的角越尖，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。因此，構(gòu)件上應(yīng)盡量避免帶尖角、小孔或槽，在階梯形桿的變截面處要用圓弧過渡，并盡量使圓弧半徑大一些。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

各種材料對應(yīng)力集中的反應(yīng)是不相同的。塑性材料(如低碳鋼)具有屈服階段，當(dāng)孔邊附近的最大應(yīng)力到達(dá)屈服極限時，該處材料首先屈服，應(yīng)力暫時不再增大，若外力繼續(xù)增大，增大的內(nèi)力就由截面上尚未屈服的材料所承擔(dān)，使截面上其他點(diǎn)的應(yīng)力相繼增大到屈服極限，該截面上的應(yīng)力逐漸趨于平均，如圖2.9所示。因此，用塑性材料制作的構(gòu)件，在靜荷載作用下可以不考慮應(yīng)力集中的影響。圖2.9塑性材料的應(yīng)力集中4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

而對于脆性材料制成的構(gòu)件，情況就不同了。因?yàn)椴牧喜淮嬖谇?，?dāng)孔邊最大應(yīng)力的值達(dá)到材料的強(qiáng)度極限時，該處首先產(chǎn)生裂紋。所以用脆性材料制作的構(gòu)件，應(yīng)力集中將大大降低構(gòu)件的承載力。因此，即使在靜載荷作用下也應(yīng)考慮應(yīng)力集中對材料承載力的削弱。不過有些脆性材料內(nèi)部本來就很不均勻，存在不少孔隙或缺陷，例如含有大量片狀石墨的灰鑄鐵，其內(nèi)部的不均勻性已經(jīng)造成了嚴(yán)重的應(yīng)力集中，測定這類材料的強(qiáng)度指標(biāo)時已經(jīng)包含了內(nèi)部應(yīng)力集中的影響，而由構(gòu)件形狀引起的應(yīng)力集中則處于次要地位，因此對于此類材料做成的構(gòu)件，由其形狀改變引起的應(yīng)力集中就可以不再考慮了。以上是針對靜載作用下的情況，當(dāng)構(gòu)件受到?jīng)_擊荷載或者周期性變化的荷載作用時，不論是塑性材料還是脆性材料，應(yīng)力集中對構(gòu)件的強(qiáng)度都有嚴(yán)重的影響，可能造成極大危害。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

桿件在軸向拉伸或壓縮時，其軸線方向的尺寸和橫向尺寸將發(fā)生改變。桿件沿軸線方向的變形稱為縱向變形，桿件沿垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形。設(shè)一等直桿的原長為，橫截面面積為，如圖2.10所示。在軸向拉力的作用下，桿件的長度由變?yōu)?，其縱向伸長量為圖2.10軸向伸長變形示意圖

稱為絕對伸長，它只反映總變形量，無法說明桿的變形程度。

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩將除以得桿件縱向正應(yīng)變?yōu)?/p>

(2.5)

(2.6)

當(dāng)材料應(yīng)力不超過某一限值(以后將會講到，這個應(yīng)力值稱為材料的“比例極限”)時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即這就是胡克定律(Hookelaw)，是根據(jù)著名的英國科學(xué)家RobertHooke命名的。公式(2.6)中的是彈性模量，也稱為楊氏模量(Young’smodulus)，是根據(jù)另一位英國科學(xué)家ThomasYoung命名的，由于是無量綱量，故的量綱與相同，常用單位為，隨材料的不同而不同，對于各向同性材料它均與方向無關(guān)。公式(2.5)、公式(2.6)同樣適用于軸向壓縮的情況。

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩將公式(2.1)和公式(2.6)代入公式(2.5)，可得胡克定律的另一種表達(dá)式為

(2.7)

由該式可以看出，若桿長及外力不變，值越大，則變形越小，因此，反映桿件抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱為桿件的抗拉(抗壓)剛度(axialrigidity)。公式(2.7)也適用于軸向壓縮的情況，應(yīng)用時為壓力，是負(fù)值，伸長量算出來是負(fù)值，也就是桿件縮短了。4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

設(shè)拉桿變形前的橫向尺寸分別為和，變形后的尺寸分別為和(圖2.10)，則由試驗(yàn)可知，二橫向正應(yīng)變相等，故

(2.8)

試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向正應(yīng)變與縱向正應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，該常數(shù)稱為泊松比(Poisson’sratio)，用來表示，它是一個無量綱的量，可表示為

(2.9)

4.3梁的內(nèi)力、剪力和彎矩

4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖這兩個方程分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，可用圖線表示梁的各橫截面上剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，稱為剪力圖(shearforcediagram)和彎矩圖(bendingmomentdiagram)。一般說來，梁的內(nèi)力沿軸線方向是變化的。如果用橫坐標(biāo)X(其方向可以向左也可以向右)表示橫截面沿梁軸線的位置，則剪力和彎矩M都可以表示為坐標(biāo)X的函數(shù)，即

作剪力圖時，取平行于梁軸線的直線為橫坐標(biāo)x軸，x值表示各橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力的大小及其正負(fù)。作彎矩圖的方法與剪力圖大體相仿，不同的是，要把彎矩圖畫在梁縱向纖維受拉的一面，而且可以不標(biāo)正負(fù)號。根據(jù)4.3節(jié)的規(guī)定，彎矩以使梁下部縱向纖維受拉為正，也就是說，梁的正彎矩應(yīng)當(dāng)畫在橫軸的下方。這樣的做法主要是為了與后續(xù)課程和土木工程專業(yè)的設(shè)計(jì)習(xí)慣取得一致。下面舉例說明建立剪力方程、彎矩方程以及繪制剪力圖、彎矩圖的方法。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

【例4.3】簡支梁AB受集中力p作用，如圖4.12(a)所示。試列出剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。解：(1)計(jì)算支座反力。以整體為研究對象，列平衡方程求得方向如圖4.12(a)所示。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(2)建立剪力、彎矩方程。由于梁在C截面上作用集中力p

，在建立剪力方程和彎矩方程時，必須分為AC、CB兩段來考慮。在AC段內(nèi)任取一橫截面，距A點(diǎn)距離用表示，根據(jù)平衡條件，則AC段上的剪力方程和彎矩方程分別為在CB段內(nèi)任取一橫截面，距A端距離為，根據(jù)平衡條件，則任一截面上的剪力方程和彎矩方程分別為

(b)

(a)

4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖圖4.12例4.3圖(a)(b)(c)4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

實(shí)際上，在列CB段的內(nèi)力方程時，選用右側(cè)梁段為研究對象將會更簡單。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(d)

(c)

(3)繪制剪力、彎矩圖。由(a)、(c)兩式可知，AC、CB兩段上剪力分別為常數(shù)，故剪力圖為兩條平行于X軸的直線，如圖4.12(b)所示，由(b)、(d)兩式可知，彎矩方程均為一次函數(shù)，故彎矩圖為兩條斜直線，如圖4.12(c)所示。在這里，彎矩使梁的下部纖維受拉，所以彎矩圖畫在梁的下方。由內(nèi)力圖可知，最大彎矩在集中力作用點(diǎn)處，其值為。在該截面處，剪力圖上有突變，其突變量等于集中力的大小。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

【例4.4】圖4.13所示簡支梁跨度為，試建立自重q作用下梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。解：(1)計(jì)算支座反力。根據(jù)對稱性易知A、B兩端的支座反力相等，即方向如圖4.13(a)所示。(2)建立剪力、彎矩方程。以左端A為的

X坐標(biāo)原點(diǎn)，任取一橫截面，以其左端為研究對象，該橫截面的位置可以X用來表示，設(shè)該截面上的剪力為、彎矩為，均設(shè)為正方向，如圖4.13(b)所示。列平衡方程4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(a)

將式(a)代入上面兩式，解得4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(c)

(b)

(b)、(c)兩式分別為剪力方程和彎矩方程。

(3)繪制剪力圖、彎矩圖。由式(b)可知，剪力圖為一直線。只需算出任意兩個橫截面的剪力值，如A、B兩截面的剪力，即可作出剪力圖，如圖4.13(c)所示；由式(c)可知，彎矩圖為一拋物線，需要算出多個截面的彎矩值，才能作出曲線。例如計(jì)算下列五個截面的彎矩值：4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖X0M00

由此作出的彎矩圖，如圖4.13(d)所示。由剪力圖和彎矩圖可知，在A、B支座處的橫截面上剪力的絕對值最大，其值為在梁的跨中截面上，剪力，彎矩達(dá)到最大，其值為4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖在本例中，以某一梁段為研究對象，由平衡條件推出剪力方程和彎矩方程，這是建立剪力方程和彎矩方程的基本方法。另外，由于剪力圖、彎矩圖中

坐標(biāo)比較明確，所以在以后各圖中坐標(biāo)系可以省去。

【例4.5】簡支梁AB承受集中力偶作用，如圖4.14(a)所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。圖4.14例4.5圖4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖(a)(b)(c)

反力的方向如圖所示，為負(fù)值，表示其方向與圖4.14(a)中假設(shè)的方向相反。兩個支反力形成的力偶矩剛好與集中力偶平衡。解：(1)計(jì)算支反力。由平衡方程分別求得支反力為(2)建立剪力、彎矩方程。由于梁上作用有集中力偶，剪力、彎矩方程同樣應(yīng)分段列出。利用截面法分別在AC與CB段內(nèi)截取橫截面，根據(jù)截面左側(cè)(或右側(cè))梁段上的外力，列出剪力方程和彎矩方程為4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

AC段

(b)

(a)

(c)

(d)

CB段4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(3)繪制剪力、彎矩圖。由(a)、(c)兩式可知，兩段梁上的剪力相等，因此，AB梁的剪力圖為一條平行于x軸的直線(圖4.14(b))；由(d)、(b)兩式可知，左右兩段梁上的彎矩圖各為一條斜直線(圖4.14(c))，而且在AB和BC段，彎矩分別使梁的上部和下部纖維受拉，所以彎矩圖分別畫在橫軸的上方和下方。由圖可見，當(dāng)時，絕對值最大的彎矩發(fā)生在集中力偶作用處的右側(cè)截面上，其值為而且，在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，其突變量等于集中力偶的大小。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

【例4.6】作圖4.15(a)所示簡支梁的剪力圖與彎矩圖。圖4.15例4.6圖4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(2)建立剪力、彎矩方程。根據(jù)荷載情況，分AC、CD、DB三段分別列出剪力方程和彎矩方程。設(shè)坐標(biāo)軸以支座A為原點(diǎn)，三段內(nèi)的剪力方程、彎矩方程分別為AC段解：(1)計(jì)算支座反力。根據(jù)荷載及支座反力的對稱性得到4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖CD段DB段4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(3)繪制剪力、彎矩圖。根據(jù)方程可知，AC、DB段剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線；CD段剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。作出剪力圖和彎矩圖如圖4.15(b)、圖4.15(c)所示。由圖可見，最大剪力發(fā)生在AC、DB兩段內(nèi)，最大彎矩發(fā)生在跨中橫截面上。由以上例題可見，在集中力(包括集中荷載和支座反力)作用的截面上，剪力似乎沒有確定的值，剪力圖有突變，其突變的絕對值等于集中力的數(shù)值，且突變的方向從左往右看與集中力的方向相同(例題4.3)；在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，其突變的絕對值等于集中力偶的數(shù)值(例題4.5)。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖為了分析內(nèi)力圖上突變的原因，假設(shè)在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)，截取梁段(圖4.16(a))，由平衡條件不難看出，在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)的剪力和的差值必然為集中力的大小。實(shí)際上，剪力圖的這種突然變化，是由于作用在小范圍內(nèi)的分布外力被簡化為集中力的結(jié)果。如果將集中力視為在梁段上均勻分布的分布力的合力(圖4.16(b))，則該處的剪力圖如圖4.16(c)所示。又如在例題4.6中，如果把均布荷載變成集中力作用在跨中梁段上的分布力，合力大小仍然不變，剪力圖(圖4.15(b))中的斜線就會變陡。當(dāng)→0時，剪力圖上的斜線趨于垂直，剪力圖表現(xiàn)為突變。對集中力偶作用的截面可做同樣的解釋。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

圖4.16剪力圖突變示意圖微段上受力示意圖；(b)集中力視為分布力的示意圖；(c)集中力視為分布力后的剪力圖4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

在工程中，常常遇到幾根桿件組成的框架結(jié)構(gòu)，例如房屋建筑中梁和柱構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，在結(jié)點(diǎn)處，梁和柱的截面不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，或者說，在結(jié)點(diǎn)處兩桿件間的夾角保持不變，這樣的結(jié)點(diǎn)稱為剛結(jié)點(diǎn)(stiffjoint)，具有剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)稱為剛架(rigidframe)。如果剛架的支座反力和內(nèi)力均能由靜力平衡條件確定，這樣的剛架稱為靜定剛架。作剛架內(nèi)力圖的方法基本上與梁相同。通常平面剛架的內(nèi)力除剪力、彎矩之外還有軸力，作圖時要分桿進(jìn)行。下面舉例說明靜定剛架彎矩圖的作法，至于軸力圖和剪力圖，需要時可按類似的方法繪制。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

【例4.7】平面剛架ABC，承受圖4.17(a)所示載荷作用，已知均布荷載集度為q，集中力，試作剛架的彎矩圖。圖4.17例4.7圖4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

解：(1)計(jì)算支反力。利用整體剛架的平衡條件確定支座反力，設(shè)固定鉸支座A的反力為，可動鉸支座C的反力為，方向如圖所示，列平衡方程有計(jì)算出的結(jié)果均為正值，說明支座反力實(shí)際方向均與所設(shè)方向相同。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

(2)建立彎矩方程并作彎矩圖。在BC桿上，以C為原點(diǎn)，取坐標(biāo)x1。由于集中力P

的作用，BC桿上的彎矩方程應(yīng)分段列出：CD段DB段在AB桿上，以A為原點(diǎn)，取坐標(biāo)X2，則該桿的彎矩方程為根據(jù)各段的彎矩方程作出剛架彎矩圖，如圖4.17(b)所示。在繪制彎矩圖時一般把彎矩圖畫在桿件受壓的一側(cè)，而不注明正負(fù)號。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

一.彎矩、剪力和分布荷載集度間的關(guān)系在例題4.3中，若將彎矩方程M（x）\的表達(dá)式對求導(dǎo)，則得到剪力方程Q(x)，將剪力方程Q(x)的表達(dá)式對x求導(dǎo)，則得到均布載荷集度q。事實(shí)上，在直梁中載荷集度和剪力、彎矩之間的關(guān)系是普遍存在的。掌握這些關(guān)系，對于繪制剪力圖和彎矩圖很有幫助，還可以檢查所繪制的剪力圖和彎矩圖是否正確。下面就來研究載荷集度q和剪力Q、彎矩M之間的關(guān)系。設(shè)有任意載荷作用下的直梁，如圖4.18(a)所示，以梁的左端為原點(diǎn)，選取x坐標(biāo)軸，梁上的分布載荷q(x)是x的連續(xù)函數(shù)，并規(guī)定向上為正。從x截面處截取長度為dx微段，表示于圖4.18(b)中。4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

dx微段上承受分布載荷 q(x)作用，設(shè)x橫截面上的彎矩和剪力分別為M(x)和，坐標(biāo)為x+dx的橫截面上的彎矩和剪力則分別為M(x)+Md(x)和+，方向如圖4.18(b)所示。圖4.18梁微段的內(nèi)力示意圖4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

對微段列平衡方程有略去高階微量后

(4.3)

(4.2)

4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

若將公式(4.3)中的對求導(dǎo)一次，并帶入式(4.2)，則式(4.2)、式(4.3)和式(4.4)即為載荷集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系，式(4.2)表示剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于相應(yīng)點(diǎn)處荷載集度的大??；公式(4.3)表示彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于相應(yīng)點(diǎn)處剪力的大小。

(4.3)

4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

二.常見荷載下梁的剪力圖與彎矩圖的特征根據(jù)q、、M的微分關(guān)系，可以得出載荷集度、剪力圖和彎矩圖三者間的某些規(guī)律，現(xiàn)結(jié)合圖4.19所示的實(shí)例(圖中未注明具體數(shù)值)，在圖4.19(a)中所規(guī)定的坐標(biāo)系中，歸納如下。4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

圖4.19載荷集度、剪力圖和彎矩圖三者間的規(guī)律(a)載荷分布圖；(d)剪力圖；(c)彎矩圖4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

當(dāng)梁上無荷載作用，即時，剪力為常數(shù)，剪力圖為平行于軸線的直線。此時彎矩圖由常數(shù)可知為一直

線。如果則為水平直線，如圖4.19(c)中的BC段；如果則為傾斜直線，其方向取決于剪力的正負(fù)號，當(dāng)時，彎矩圖為上升的斜直線，如圖4.19(c)中的AB段，當(dāng)時，彎矩圖為下降的斜直線，如圖4.19(c)中的CD和DE兩段。在CD和DE這兩段中，剪力相等，所以彎矩圖中的兩條斜直線平行。(2)當(dāng)梁上的載荷

q為常數(shù)時，由式(4.2)的可知剪力圖上各點(diǎn)的斜率為同一個常數(shù)，剪力圖為一斜直線。4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

從式(4.4)可知彎矩方程為的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線，如圖4.19(c)中的EG、GH兩段。如果某段梁上的均布載荷

q

向上，即q>0

，則，彎矩圖為一條下凸拋物線，如圖4.19(c)中的GH梁段；反之，如果梁上作用向下的均布載荷，即q<0

，則，彎矩圖為一條上凸的曲線，如圖4.19(c)中的EG梁段。在剪力為零的截面上，當(dāng)=0，即彎矩圖的斜率為零，此處的彎矩為極值，如圖4.19(c)中的F截面的彎矩為極大值，H截面的彎矩為極小值。但應(yīng)注意，極值彎矩對全梁來說并不一定是最大值的彎矩，最大彎矩還有可能發(fā)生在集中力作用處或者集中力偶作用處。4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

(3)在集中力作用處，剪力圖有突變，突變的數(shù)值等于該處集中力的大小，此時彎矩圖的斜率也發(fā)生突變，因而彎矩圖上出現(xiàn)一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，如圖4.19(c)中的B、C、E截面。(4)在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變的數(shù)值等于該處集中力偶的大小，在集中力偶作用處的兩側(cè)，由于剪力相等，所以彎矩圖在該點(diǎn)的斜率總是相等的，如圖4.19(c)中的D截面?，F(xiàn)將這些有關(guān)載荷集度、剪力圖和彎矩圖之間關(guān)系的整理為表4-1，以供參考。下面舉例說明上述關(guān)系的應(yīng)用。4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

【例4.8】圖4.20(a)所示的外伸梁，承受均布載荷、集中力偶和集中力作用，試用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖。圖4.20例4.8圖4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用解：(1)計(jì)算支反力。利用靜力平衡條件，求得梁的支反力為在

AD

段上荷載q=0，剪力圖為水平直線。由于集中力偶兩側(cè)的剪力相等，故(2)繪制剪力圖。應(yīng)用微分關(guān)系繪制剪力圖時，從梁的左端開始，易知，在CA段上，荷載，所以剪力圖為水平直線，故。在支座A上，有向上的支反力，使剪力圖產(chǎn)生突變，其值為5KN，故A截面右側(cè)剪力為4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

(3)確定承載能力。若已知拉壓桿的截面尺寸和材料的許用應(yīng)力，則強(qiáng)度條件變成≤

(2.18)

以確定構(gòu)件所能承受的最大軸力，再確定構(gòu)件能承擔(dān)的許可荷載。最后還應(yīng)指出，如果最大工作應(yīng)力略微大于許用應(yīng)力，即一般不超過許用應(yīng)力的5%，在工程上仍然被認(rèn)為是允許的。4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

【例2.5】用繩索起吊鋼筋混凝土管，如圖2.24(a)所示，管子的重量，繩索的直徑，容許應(yīng)力，試校核繩索的強(qiáng)度。圖2.24例2.5圖4.5內(nèi)力與分布荷載間的關(guān)系及其應(yīng)用

4.6用區(qū)段疊加法作梁的彎矩圖當(dāng)梁在荷載作用下產(chǎn)生的內(nèi)力與