概率三分布數(shù)學模型思想及方法探究教學設計 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

一、教學內(nèi)容解析本課題的“概率三分布”是指二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布．本課內(nèi)容為新教材人教A版數(shù)學選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布7.4與7.5的數(shù)學模型思想及方法探究課．學生在此之前已經(jīng)學習了離散型隨機變量的分布列、期望、方差，并逐個學習了二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布三個概率分布（以下簡稱概率三分布）的相關(guān)知識及方法，本課進一步學習概率三分布的數(shù)學模型特征、聯(lián)系與區(qū)別，以及簡單的實際應用．二項分布和超幾何分布是最常見的兩種離散型分布，是離散型概率模型的代表，正態(tài)分布則是現(xiàn)實世界中最常見的一種連續(xù)型分布，是概率論中最重要的一個分布．這三種概率分布數(shù)學模型有著相似的研究思路，基本的研究架構(gòu)都是“現(xiàn)實概率問題——概率分布規(guī)律概括抽象——概率分布規(guī)律特征描述——概率分布數(shù)學模型構(gòu)建——概率分布模型應用”，三個概率分布有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，但又有著本質(zhì)的區(qū)別．只有厘清概率三分布的聯(lián)系與區(qū)別，才能在實際問題解決中做到準確地理解模型、識別模型和應用模型．因此，本節(jié)課的教學重點是：通過實例及問題探究，讓學生進一步認識理解概率三分布模型特征及聯(lián)系，并會應用概率三分布模型解決簡單實際問題．本節(jié)課的學習過程中學生將借助具體實例和信息技術(shù)，在已學習的基礎上對概率三分布的分布特征及模型的數(shù)學思想方法進行辨析、比較及關(guān)聯(lián)，體會三個概率分布模型的聯(lián)系與區(qū)別，從而提高學生數(shù)學模型識別能力和問題解決能力．本節(jié)課所學內(nèi)容對學生而言具有一定挑戰(zhàn)，故需要教師充分分析并把握好學生學情，搭好腳手架，積極引導學生開展探究活動．概率三分布數(shù)學模型整體結(jié)構(gòu)分析如下圖：二、教學目標設置《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，選擇性必修概率單元的學習，可以幫助學生感悟離散型隨機變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現(xiàn)象；理解伯努利試驗，掌握二項分布，了解超幾何分布；感悟服從正態(tài)分布的隨機變量，知道連續(xù)型隨機變量；基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題．具體內(nèi)容要求為：1.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題．2.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題．3.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量．通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義．根據(jù)課標和教學要求，結(jié)合我校學生情況，本課教學目標定位為：1.學生通過具體實例，能準確辨析概率三分布不同數(shù)學模型特征及簡單應用，提高識模能力．2.學生通過現(xiàn)實問題直觀感知，概括抽象概率分布規(guī)律，借用技術(shù)進行分布隨機誤差運算，模型結(jié)果比較等探究過程，體會概率三分布間的聯(lián)系與區(qū)別，并能靈活運用概率三分布數(shù)學模型解決簡單的實際問題，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界．3.通過小組合作探究學習，培養(yǎng)學生的團隊合作意識，提升學生的數(shù)學抽象、運算、建模的數(shù)學核心素養(yǎng)水平．三、學生學情分析學生已經(jīng)具備的認知基礎：1.學生高一時已學完概率與統(tǒng)計的必修課程，積累了一定的概率統(tǒng)計案例知識與方法，具備一定的隨機思想和模型思想；2.學生高二學習了排列組合，隨機變量的分布列及其期望、方差，以及二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布的基礎知識，具備了進一步探究概率三分布的認知基礎；3.統(tǒng)計概率的學習有著較強的生活氣息和實際背景，學生在實際生活中已經(jīng)積累了一定的生活經(jīng)驗，對概率模型所依托的實際背景有一定的認識；4.學生通常較害怕大段文字的閱讀理解，需要對學生進行適當?shù)囊龑Ш蛯ｉT的閱讀理解指導．學生業(yè)已“各個擊破”地掌握了概率三分布的基礎知識，對概率三分布各自的模型特征已有所了解，但目前還未將概率三分布模型放在一起比較探究，對概率三分布的整體認識還不夠深刻，對概率三分布數(shù)學模型的實際應用水平有待提高．好在學生目前已經(jīng)學完概率的全部知識，具備進一步深入對概率三分布數(shù)學模型深層內(nèi)部聯(lián)系結(jié)構(gòu)及理解的認知基礎，因此，本節(jié)課的教學難點確定為：學生對概率三分布數(shù)學模型抽象方法的深入理解及模型的簡單實際應用．四、教學策略分析基于以上分析，概率三分布數(shù)學模型思想及方法的探究是在學生已有的認知基礎和能力水平情況下，選擇恰當?shù)膶嶋H問題作為探究媒介，遵循學生的思維活動進程，設置分層有梯度的問題去啟發(fā)、引導學生，并給予學生充分的閱讀思考和抽象思維活動的時間，充分借助信息技術(shù)的支持幫助學生進行探究和發(fā)現(xiàn)，通過小組合作學習，一個臺階一個臺階往上探行，讓學生充分體驗探究過程，體會概率數(shù)學模型在實際應用中的作用和力量．本課主要采用的教學策略方法：引導發(fā)現(xiàn)法：創(chuàng)設問題情境，設計有梯度、有層次的問題，調(diào)動學生的學習積極性和主動性，引導學生探索新知，實現(xiàn)數(shù)學模型的“再發(fā)現(xiàn)”．實驗探究法：實際案例中的很多數(shù)據(jù)往往不便于學生手動計算，此時可指導學生借助電子表格Excel或數(shù)學軟件GeoGebra進行數(shù)據(jù)分析、計算、畫圖，通過動手實驗，對概率三分布模型特征進行深入探究．合作探究法：在概率三分布的模型特征分析、數(shù)學實驗、模型應用等環(huán)節(jié)指導學生小組合作、互助探究、討論交流、探究新知，培養(yǎng)學生的合作意識和探究能力．五、教學條件分析本節(jié)課從單元整體設計思想出發(fā)，科學合理安排各教學環(huán)節(jié)教學時間與教室空間分布，落實探究過程．根據(jù)我?，F(xiàn)有的信息技術(shù)設施，充分利用我校每個教室配備的電子白板及師生都配備有的科大訊飛智慧教育平板，引入智慧課堂，基于信息技術(shù)開展教學探究活動．學生使用的平板安裝有GeoGebra等數(shù)學軟件，方便學生進行數(shù)據(jù)計算、數(shù)據(jù)分析和作圖，為本節(jié)課有效利用信息技術(shù)輔助探究教學提供了強大的信息技術(shù)保障．六、教學流程（一）模型簡單應用，特征深入辨析師：同學們，前面我們已學習了離散型隨機變量的分布列、期望、方差，并逐個學習了二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布三個概率分布，這些都為我們今天的學習做好了準備，首先來看3個問題（教師投影問題1~3）．問題1：雞接種一種疫苗后，有80%不會感染某病毒．如果3只雞接種疫苗，那么恰有1只雞感染病毒的概率為；問題2：一箱10罐的飲料中有4罐有獎券，從中任意抽取2罐，則這2罐中恰有1罐有獎券的概率為；問題3：設隨機變量，則．【設計意圖】問題1~3分別改編自教材第77頁練習2、第80頁練習1、第87頁練習1，從學生熟悉的問題入手，初步識別概率模型及應用，為下一步深入辨析概率三分布模型特征奠定模型直觀感知．教師組織學生思考，引導學生獨立完成，采用個別提問的方式解答這三個問題．然后組織學生小組合作學習，對三個概率分布的模型特征進行討論、交流、展示．三種常見概率分布模型特征分析：1.二項分布（）我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoullitrials）．一般地，在n重伯努利試驗中，設每次實驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為．如果X的分布列具有上述形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomialdistribution），記作．如果，那么．2.超幾何分布（）不放回抽樣：一般地，假設一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為其中，．如果X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布（hypergeometricdistribution），記作.如果，設，則．3.正態(tài)分布（）正態(tài)密度函數(shù)：，其中為參數(shù)．標準正態(tài)分布：．正態(tài)密度曲線（正態(tài)曲線）：歷史淵源：早在1734年，法國數(shù)學家棣莫弗（A.DeMoivre，1667~1754）在研究二項概率的近似計算時，已提出了正態(tài)密度函數(shù)的形式，但當時只是作為一個數(shù)學表達式．直到德國數(shù)學家高斯（C.F.Gauss，1777~1855）提出“正態(tài)誤差”的理論后，正態(tài)密度函數(shù)才取得“概率分布”的身份．因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布．法國數(shù)學家棣莫弗(1667~1754)德國數(shù)學家高斯(1777~1855)如果隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布（nomaldistribution），記為．如果，那么．原則：;;．在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量X一般只取中的值，這在統(tǒng)計學中稱為原則．【設計意圖】通過小組合作學習形式，讓學生對三個概率分布的模型特征從概率分布規(guī)律代數(shù)表征形式、表格方式、圖象等方面進行辨析．突出整體結(jié)構(gòu)思想，在各分布模型識別過程中注意各概率模型分布特點及相互聯(lián)系，強化對各模型中均值、方差等參數(shù)含義的理解．重視對數(shù)學文化的滲透，在正態(tài)密度函數(shù)模型辨識過程中，增加了正態(tài)密度函數(shù)的歷史發(fā)展過程關(guān)鍵人物介紹，體會數(shù)學家們創(chuàng)新性工作，同時了解知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程．（二）借用信息技術(shù)，探究模型關(guān)系師：現(xiàn)在我們已經(jīng)明確了概率三分布的模型特征，接下來讓我們借助信息技術(shù)對它們做進一步探究（投影例1）．例1：一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個數(shù)．（1）分別就逐一有放回摸球和一次性不放回摸球，求X的分布列；（2）分別就逐一有放回摸球和一次性不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率，并比較它們的大?。伎迹海?）兩種不同摸球方式的概率分布分別屬于哪一種概率分布模型?（2）如何理解“誤差不超過0.1”?你能用數(shù)學語言將其表示出來嗎?解析：（1）①逐一有放回摸球：每次摸到黃球概率為0.4，且各次實驗結(jié)果相互獨立，相當于做20次伯努利試驗，因此，X的分布列為②一次性不放回摸球：各次實驗結(jié)果不獨立，，X的分布列為（2）樣本中的黃球比例是一個隨機變量，誤差不超過0.1的意思是，解得，分別按逐一有放回摸球和一次性不放回摸球計算．接下來請學生利用數(shù)學軟件GeoGebra中的“概率計算器”對此問題進行合作探究、展示交流．所以.這說明，在相同的誤差限制下，采用一次性不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些．追問：將小球數(shù)擴大一定倍數(shù)？此時“誤差不超過0.1的概率”如何變化？讓學生小組合作，用數(shù)學軟件GeoGebra進行數(shù)學實驗，并討論、交流、分享．如：將小球數(shù)擴大10倍，即“一個袋子中有1000個大小相同的球，其中有400個黃球、600個白球，從中隨機地摸出200個球作為樣本．”，此時“誤差不超過0.1的概率”又如何？不難發(fā)現(xiàn)．仍然有結(jié)論：在相同誤差限制下，采用超幾何分布估計的結(jié)果更可靠些．與此同時我們會發(fā)現(xiàn)：此時兩個概率已經(jīng)很接近了，且兩種分布的概率分布圖也特別相似了，都很像“鐘形曲線”．總結(jié)：（1）逐一有放回抽樣用二項分布，一次性不放回抽樣用超幾何分布；在相同誤差限制下，采用超幾何分布估計的結(jié)果更可靠些．（2）對于一次性不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似．（3）超幾何分布和二項分布在一定條件下可轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布（以后高等數(shù)學學習中會詳細論證，這里只做感性認識、簡單了解）．【設計意圖】例1選自教材第79頁例6，利用GeoGebra進行數(shù)學實驗，引導學生對此題進行深度思考，改變各參數(shù)的值，觀察超幾何分布和二項分布的變化情況，引導學生思考二項分布和超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系，了解二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布的聯(lián)系．在學生完成對例1中二項分布與超幾何分布關(guān)系探究的基礎上，接著引出下面實際生活案例，引導學生對正態(tài)分布模型進行深入探究學習．例2：自動流水線上包裝的食鹽，每袋標準質(zhì)量是400g．由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標準質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量），規(guī)定誤差的絕對值不超過4g就認為合格．檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差（單位：g）的觀測值如下：-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.01.40.14.60.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.81.20.5-3.72.71.1-3.0-2.8-1.91.72.60.42.6-2.0-0.31.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.12.53.4-4.2-1.1-0.50.10.90.92.30.9-0.8-4.4-1.13.9-1.1-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.35-0.8-3.5-2.73.11.4-3.6-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.32.11.30.2-0.9（1）考慮袋裝食鹽是否合格（?。倪@100袋食鹽中隨機抽取10袋食鹽看不合格袋數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；（ⅱ）從自動流水線上隨機抽取10袋食鹽看不合格袋數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望；思考：隨機變量X,Y分別服從哪一種概率分布？（2）請各小組根據(jù)上述100個誤差數(shù)據(jù)，制作100袋食鹽誤差的頻率分布直方圖．思考：（1）為什么可用相應區(qū)間面積的大小估計概率？（2）為什么頻率分布直方圖中各部分面積之和為1？（3）考慮袋裝食鹽具體誤差，試估計這批袋裝食鹽的合格率能否達到95%以上？思考：如何構(gòu)建適當?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬤@批袋食鹽的誤差Z的概率分布？解析：為方便使用，借助Excel對數(shù)據(jù)進行排序．（1）不合格食鹽袋數(shù)有6袋．根據(jù)例1習得經(jīng)驗可判斷出“從這100袋食鹽中隨機抽取10袋食鹽”適合用超幾何分布解決，即；“從自動流水線上隨機抽取10袋食鹽”可近似為二項分布，即．在GeoGebra中選擇“概率計算器”，再分別選擇“超幾何分布”和“二項分布”，如下圖輸入?yún)?shù)進行計算，可得到X，Y的分布列和數(shù)學期望．注：此處教師可適當啟發(fā)引導學生嘗試更改食鹽袋數(shù)，觀察X，Y的分布列、期望、方差，進一步體會二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別．（2）制作頻率分布直方圖的一般步驟為：求極差→決定組距和組數(shù)→將數(shù)據(jù)分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．計算得極差為10，可選組距為2、1、0.5等，但組數(shù)控制在5~12組為宜，故選擇2和1作為組距．給學生分小組，每個小組提供一張如下圖所示《頻率分布直方圖小組活動卡》，學生小組合作制作出的頻率分布直方圖會因組距和組數(shù)不一樣而有所差異．展示、交流、反饋各小組提交的頻率分布直方圖．如下圖，把100個誤差觀測值復制到GeoGebra的“表格區(qū)”，繪制頻率分布直方圖，對學生的作圖結(jié)果進行驗證，并可適當改變組數(shù)進行觀察，頻率分布直方圖呈現(xiàn)中間高、兩邊低的形狀．（3）袋裝食鹽的誤差是一個連續(xù)型隨機變量，根據(jù)（2）中所得100袋食鹽誤差的頻率分布直方圖，用樣本估計總體，可以認為袋裝食鹽的誤差服從正態(tài)分布，接下來借助GeoGebra計算樣本的均值和標準差，進一步計算這一批袋裝食鹽的合格率能否達到95%以上．對（2）中用GeoGebra獲得的頻率分布直方圖進行進一步操作，如下圖，點選，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示出來，然后保留一位小數(shù),可得．在GeoGebra中選擇“概率計算器”，再選擇“正態(tài)分布”，輸入?yún)?shù)進行計算，如下圖，可得，故這批袋裝食鹽的合格率不能達到95%．總結(jié)：（１）對于一次性不放回抽樣，當抽取數(shù)n遠遠小于總數(shù)N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時超幾何分布可以用二項分布近似；（２）在現(xiàn)實生活中，很多連續(xù)型隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布，可利用3原則幫助我們進行決策．【設計意圖】例2選自教材第83頁的問題，進行深度改編，特別分組讓學生動手畫100袋食鹽誤差頻率分布直方圖，給學生提供坐標紙，方便簡潔，返璞歸真．讓學生畫頻率分布直方圖，進一步體會頻率估計概率、樣本估計總體的思想，增強對技術(shù)運算過程及結(jié)果的理解.利用GeoGebra進行數(shù)學實驗，引導學生從不同角度思考問題，進一步體會概率三分布之間的聯(lián)系與區(qū)別.（三）課堂小結(jié)，概括提高課堂小結(jié)是課堂教學不可缺少的重要環(huán)節(jié)，根據(jù)本節(jié)課學生學習內(nèi)容及學習過程，引導學生主要從以下幾方面進行課堂小結(jié)：1．通過本節(jié)課的學習，談談你對概率二項分布、超幾何分布和正態(tài)分布間之間的聯(lián)系與區(qū)別的認識。2．學習反思：通過這節(jié)課的學習，你有何收獲與提高？請同學們帶著這兩個問題，對以下小結(jié)單進行填寫完善，小組討論，交流分享本節(jié)課的學習體會．超幾何分布二項分布正態(tài)分布區(qū)別模型特征不放回抽樣獨立重復試驗典型連續(xù)型隨機變量分布記號參數(shù)意義——產(chǎn)品總數(shù)——次品數(shù)量——抽取數(shù)量——實驗次數(shù)——事件發(fā)生的概率——均值(左右對稱)——標準差(數(shù)據(jù)分布)分布公式期望方差聯(lián)系對于一次性不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每取一次后，對N的影響很小，此時超幾何分布可以