第11講 用公式法求解一元二次方程（原卷版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第11講用公式法求解一元二次方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2．會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；知識點一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.知識點二、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即；（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則≥0.考點一：利用用公式法還原一元二次方程例1．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）在用求根公式解方程的過程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式1-1】（23-24八年級下·安徽安慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B．C． D．【變式1-3】（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0考點二：求一元二次方程中判別式的值例2.（23-24九年級上·山東德州·階段練習(xí)）在公式法解方程時，的值是（

）A．16 B．24 C．72 D．64【變式2-1】（22-23九年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）用公式法解一元二次方程時，計算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習(xí)）當(dāng)用公式法解方程時，的值為（

）A．2 B． C．17 D．【變式2-3】（22-23九年級上·山東德州·階段練習(xí)）在公式法解方程時，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．64考點三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年級下·吉林長春·期中）解方程：．【變式3-1】（23-24九年級上·四川涼山·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【變式3-3】（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．考點四：用公式法解一元二次方程的錯題復(fù)原問題例4.（2024九年級下·全國·專題練習(xí)）小明在解方程的過程中出現(xiàn)了錯誤，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)問：小明的解答是從第______步開始出錯的；(2)請寫出本題正確的解答．【變式4-1】（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）解方程，某位同學(xué)的解答過程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.請你分析以上解答過程有無錯誤，如有錯誤，指出錯誤的地方，并寫出正確的結(jié)果.【變式4-2】（22-23九年級下·河北邢臺·開學(xué)考試）嘉淇在用公式法解方程時出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下所示：解方程解：

（第一步）

（第二步）∴原方程無實數(shù)根

（第三步）(1)嘉淇的解答過程從第__________步開始出錯的，其錯誤的原因是__________；(2)請你寫出此題的正確的求解過程．【變式4-3】（22-23八年級下·北京門頭溝·期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號）；(2)發(fā)生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．考點五：根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況例5.（23-24九年級下·云南昆明·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【變式5-1】（2024·河南周口·三模）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【變式5-2】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【變式5-3】（23-24八年級下·安徽六安·階段練習(xí)）下列方程中，沒有實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．考點六：根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)例6.（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時，求方程的解；(2)若該方程有實數(shù)根，求的取值范圍．【變式6-1】（23-24八年級下·山東煙臺·期中）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，請用配方法求出此時方程的解．【變式6-2】（23-24八年級下·山東泰安·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)m取何值時，此方程沒有實數(shù)根；(2)若此方程有兩個實數(shù)根，求m的最小整數(shù)值．【變式6-3】（23-24九年級上·黑龍江綏化·期末）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無論k取任何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；(2)如果這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩邊長，其第三邊長為4，求的周長．一、單選題1．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）用求根公式解方程時，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）一元二次方程的實數(shù)根有（

）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數(shù)個3．（23-24九年級上·福建泉州·期中）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B． C． D．4．（23-24九年級上·河北保定·期中）已知方程的兩根是等腰三角形的兩條邊長，則等腰三角形的周長是（

）A．15 B．12 C．9 D．12或155．（2024·四川廣安·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．二、填空題6．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）方程的解是．7．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）用公式法解方程時，其中求得的的值是．8．（2024·上海徐匯·二模）關(guān)于的一元二次方程根的情況是：原方程實數(shù)根．9．（2024·江蘇連云港·二模）若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，則方程有個根．10．（2024·甘肅定西·三模）若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是．三、解答題11．（21-22八年級上·上海靜安·期末）用公式法解方程：．12．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).13．（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學(xué)用配方法解的過程，如下：解：原方程可化為，第一步配方，得，第二步即，第三步直接開平方，得，第四步所以，．第五步(1)這位同學(xué)的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你正確求解該方程．14．（22-23八年級下·山東濟南·期末）定義：如果關(guān)于的一元二次方程中常數(shù)項