第05講 正方形的性質(zhì)（解析版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第05講正方形的性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)定理；2．會(huì)利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明．一、正方形的定義定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.要點(diǎn)：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角——四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.要點(diǎn)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.考點(diǎn)一：正方形性質(zhì)的理解例1．（23-24八年級(jí)下·河南周口·期中）下列關(guān)于正方形的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角B．正方形有四條對(duì)稱軸C．正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等D．正方形一條對(duì)角線上的點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離不一定相等【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解正方形的性質(zhì)．利用正方形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，故A正確，不符合題意；B：正方形有四條對(duì)稱軸，故B正確，不符合題意；C：正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，故C正確，不符合題意；D：由于正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，所以正方形一條對(duì)角線上的點(diǎn)到另一條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離一定相等，故D錯(cuò)誤，符合題意；【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·湖北荊州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．都是軸對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直且互相平分 D．對(duì)角線相等且互相平分【答案】B【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形、矩形、正方形的性質(zhì)．根據(jù)菱形、矩形、正方形性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)可得：選項(xiàng)，菱形、正方形四條邊都相等，矩形四條邊不都相等，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)，菱形、矩形、正方形都是軸對(duì)稱圖形，符合題意，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，菱形、正方形對(duì)角線互相垂直且互相平分，矩形對(duì)角線互相平分但不互相垂直，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)，菱形對(duì)角線互相平分但不相等，矩形、正方形對(duì)角線相等且互相平分，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【變式1-2】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線平分一組對(duì)角 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相垂直平分 D．四條邊相等【答案】B【分析】本題考查了菱形與正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握菱形與正方形的性質(zhì)．要熟練掌握菱形對(duì)角線相互垂直平分與正方形對(duì)角線相互垂直平分相等的性質(zhì)，根據(jù)各自性質(zhì)進(jìn)行比較即可解答．【詳解】解：A．正方形和菱形的對(duì)角線都平分一組對(duì)角，故本選項(xiàng)不符合題意；B．正方形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線不一定相等，故本選項(xiàng)符合題意；C．正方形和菱形的對(duì)角線都互相垂直，故本選項(xiàng)不符合題意；D．正方形和菱形都是四條邊相等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線相等D．四個(gè)角都是直角【答案】A【分析】本題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，熟知矩形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：矩形具有的性質(zhì)為對(duì)角線互相平分，對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角，正方形具有的性質(zhì)為對(duì)角線互相平分且垂直，對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角，故選：A．考點(diǎn)二：根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度例2.（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在正方形的內(nèi)側(cè)，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，得到，等邊三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵正方形，∴，∵等邊三角形，∴，∴，，∴；故選C．【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江·期中）如圖，正方形中，，直線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，先由正方形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，設(shè)，則，則可推出，，則由平角的定義可得答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，故選：B．【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·廣西玉林·期中）如圖，正方形的對(duì)角線是菱形的一邊，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得，計(jì)算即可得解．本題主要考查了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是正方形的對(duì)角線，，是菱形的對(duì)角線，．故選：B．【變式2-3】（23-24九年級(jí)下·重慶·期中）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊、、、上的點(diǎn)，連接、、，若，，．當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，如圖，過(guò)作，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：∵正方形，∴，，如圖，過(guò)作，∴四邊形為平行四邊形，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選C考點(diǎn)三：根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)例3.（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直平分且分別交、于點(diǎn)、，則．【答案】/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，連接，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，設(shè)，則，由勾股定理，可得出，求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，垂直平分，，正方形的邊長(zhǎng)為，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)，則，由勾股定理，得，，，解得：，故答案為：．【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，，，垂足分別為、，若，則．【答案】【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，由正方形，以及對(duì)角線的長(zhǎng)，得到對(duì)角線互相垂直，等于的一半，根據(jù)三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形為矩形，進(jìn)而得到矩形的對(duì)邊相等，同時(shí)得到三角形為等腰直角三角形，由等量代換得到，求出即可．【詳解】解：正方形，，，，，，，，，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，，，．故答案為：．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期末）如圖，點(diǎn)，，在同一條直線上，正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為，，為線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．連接，利用勾股定理可以求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，如圖所示，∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，∴，∵H為線段的中點(diǎn)，∴，∵正方形，正方形的邊長(zhǎng)分別為，，∴，，∴，∴，故答案為：．【變式3-3】（2024·河南南陽(yáng)·二模）正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)F在邊上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】4或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理．利用等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)分類討論：先利用勾股定理求得，①當(dāng)時(shí)，利用勾股定理求解即可；②當(dāng)時(shí)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)；③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，利用勾股定理列式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵正方形中，，∴，，∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，如圖，由勾股定理得；②當(dāng)時(shí)，由勾股定理得，不符合題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，則，，，解得：，；綜上所述，的長(zhǎng)為4或．故答案為：4或．考點(diǎn)四：根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積例4.（23-24八年級(jí)下·云南昭通·期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，則圖中陰影部分的面積之和為．【答案】8【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，將陰影面積轉(zhuǎn)化為三角形面積是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．根據(jù)正方形的軸對(duì)稱的性質(zhì)可得陰影部分的面積等于正方形的面積的一半，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：由圖可知：陰影部分的面積之和；故答案為：8．【變式4-1】（23-24七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為和，則陰影部分的面積為.【答案】【分析】本題考查了正方形的面積和陰影部分的面積，根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：，即，解得：，故答案為：．【變式4-2】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，，是正方形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，，，則四邊形的面積是．【答案】16【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，菱形的面積，解題的關(guān)鍵是連接，根據(jù)對(duì)角線互相平分證明四邊形是平行四邊形．連接交于點(diǎn)，則可證得，，可證四邊形為平行四邊形，且，可證得四邊形為菱形．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，四邊形為正方形，，，，，即，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為菱形，，，，菱形的面積，故答案為：16．【變式4-3】（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，E是上一點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式；熟練掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得，分別求出、的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵是繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴，∵四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，∴，∴，，∴的面積為，故答案為：．考點(diǎn)五：求正方形重疊部分面積例5.（23-24八年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，將一塊的三角板直角頂點(diǎn)與正方形對(duì)角線交點(diǎn)O重合，兩條直角邊分別與邊交于點(diǎn)E，與邊交于點(diǎn)F．則四邊形的面積是．【答案】4【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，本題的解題關(guān)鍵是知道題中重合的部分的面積是不變的，總是等于正方形面積的．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)全等三角形的判定得出，即可求出四邊形的面積三角形的面積，即可得出答案．【詳解】解：如圖：連接和，則和都過(guò)點(diǎn)O，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，故答案為：4．【變式5-1】（2023·山東菏澤·一模）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接、，如圖所示：，，是正方形，為正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長(zhǎng)，則的大小為．【答案】【分析】本題考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴，故答案為：．【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）將n個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)，，…，分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為．【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是得到．連接，，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一個(gè)圖形重疊的面積，即可得到答案；【詳解】解：連接，，∵正方形的邊上為，∴，，，∴，∴，∴，∴n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為：，故答案為：．考點(diǎn)六：正方形折疊問(wèn)題例6.（2024·上海浦東新·三模）如圖，在正方形的邊上取一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)恰好與對(duì)角線上的點(diǎn)重合，連接，若，則的面積是．【答案】/【分析】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．由折疊可得，，且，可得，即可求對(duì)角線的長(zhǎng)，則可求面積．【詳解】解：如圖，連接交于，為正方形，，，，，．沿翻折，，，，，，，，，，．．故答案為：．【變式6-1】（2024·湖北荊門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，對(duì)折正方形紙片，得到折痕，將紙片展平，在上取一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，將紙片展平，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接若正方形的邊長(zhǎng)為6，，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】由折疊及正方形的性質(zhì)得到，，再由“”易證；分當(dāng)點(diǎn)在線段上和當(dāng)點(diǎn)在線段上兩種情況，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】∵在正方形中，∴，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，∴，，∴在和中，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，∴，，，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，∴，，，∵，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為3，、分別為、上的點(diǎn)，，將四邊形沿翻折，得到四邊形，恰好落在邊上，交于，若連結(jié)，則的度數(shù)為，的長(zhǎng)是．【答案】/30度【分析】由正方形的性質(zhì)得出，，再由折疊的性質(zhì)得出，，，，，求出，得出，然后求出，，則，，設(shè)，則，得出方程，解方程即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，∴，，∴；四邊形是正方形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，，，，解得：，，則，∵∴，設(shè)，，，則，解得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，點(diǎn)是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與、重合)，連接，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．

(1)當(dāng)最小時(shí)，的值為；(2)如圖，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求的值；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，試探索、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)為，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，證出，則可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，證明，得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵將沿翻折，∴，，，∵，即，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，如圖，設(shè)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：；

（2）為．理由如下：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∵將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，即，又∵，∴；

（3）．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七：根據(jù)正方形的性質(zhì)證明例7.（23-24八年級(jí)下·北京西城·期中）點(diǎn)在正方形的邊上（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，作射線交交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．①求的度數(shù)；②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；，理由見(jiàn)解析．【分析】（）由四邊形是正方形,得，再利用等角的余角相等證明即可；（）連接，證明，再根據(jù)等邊對(duì)等角和四邊形的內(nèi)角和求出，可得結(jié)論；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，推出，再證明，，可得結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形是正方形,∴，即，∵，關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴，∴；（2）連接，∵，關(guān)于對(duì)稱，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；，理由：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，∵，關(guān)于對(duì)稱，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的等角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．【變式7-1】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）在正方形中，為對(duì)角線，E為上一點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)延長(zhǎng)交于F，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可證出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴；（2）解：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴．【變式7-2】（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接，．(1)如圖1，若是等邊三角形，則__________；(2)如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)H，連接．①求的大??；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)15(2)①；②，見(jiàn)解析【分析】（1）利用正方形性質(zhì)得到，利用等邊三角形性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用對(duì)稱的性質(zhì)得到，再利用計(jì)算求解，即可解題；（2）①利用正方形性質(zhì)得到，，利用對(duì)稱的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，設(shè)，分別利用等腰三角形性質(zhì)得到，，再根據(jù)計(jì)算求解，即可解題；②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，理由直角三角形性質(zhì)和正方形性質(zhì)證明，進(jìn)而得到，再理由勾股定理求解，即可解題，【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，是等邊三角形，，，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F，，，故答案為：．（2）解：①四邊形是正方形，，，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F，，，，設(shè)，，，；②解：數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）【探究】如圖1，正方形中，點(diǎn)、分別是，上一點(diǎn)，．①求證：；②若，，求正方形的邊長(zhǎng)．（2）【應(yīng)用】如圖2，正方形中，點(diǎn)在邊上（不與端點(diǎn)重合），、分別是，上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，若，直接寫(xiě)出的值：．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②6（2）【分析】（1）①延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，先證明，再證明即可得出答案；②設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，根據(jù)①中結(jié)論列方程求解即可；（2）作，連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，利用（1）中結(jié)論求出、的長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）①證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，如圖，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，；②解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，，，，，由①得，根據(jù)勾股定理得，，解得，正方形的邊長(zhǎng)．（2）解：作，連接，如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，根據(jù)勾股定理得，，解得，，則，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等，利用勾股定理求出線段長(zhǎng)．一、單選題1．（22-23八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）正方形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角相等 B．兩組對(duì)邊分別相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)正方形和平行四邊形的性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、正方形對(duì)角相等，平行四邊形對(duì)角相等，故A不符合題意；B、正方形兩組對(duì)邊分別相等，平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等，故B不符合題意；C、正方形對(duì)角線互相平分，平行四邊形對(duì)角線互相平分，故C不符合題意；D、正方形對(duì)角線互相垂直，平行四邊形對(duì)角線互相平分，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形是特殊的平行四邊形，以及正方形和平行四邊形的各個(gè)性質(zhì)．2．（23-24八年級(jí)下·河南焦作·期中）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線方向平移得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平移性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平移性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，由題意得，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理，求出，進(jìn)而求出答案即可；【詳解】由題意得，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)D，之間的距離為，故選：D．3．（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的對(duì)角線相等、互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．4．（23-24八年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題主要考查勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．利用翻折變換對(duì)應(yīng)邊關(guān)系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，利用勾股定理得出，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：如圖，連接，在正方形中，，，將沿對(duì)折至，，，，，，，，設(shè)，則，為的中點(diǎn)，，，在中，由勾股定理，得，，解得，．故選：B．5．（2020·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別為與的中點(diǎn)，一個(gè)三角形沿豎直方向向上平移，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)恒在直線上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，恰與，兩邊的中點(diǎn)重合．設(shè)點(diǎn)到的距離為，三角形與正方形的公共部分的面積為，則當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】A【分析】本題應(yīng)該分類討論，從以下三個(gè)情況進(jìn)行討論，分別是：①當(dāng)x<1時(shí)，重疊部分為直角三角形的面積，將其三角形面積用x表示，但是求出，與x<1相違背，要舍去；②當(dāng)1<x<2時(shí)，除去重疊部分，剩下的圖形為兩個(gè)直角梯形的面積，將剩余的直角梯形ANHP用x表示，求出x即可；③當(dāng)x>2時(shí)，重疊部分為一個(gè)多邊形，可以從剩余部分的角度進(jìn)行求解，分別將矩形PQFE、、的面積用x表示，求出x即可，將x求出后，應(yīng)該與前提條件假設(shè)的x的范圍進(jìn)行比較，判斷x的值．【詳解】解：∵在邊長(zhǎng)為2的正方形EFGH中，如圖所示，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到MN的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E、F恰好與AB、AC的中點(diǎn)重合，即AM=EM=FM=1，且MNEF，∴AME和AMF均為等腰直角三角形，可得：ABC也是等腰直角三角形，其中AB=AC=，BC=4，設(shè)A到EF的距離AM=x，①當(dāng)x<1時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EF交于P點(diǎn)，AC與EF交于Q點(diǎn)，∵AM=x，且△APQ為等腰直角三角形，∴，解得：，但是與前提條件x<1相違背，故不存在該情況；②當(dāng)1<x<2時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于P點(diǎn)，AC與GF交于Q點(diǎn)，∵公共部分面積為，正方形剩余部分，∴，四邊形ANHP是直角梯形，當(dāng)AM=x，則AN=2-x，PE=x-1，HP=3-x，NH=1，∴，解得：；③當(dāng)2＜x＜3時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于K點(diǎn)，AB與HG交于I點(diǎn)，AC與FG交于L點(diǎn)，AC與HG交于J點(diǎn)，BC與EH交于P點(diǎn)，BC與GF交于Q點(diǎn)，∵公共部分面積為，∴，且，解得：或（舍），④當(dāng)x=3時(shí)，H,G分別是AB,AC的中點(diǎn)，此時(shí)重合的部分的面積為2，不符合題意；⑤當(dāng)x≥3時(shí)，重合的面積小于2，也不符合題意；所以，滿足條件的AM的值為或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了移動(dòng)圖形間的重疊問(wèn)題，需要進(jìn)行分類討論，必須要把x的移動(dòng)范圍進(jìn)行分類，根據(jù)不同的x取值，畫(huà)出不同重疊的圖形，并將重疊部分的面積用x進(jìn)行表示，解題的關(guān)鍵在于利用剩余部分的面積進(jìn)行倒推求解．二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，已知平行四邊形和正方形，其中點(diǎn)E在上，若，，則．【答案】/70度【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解相關(guān)性質(zhì)并熟練運(yùn)用．根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，由平角的定義計(jì)算，由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算的度數(shù)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，故答案為：．7．（23-24八年級(jí)下·湖北鄂州·期中）用四根長(zhǎng)度相等的木條制作學(xué)具，先制作圖（1）所示的正方形，測(cè)得，活動(dòng)學(xué)具成圖（2）所示的四邊形，測(cè)得，則圖（2）中的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．在圖（1）中先利用正方形的性質(zhì)求出；在圖（2）中，連接交于O，證明四邊形是菱形，則，求出，進(jìn)一步求出，則．【詳解】解：如圖（1）中，四邊形是正方形，，如圖（2）中，連接交于O，四邊形是菱形，，，，，，故答案為：．8．（23-24九年級(jí)下·內(nèi)蒙古·期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為上的一點(diǎn)，，為上的一點(diǎn)，，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查正方形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握正方形性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．作點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形，是一條對(duì)稱軸，可得點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段上，連接，P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則，的最小值為的長(zhǎng)即可．【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，∵正方形是軸對(duì)稱圖形，是一條對(duì)稱軸，∴點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段上，連接，∵P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，則，的最小值為的長(zhǎng)，∵，，∴，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，則，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，∴．故答案為：．9．（23-24九年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形地磚邊長(zhǎng)為a，小正方形地磚邊長(zhǎng)為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形．則正方形的面積為．（用含a，b的代數(shù)式表示）

【答案】/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的拼剪等知識(shí)，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．如圖，連接，，證明即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，，

∵A、B、C、D是正方形的中心，∴，，，，，，，正方形的面積．故答案為：．10．（22-23八年級(jí)下·安徽滁州·期末）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為3，E為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，連接．

（1）；（2）如圖2，若E為的中點(diǎn)，則．【答案】/度2【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得到，得到，，證明，即可證明．（2）根據(jù)，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）∵正方形，沿對(duì)折至，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）根據(jù)（1）得，，∴，設(shè)，則，∴，∴，解得，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·四川綿陽(yáng)·一模）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，(1)若點(diǎn)在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)在正方形外，如果，如圖2，且，求的長(zhǎng)．（用表示）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．(1)把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理逆定理求出證出，即可得出結(jié)果．(2)把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖1，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖2，

∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，在中，，∴∴．12．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，連接，，與相交于點(diǎn)P．

(1)【動(dòng)手操作】在圖1中畫(huà)出線段，；(2)【問(wèn)題探究】若．①利用圖2探究的值；②過(guò)點(diǎn)P作，垂足分別為M，N，連接，試求的最小值．