專題04 三角形的證明（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

專題04三角形的證明目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點1等腰三角形中求角度、邊長】 3【考點2等腰三角形的判定和性質(zhì)】 7【考點3等邊三角形中求角度、邊長】 11【考點4等邊三角形的判定和性質(zhì)】 16【考點5全等的性質(zhì)和HL綜合】 21【考點6與等腰三角形，直角三角形有關(guān)的多解題】 26【考點7利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解】 32【考點8利用角平分線的性質(zhì)求解】 34【考點9線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)】 37【考點10角平分線的判定和性質(zhì)】 41【過關(guān)檢測】 461.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：文字：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號：在中，AB＝AC，2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定義法）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；(簡稱：等角對等邊)3.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.4.等邊三角形的判定（1）等邊三角形的判定方法1：（定義法：從邊看）有三條邊相等的三角形是等邊三角形；（2）等邊三角形的判定方法2：（從角看）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）等邊三角形的判定方法3：（從邊、角看）有一個內(nèi)角等于的等腰三角形是等邊三角形.5.直角三角形全等的判定圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，6.直角三角形的性質(zhì)定理及推論定理1直角三角形的兩個銳角互余；定理2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于.7.勾股定理圖形名稱定理符號表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.在中，，8.線段的垂直平分線9.角的平分線考點剖析【考點1等腰三角形中求角度、邊長】例題1：（22-23八年級上·浙江臺州·期末）已知在中，，點、分別在邊和上，且，若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，等角對等邊；正確確定相等關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，根據(jù)，即可列出方程，從而求解．【詳解】解：設(shè)，，，又，，則，又，，解得，的度數(shù)是．故答案為：．例題2：（23-24八年級上·山東濟寧·期末）如圖，在等腰中，，D為上一點，且，若，，則的長是．【答案】14【分析】此題考查了含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．過點作于，根據(jù)含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點作于，，，，，，在等腰中，，．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·遼寧沈陽·期末）在中，，，在直線上取一點，使，連接，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形，利用分類討論的方法求出的度數(shù)即可．本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用分類討論的方法解答．【詳解】解：如圖所示，當點在點的左側(cè)時，，，，，，，；當點在點的右側(cè)時，，，，，，，；由上可得，的度數(shù)是或，故答案為：或．2.（23-24七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，點在邊上，.若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得，再利用可得，進而可得，進而可得，再根據(jù)即可求解，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，且，，，在和中，，，，，，故答案為：．3．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知為，點在邊上，，點、在邊上，．若為，則為．【答案】【分析】本題主要考查的是含30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；過作，交于點，先說明，再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得的長；由，利用等腰三角形三線合一可得為中點，再根據(jù)求出的長，最后根據(jù)即可解答．【詳解】解：如圖：過作交于點，

在中，∴，∵，，，，，，．故答案為：．4．（23-24八年級上·湖北荊州·期末）如圖，等腰三角形的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，于點、，若點為底邊的中點，點為線段上一動點，則的周長的最小值為．【答案】【分析】本題考查的是軸對稱最短路線問題，等腰三角形三線合一的性質(zhì)；連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，

是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點關(guān)于直線的對稱點為點，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：．【考點2等腰三角形的判定和性質(zhì)】例題：（23-24八年級上·廣東汕頭·期末）如圖，在中，以為邊作等邊，以為邊作等邊，連并延長交于點．(1)求證：；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)是等腰三角形【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，，進而可得，再利用可證得，進而可求證結(jié)論；（2）由（1）得：，，進而可得，進而可得，進而可求解；熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，．（2）由（1）得：，，是直角三角形，且，，，，，，是等腰三角形．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級上·北京密云·期末）如圖，在中，，，與的角平分線、分別交、邊于點D和點E．

(1)求證：是等腰三角形；(2)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，角平分線的定義得出，進而得出，即可得出結(jié)論；（2）延長至，使，連接，利用等邊對等角和三角形的外角得出，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)線段的和差即可得出．【詳解】（1）解：證明：在中，，，，平分，，，，是等腰三角形．（2），證明：延長至，使，連接，

，，，，，，平分，，，，，，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級上·廣東汕頭·期末）如圖，已知點O在等邊的內(nèi)部，，，以為邊作等邊，連接．(1)求證：；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；【答案】(1)證明見解析(2)等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）證明，即可得證；（2）根據(jù)，得到，進而得到，利用，求出，推出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，為等邊三角形，∴，∴，在和中：，∴，∴；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．【考點3等邊三角形中求角度、邊長】例題1：（23-24七年級上·山東青島·期末）如圖，是等邊三角形的中線，，則．【答案】/75度【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊三角形任意一邊的三線合一得到。結(jié)合等腰三角形兩底角相等即可得到答案；【詳解】解：∵三角形是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．例題2：（22-23八年級下·貴州六盤水·期末）如圖，已知等邊三角形的邊長為3，過邊上一點作于點，為延長線上一點，取，連接，交于，則的長為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，作，可證是等邊三角形，，由此可得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作，交于點，∵是等邊三角形，，∴，∴是等邊三角形，即，∵，∴是的角平分線，是的中線，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）如圖，等邊中，點分別在邊上，把沿直線翻折，使點落在點處，分別交邊于點．如果測得，那么．

【答案】【分析】本題考查了翻折變換問題，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是由等邊三角形可得，由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和結(jié)合對頂角相等可得，再利用三角形內(nèi)角和求出結(jié)果．【詳解】解：是等邊三角形，，由翻折可得，，，，，故答案為：．2．（23-24八年級上·福建南平·期末）如圖，和都是等邊三角形，點E，F(xiàn)分別在邊和上，且，若的周長最小時，則的大小是．【答案】/30度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定：先通過等邊三角形的性質(zhì)證明，得，因為，所以是等邊三角形，則當時，的周長最小，此時，即可作答．【詳解】解：∵和都是等邊三角形，且，∴，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，則的周長，∴當時，有最小值，∵等邊三角形的三線合一，∴．故答案為：．3．（22-23七年級下·四川成都·期末）如圖，等邊邊長為，點D，E分別在邊邊上，以為邊往下作等邊，連接，當且的周長最小時，的長為．【答案】/【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半．作點F關(guān)于對對稱點，連接，當共線，且點E為中點時，的周長最小，由等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，作點F關(guān)于對對稱點，連接，則，為等邊三角形，的周長為，當共線，且點E為中點時，的周長最小，為等邊三角形，，，，，，，故答案為：．4．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）如圖，點，分別為等邊三角形的邊，上的點，且，與相交于點，于點．若，，則的長為．【答案】6【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題中條件可得，得出，，進而得出，又，所以在中，求解的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：6【考點4等邊三角形的判定和性質(zhì)】例題：（23-24七年級上·山東威海·期末）如圖，在中，，，，垂足為點G，，，的兩邊分別交，于點E，F(xiàn)．(1)連接，判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)求證：．【答案】(1)是等邊三角形，見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）根據(jù)等邊三角形的判定方法進行判斷即可；（2）證明，得出即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形．證明：∵，，∴，∵，∴．∵，∴是等邊三角形．（2）解：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴，∴，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）【課本鞏固】如圖①，在等邊中，為邊上一點，為上一點，且，連接與相交于點．（1）與的數(shù)量關(guān)系為______，與構(gòu)成的銳角夾角的度數(shù)是______；【探究發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長至點，使，連接，，如圖②所示，求證：平分．【拓展延伸】（3）如圖③，在等邊中，為邊上一點，為上一點，且，，，求．【答案】（1），；（2）見解析；（3）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式；（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由（1）可知，，求得，推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）連接，設(shè)，得出，，進而得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖①，是等邊三角形，，，在和中，，，，故答案為：，；（2）證明：由（1）可知，，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，即，，，，，平分；（3）如圖所示，連接，設(shè)，在等邊中，，又，，，，又，則，同理可得，，又，，，，，．2．（22-23八年級下·廣東·期末）已知，在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當點為的中點時，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：(填“”、“”或“”)．(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當點為邊上任意一點時，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，(填“”、“”或“”)；理由如下，過點作，交于點．(請你完成以下解答過程)．(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】在等邊三角形中，點在直線上，點在線段的延長線上，且，若的邊長為，，求的長(請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，然后證，得出即可得出結(jié)論；（2）過點E作，交于點F，證出為等邊三角形，得出，再證，得出，即可得出結(jié)論；（3）當點E點在的延長線上時和E在延長線上時，分別作出圖形，作，同（2）得出為等邊三角形，，則，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：，，三角形為等邊三角形，，點E為的中點，，，，，，，，；故答案為：．（2），理由如下：過點E作，交于點F，則，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：．（3）當點E點在?的延長線上時，點D在的?延長線上，如圖，不合題意；點E在延長線上時，作，同（2）可得則為等邊三角形，如圖所示，同理可得，∵，，∴，，∵，則．【考點5全等的性質(zhì)和HL綜合】例題：（22-23八年級上·四川瀘州·期末）如圖，在中，，是延長線上的一點，點是的平分線上的一點，，過點作于點，于點．(1)求證：(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)1【分析】本題主要考查了角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．（1）先證明，即有，結(jié)合，即可得；（2）由（1），，進而可得，根據(jù)，可得，即可得，則可求．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即的長為1．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·陜西渭南·期末）如圖所示，點、、、在一條直線上，，過點，分別作，，，連接交于點．求證：(1)；(2)平分．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）只需要證明即可證明；（2）只需要證明，得到，即可證明平分．【詳解】（1）證明：，，，，，即，，，；（2）證明：由（1）知，，，，，，，平分2．（23-24八年級上·湖北武漢·期末）（1）如圖1，中，，平分交于，過點作的垂線交的垂直平分線于M，連AM，N在的延長線上．求證：平分；（2）把（1）中的“平分交手”換成“平分的外角交直線于D”，其他條件不變，請在圖2中補全圖形，并直接寫出的度數(shù)______；（用含的式子表示）（3）在（1）的條件下；若（如圖3），且，作于，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）補全圖形見解析，（3）2.5【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．（1）根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)角平分線的定義得到，得到；（2）連接，過點M作于E，交CA的延長線于H，根據(jù)題意得到，證明，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算，得到答案；（3）連接，過點M作交的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明，得到，根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，即平分；（2）解：如圖2，連接，過點M作于E，交CA的延長線于H，則，由（1）可知：，∵，∴，∵點M在的垂直平分線上，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：如圖3，連接，過點M作交的延長線于E，∵，平分，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，解得：．【考點6與等腰三角形，直角三角形有關(guān)的多解題】例題：（23-24八年級上·江西南昌·期末）在的網(wǎng)格中，有、、三個格點，當是直角三角形時，則點的坐標可以是.【答案】或或【分析】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，也考查了三角形直角三角形的性質(zhì)，利用三角形直角三角形的性質(zhì)確定點C的位置即可．【詳解】解：由題意得：當是直角三角形時，則點的坐標可以是或或，故答案為：或或【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則．

【答案】50或25/25或50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當為直角三角形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴當為直角三角形時，有以下兩種情況：①當時，如圖1，

∵，∴；②當時，如圖2，

∴，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：50或25．【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級上·四川達州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，以點為直角頂點，為腰作等腰，則點的坐標為．

【答案】或【分析】分兩種情況討論：①當點在第四象限時，過作軸于點，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，即可確定點的坐標；當點在第三象限時，過作軸于點，同理可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，然后確定點的坐標即可．【詳解】解：分兩種情況：①如下圖，當點在第四象限時，

過作軸于點，∴，∵點的坐標為，點的坐標為，∴，，∵為等腰直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴點的坐標為；②如下圖，當點在第三象限時，

過作軸于點，同理可證明，∴，，∴，∴點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．3．（2024·江西上饒·一模）如圖，在三角形紙片中，，將三角形紙片折疊，使點的對應(yīng)點落在上，折痕與分別相交于點、，當為等腰三角形時，的長為．【答案】3或6或【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)、外角性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得出，再進行分類討論，進行作圖，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)、外角性質(zhì)，逐一分析解答，【詳解】解：∵，∴，如圖：時∴折疊∴，∴是直角三角形的斜邊上的中點，∴，此時點與重合，∵折疊，∴；如圖：時∵折疊，∴，∵，∴，∵，∴此時點與點重合，即；如圖：時∵，∴，∵折疊，∴，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，，即，解得，綜上：當為等腰三角形時，的長為3或6或，故答案為：3或6或，【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)、外角性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，當時，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；當時，

，，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當時，，

∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當時，，

∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點7利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求解】例題：（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，，，，邊的垂直平分線交于點D，連接，則的長為．【答案】2【分析】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：2．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在中，，點在的垂直平分線上，將沿翻折后，使點落在點處，線段與相交于點，則．【答案】/81度【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，熟記折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，根據(jù)平角定義求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵點D在的垂直平分線上，∴，∴，∴，∵將沿翻折后，使點落在點處，∴，∵，∴，∴．故答案為：．2．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在中，的垂直平分線分別與交于點的垂直平分線分別與交于點，則的周長是．

【答案】18【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．由線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算即可得到答案．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，，，∴的周長，故答案為：18．【考點8利用角平分線的性質(zhì)求解】例題：（23-24七年級上·山東東營·期末）如圖，在中，，，平分，交于點，于點，，則的周長為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)的性質(zhì)得出，證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，最后通過即可求出的周長，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴，∴的周長為，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·吉林白城·期末）如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點和點，再分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線交于點．若，則度．【答案】20【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，推出，利用角平分線的性質(zhì)得到，即可解題．【詳解】解：，，，由題知，，，由題知平分，．故答案為：20．2．（23-24八年級上·四川涼山·期末）如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點，于點，，交的延長線于點．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．連接、，由是的垂直平分線，得，由是的平分線，，，得出，證出，可得，證明，可得，從而有，即可得到，即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接、，是的垂直平分線，，是的平分線，，，，在和中，，，,在和中，，，，，，，，故答案為：．【考點9線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)】例題：（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，是的角平分線，，分別是和的高．(1)試說明垂直平分；(2)若，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查角平分線的定義及線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．（1）證明和全等即可解決問題．（2）利用面積法可求出的長，再根據(jù)即可解決問題．【詳解】（1）證明：平分，．，分別是和的高，．在和中，，，，，點和點在的垂直平分線上，垂直平分；（2）解：，，，又，．，平分，．．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，在中，點E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，連接交于點D，．

(1)求證：；(2)直線是線段的垂直平分線嗎？請說明理由；(3)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)是；理由見解析；(3)．【分析】題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與等邊三角形的判定與性質(zhì)：（1）利用即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角的和差求出，則，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理即可得解；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出，結(jié)合（2）推出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：證明：∵，∴；（2）解：直線是線段的垂直平分線；理由：由，得，∴，∴，即，∴．∵，∴直線是線段的垂直平分線；（3）解：∵，∴．由（2）得．又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．2．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，和都是等腰三角形，、分別是這兩個等腰三角形的底邊，且．

(1)求證：；(2)如果．求證：垂直平分線段．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）證明，進而結(jié)論得證；（2）如圖，連接，證明，則，根據(jù)，可證垂直平分線段．【詳解】（1）證明：和都是等腰三角形，，，，，即．在和中，∵，，．（2）證明：如圖，連接，

由（1）可知，，又，，．在和中，∵，，．點在的中垂線上．∵，點在的中垂線上，垂直平分線段．【考點10角平分線的判定和性質(zhì)】例題：（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）如圖，在和中，，，，延長，交于點M．(1)求證：平分；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可證明；（2）利用平行線的性質(zhì)證明，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，在和中，∵，，，∴，∴，∵，∴平分．（2）∵∴，由（1）知，平分,∴,∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理解三角形，以及平行線的性質(zhì)．掌握這些性質(zhì)即可解題．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·江西宜春·期末）如圖：已知在等腰中，，點為左側(cè)一動點，點在的延長線上，交于點，且．

(1)求證：；(2)請你判斷是否平分，并證明你的結(jié)論；(3)若在點運動的過程中，始終有，在此過程中，請你判斷的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)平分，證明見解析；(3)的度數(shù)不變，【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知條件，即可得到結(jié)論；（2）過點A作于點，作于點，證明．則，根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論；（3）在上截取，連接．先證明，再證明，則，即可證明是等邊三角形，則，即可得到【詳解】（1）證明：，，；（2）平分證明：如圖，過點A作于點，作于點．

則．在和中，，．，平分；（3）的度數(shù)不變，，如圖，在上截取，連接．

．，，，，即是等邊三角形，，，．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級上·山東德州·期末）如圖，向外作和等邊，連接．(1)如圖1，當也是等邊三角形時，連接，交于點．①試猜想、的關(guān)系，并說明理由；②連接，問是否平分，為什么？(2)如圖2，當是直角三角形時，若，．求證：．【答案】(1)①猜想：，理由見解析；②平分，理由見解析；(2)見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．（1）①證明，從而得出；②作于點，作于點．由①結(jié)論可得：，從而，從而推出，進而得出結(jié)果；（2）向外作等邊，連接，由（1）①的結(jié)論可得：，可證得點、點、點點共線，從而得出是線段的垂直平分線，進一步得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①，且，理由如下：和都是等邊三角形，，，，∴，∴；②如圖1，平分，理由：作于點，作于點．由①結(jié)論可得：，，，，平分；（2）證明：如圖2，向外作等邊，連接，由（1）①的結(jié)論可得：，是等邊三角形，，，，，，，，點、點、點點共線，是線段的垂直平分線，，．【過關(guān)檢測】過關(guān)檢測一、單選題1．（23-24八年級上·河南許昌·期末）如圖，中，，、的垂直平分線分別交于點、，連接、，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵的垂直平分線分別交于點E、F，∴，，∴，，∴，∴．故選：B．2．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，在等邊中，是邊上的中線，延長至點，使，若，則（）A． B．6 C．8 D．【答案】C【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．先由等邊三角形的性質(zhì)，得，，，再根據(jù)，得，進而得，則，然后在中，由勾股定理求出即可．【詳解】解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．故選：C．3．（22-23八年級上·北京朝陽·期末）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”下列關(guān)于箏形的結(jié)論錯誤的是（

）A．直線是箏形的對稱軸B．對角線平分，C．對角線，互相垂直平分D．箏形的面積等于對角線與的乘積的一半【答案】C【分析】本題根據(jù)對稱軸的定義可判斷A項，根據(jù)題意證明，利用全等三角形性質(zhì)和角平分線的判定，可判斷B項，根據(jù)垂直平分線判定可判斷C項，再利用三角形面積公式可判斷D項，即可解題．【詳解】解：，，，，直線是箏形的對稱軸，A結(jié)論正確，故A項不符合題意；，，對角線平分，，B結(jié)論正確，故B項不符合題意；，，對角線垂直平分，C結(jié)論錯誤，故C項符合題意；記對角線，相交于點，箏形的面積為，，箏形的面積等于對角線與的乘積的一半，D結(jié)論正確，故D項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、軸對稱圖形的定義、角平分線的判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)判定并靈活運用即可解題．4．（23-24八年級上·湖北隨州·期末）如圖，在四邊形中，，平分，，，，，則的面積是（

）

A． B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的面積，利用全等三角形的性質(zhì)求出是解此題的關(guān)鍵．可以過D作，交的延長線于F，證明得出，，再證明，得出，求出，求出的面積即可．【詳解】解：過D作，交的延長線于F，

∵平分，∴，在和中，，∴∴，，在和中，∴，∴，∴∴的面積為，故選：A．5．（23-24八年級上·重慶永川·期末）如圖，是等邊三角形，以為邊向外作等邊三角形，點E，F(xiàn)分別在，上，且，連接，兩直線相交于點G，連接，下列結(jié)論：①，

②，

③，

④，⑤．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定可判斷①；再由全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)即可判斷②；延長到點M，使，連接．繼續(xù)利用等邊三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)即可判斷③④；再由等邊三角形及三角形面積即可判斷⑤．【詳解】解：∵是等邊三角形，以為邊向外作等邊三角形，∴，即與最長邊不相等，∴與不全等，故①錯誤；∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∵，∴，選項②正確；

延長到點M，使，連接．由②知，，∴，∵．∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故④正確；∴，故③正確；根據(jù)條件無法證明，故⑤錯誤，正確的有②③④，共3個，故選：C．二、填空題6．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，是等腰直角三角形，，平分交于點D，于E．若的周長為，則．【答案】8【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和是等腰直角三角形得，，是等腰直角三角形，即可通過等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長度，進而求出的長度．本題考查了三角形的邊長問題，掌握角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵是等腰直角三角形，，平分交于點，于∴，，是等腰直角三角形，∴，∵的周長為，∴，∴∴∴故答案為：8．7．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P，連接并延長交于點D，若，則．【答案】【分析】本題考查基本作圖—作角平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意，得到平分，進而得到，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及等角對等邊得到，即可．【詳解】解：∵，∴，由題意，得：平分，∴，∴，在中，，∴；故答案為：．8．（22-23八年級上·山東濟南·期末）如圖，在中，，點在上，，，延長至點，使，過點作于點，交于點，若，則．【答案】【分析】過點作于點，設(shè)，則，求出，利用直角三角形的性質(zhì)得，則，同理得，則，，再證，進而可依據(jù)“”判定和全等，從而得，則，由此解出即可得的長．【詳解】解：過點作于點，如圖所示：設(shè)，，，，在中，，則，，，，，在中，，則，，，，，，又，，，在和中，，，，，解得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．9．（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在中，，，E是的中點，在斜邊上有一動點D．從點B出發(fā)，沿著的方向以每秒的速度運動，當點D運動到點A時，停止運動．設(shè)動點D的運動時間為，連接，若為等腰直角三角形，則t的值為．【答案】或/或【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．分和，兩種情況進行討論即可．【詳解】解：∵，，是的中點，∴，由題意，得：，當為等腰直角三角形時，分兩種情況：①當時，∵，∴，∴，由勾股定理，得：，∴（負值舍去）；②當時，則：，∴，由勾股定理，得：，解得：（負值已舍掉）；綜上：或．故答案為：或．10．（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒（）．若點恰好運動到的垂直平分線上時，則的值為秒．

【答案】秒或【分析】本題考查了勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)的運用，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵，作線段的垂直平分線，點P恰好運動到的垂直平分線上時，分兩種情況進行討論，即可得到t的值．【詳解】解：如圖，作的垂直平分線，

在中，由勾股定理可得：，①，，由時，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：秒；②由時，，即，解得：，綜上所述，的值為或秒，故答案為：秒或秒．三、解答題11．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在中，點是邊上的一點，連接，垂直平分線段，垂足為，交于點，連接．(1)若，的周長為7，求的周長；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)的周長為19；(2)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形周長公式得到，則的周長為；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，證明，得到，則．【詳解】（1）解：是線段的垂直平分線，，，，，的周長為，的周長為；（2）解：是線段的垂直平分線，∴，，，，，，在和中，，，．12．（23-24八年級上·云南曲靖·期末）如圖，已知，點在射線上，點在射線上，且．連接，以為邊，在內(nèi)部作等邊．(1)求證：點在的角平分線上；(2)連接，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)．理由見解析【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）過點作于點，過點作于點，證明，得出，即可得證；（2）方法一：證明，得出，即可得證；方法二：在上截取線段，使得，證明，得出，即可得證；方法三：在上截取，連接，證明，得出，即可得證．【詳解】（1）證明：過點作于點，過點作于點，，在等邊中，，，在四邊形中，，，，，在與中，，，，，，點在的角平分線上；（2）解：方法一：．理由如下：由（1）可知：點在的角平分線上，，，，，，，，，，即方法二：．