江西省紅色十校高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

江西紅色十校2月聯(lián)考數(shù)學(xué)說(shuō)明：1．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．全卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫(xiě)在答題卡上，不得在試卷上作答，否則不給分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本中共有個(gè)個(gè)體，其值分別為、、、、，若該樣本的中位數(shù)為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，將數(shù)據(jù)由小到大排序，結(jié)合中位數(shù)的定義可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為，不合乎題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為，不合乎題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2.若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其離心率為，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的離心率求出，即可求得該橢圓的短軸長(zhǎng).【詳解】對(duì)于橢圓，由已知可得，，則，橢圓的離心率為，解得，則，因此，橢圓的短軸長(zhǎng)為.故選：B3.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，,，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，①，可得，②聯(lián)立①②可得，，所以，.故選：A.4.設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用線面、面面平行關(guān)系判斷A；由B的條件可得判斷；由直線、都平行于的交線判斷C；由線面垂直的性質(zhì)推理判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則直線與可能相交、也可能平行、還可能是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，直線與可能平行，如直線、都平行于的交線，且，滿足條件，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，又，因此，D正確.故選：D5.某班級(jí)舉辦元旦晚會(huì)，一共有個(gè)節(jié)目，其中有個(gè)小品節(jié)目．為了節(jié)目效果，班級(jí)規(guī)定中間的個(gè)節(jié)目不能安排小品，且個(gè)小品不能相鄰演出，則不同排法的種數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定個(gè)小品的安排方式，再安排其余個(gè)節(jié)目，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】用表示不安排中間且不相鄰的位置，則有，，，，，，，，，，，共種情況，個(gè)小品有種安排方式；再安排其余個(gè)節(jié)目，共有種安排方式；不同排法的種數(shù)有種.故選：C.6.已知面積為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)、、，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，由正方形的面積公式可得出，將代入等式整理可得出點(diǎn)的軌跡方程.詳解】設(shè)點(diǎn)、、，由，所以，，可得，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，即，即，整理可得，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.7.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合兩角和的正切公式可得出關(guān)于的方程，由已知可得出，可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)闉殇J角，則，則，整理可得，解得，所以，.故選：C.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)A，B是其右支上的兩點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的定義可得，進(jìn)而，在、中，分別用余弦定理表示，建立關(guān)于a的方程，解之即可求解.【詳解】由，得，結(jié)合題設(shè)有，由雙曲線的定義知，，，又，由，得，得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.圖象的對(duì)稱(chēng)中心為B.是奇函數(shù)C.D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷A選項(xiàng)；利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷B選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的最值可判斷C選項(xiàng)；利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A選項(xiàng)，由可得，所以，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，奇函數(shù)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D錯(cuò).故選：BC.10.若、為復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)定義、復(fù)數(shù)的加法可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，，所以，，，所以，，所以，，，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，則，，，，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨取，，則，，，所以，，故，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，，所以，，D對(duì).故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為上的減函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】令，解得即可判斷A；令求得，令求得，令求得即可判斷B；令可得，即可判斷C；由AB即可判斷D.【詳解】A：令，代入，得，解得，故A正確；B：令，代入，得，又，所以；令，代入，得，令，代入，得，所以，故B正確；C：令，代入，得，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；D：由選項(xiàng)AB知，，，則，所以函數(shù)不為R上的減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)集合，，若的真子集的個(gè)數(shù)是，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】解出集合，分析可知，集合的元素個(gè)數(shù)為，確定集合，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由可得，解得，因?yàn)?，則且，因?yàn)榈恼孀蛹膫€(gè)數(shù)為，設(shè)的元素個(gè)數(shù)為，則，解得，因?yàn)?，則，所以，，解得,因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.在正四面體中，M為PA邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則_________；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則_________．【答案】①.##②.【解析】【分析】把正四面體放置于正方體中，利用正四面體與正方體有相同的外接球，結(jié)合球的截面小圓的性質(zhì)、體積公式計(jì)算即得.【詳解】將正四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球即為該正四面體的外接球，如圖，外接球球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體棱長(zhǎng)為，由外接球直徑等于正方體的體對(duì)角線，得正四面體外接球半徑，當(dāng)過(guò)中點(diǎn)的正四面體外接球截面過(guò)球心時(shí)，截面圓面積最大，截面圓半徑為，當(dāng)該截面到球心的距離最大時(shí)，截面圓面積最小，此時(shí)球心到截面距離為，可得最小截面圓半徑，因此；正四面體外接球體積，正四面體的體積，因此.故答案為：；14.定義表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，設(shè)，已知或，則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，可知，，，可得出，設(shè)，分、兩種情況討論，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設(shè)，，，且，則，，，所以，，若，則，故，設(shè)，因此，，故，即，若，則，即，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于換元，，，，將、用、、表示，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】15.16.減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可得出實(shí)數(shù)、的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)（、為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，解得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.16.有雙鞋子，每雙標(biāo)記上數(shù)字、、、、，從中取只鞋子．（1）求取出的只鞋子都沒(méi)有成對(duì)的概率；（2）記取出的只鞋子的最大數(shù)字為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列答案見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）分析可知，只需在指定三雙鞋子，每雙鞋子各取一只，利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：取出的只鞋子都沒(méi)有成對(duì)，只需在指定三雙鞋子，每雙鞋子各取一只，所以，取出的只鞋子都沒(méi)有成對(duì)的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.17.如圖，在三棱柱中，，，平面，，，、分別是、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得出，由已知條件可得出，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、的方向分別為、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與平面夾角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?因?yàn)?，則，又，平面，平面，所以，平面.【小問(wèn)2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、的方向分別為、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，故.所以，，故與平面夾角的正弦值為.18.設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于點(diǎn)、.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值．【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②.【解析】【分析】（1）利用弦長(zhǎng)求解，即可求解拋物線方程；（2）①設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點(diǎn)；②利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得與面積之和的最小值．【小問(wèn)1詳解】解：由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線方程為，聯(lián)立可得，則，所以，即，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：①若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，同理可知，直線也不與軸重合，易知點(diǎn)，設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，因此，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，則，同理可得.所以.因此直線的方程為，由對(duì)稱(chēng)性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以，直線過(guò)定點(diǎn).解：②記點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故與面積之和的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.19.同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)且．若，則稱(chēng)a與b關(guān)于模m同余，記作（“|”為整除符號(hào)）．（1）解同余方程：；（2）設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】19.或20.6072；【解析】【分析】（1）根據(jù)同