高中數(shù)學(xué)必修三角函數(shù)

高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)基礎(chǔ)達標(biāo)1

1.與一457。角的終邊相同的角的集合是（）.

A.{a|a=457°+k360°,kH}B.{a|a=97°+k360°,左?Z}

C.{a|a=263°+k360。，左?Z}D.{a|a=—263°+k360°,kS}

解析由于一457。=—1X360。-97。=—2><360。+263。，故與一457。角終邊相同

角的集合是{a|a=-457。+/360。,左?Z}={砒/=263。+左?360。，左?Z}.答案C

2.若（7=上180。+45。，k《Z,則a是第象限角（）.

A.一或三B.一或二C.二或四D.三或四

解析當(dāng)k=0時，a=45。為第一象限角，當(dāng)上=1時，a=225。為第三象限角.

答案A

3.若角a和角夕的終邊關(guān)于x軸對稱，則角a可以用角用表示為（）.

Ak36。。+隊kGZ）Bk364。一隊k《Z）CA180。+以左?Z）DA180。一伙左?Z）

解析因為角a和角夕的終邊關(guān)于x軸對稱，所以。+夕=/360。（左?Z）,所

以a=Z?360。一伙左GZ）.故選B.答案B

4.若將時鐘撥快了10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過了度.

解析將時鐘撥快10分鐘，分針按順時針方向轉(zhuǎn)動，故為負角.分針轉(zhuǎn)過

的角度數(shù)是：一36詈0°=—60。.答案一60

5.—1040。角在第象限.

解析:與一1040。角終邊相同的角可表示為a=）t-360o+（-l040°）,當(dāng)k=3時，

a=40°,所以一1040。角與40。角的終邊相同，故一1040。角的終邊在第一象

限.答案一

6.設(shè)集合{a|a=—36。+左?90。,左?Z},N={創(chuàng)一180°<a<180°}，則MnN=

解析對于當(dāng)左=—1時，a=-126。；當(dāng)左=0時，a=-36。；當(dāng)左=1

時,a=54°；當(dāng)/=2時,a=144。.故〃nN={-126。，-36。，54°,144°}.

答案{一126。，-36°,54°,144°}

7.如圖，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點，點P從點

A（l,0）出發(fā)，以逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知

尸在1秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為。（0。<。<180。），經(jīng)過2秒達到

第三象限，經(jīng)過14秒后又恰好回到出發(fā)點A,求夕

解因為0°<。<180。且k-360°+18O°<20<k-360°+270°^eZ),則必有k=0,于

是90°<6<135°.又146="SGOOSGZ),所以e=]X180°,所以90°<7180°<135。，

721匚匚”“T=,,720°900°

尹<彳，所以〃=4或5,故8=^—或^―.

8.已知角2a的終邊在x軸的上方，那么(/是().

A.第一象限角B.第一、二象限角C.第一、三象限角D.第一、四象限角

解析由題意知k-360°<2?<180°+k-360°(keZ),fth1800<ct<90°+k-180°(^

?Z),按照左的奇偶性進行討論.當(dāng)k=2n(neZ),n-360°<a<90°+n-360°(H

ez),:.a在第一象限；當(dāng)左=2〃+l(〃GZ)時，180。+”-360。<.<270。+

”?360。(“?2),在第三象限.故a在第一或第三象限.答案C

9.若角a滿足180。*<360。，角5a與a有相同的始邊，且又有相同的終邊，那

么角ct=.

解析由于5a與a的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360。的整數(shù)倍，

即5a—a=4a=k360°.又180°<a<360°,令左=3,得a=270°.答案270°

10.如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線上；(2)終

邊落在直線上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界).

y,B

60°

/A

解(1)終邊落在射線上的角的集合為

你0°\一

S={a|a=60°+k360°,左?Z}；Ox

⑵終邊落在直線OA上的角的集合為S2={a|a=30°的

+^-180°,左?Z}；

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為S3={a|3(r+4?180c>WaW60。

+左?180。，左?Z}

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.下列函數(shù)中，周期為方的是(

解析T=意芍.答案D

2.下列命題中正確的是（）.

A.y=—'sinx為奇函數(shù)B.y=|sinx|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

C.y=3sinx+l為偶函數(shù)D.y=sinx—l為奇函數(shù)

解析尸卜inx|是偶函數(shù)，y=3sinx+l與丁=5詁》-1都是非奇非偶函數(shù).答案A

3.函數(shù)y=2sin2x+2cosx—3的最大值是().

A.11B.1C.—2D.—5

解析由題意，得y—2sin2x+2cosx—3=2(1—cos2x)+2cosx—3=一

2(cosx——1Wcos尤W1,.,.當(dāng)cosx=1■時，函數(shù)有最大值一；.答案

C

4.（2012.宿遷測試）函數(shù)y=sinq一J在［0,2汨上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

解析函數(shù)尸sin停一J=—sin/—：）,由2左兀一畀》一、2左兀+去左?Z解

得2bi—gxW2E+竽，左?Z,所以函數(shù)尸si,—J在［0,2兀］上的單調(diào)遞減

.、一7「八3兀】「7兀八［...「八3兀［「7兀八

區(qū)間為［o，yj,2可.答案［o,yj,［甲271

,349

5.（2012.泗洪檢測）sin9r,singu,sin不產(chǎn)，從大到小的順序為

解析:E〈壽〈當(dāng)〈得<兀，又函數(shù)y=sinx在全兀上單調(diào)遞減，

.3兀.4兀.971田安.371.4兀.971

smgAsnr^-Asm記合泰sm正

6.若女)=2sins(0<o<l)在區(qū)間0,占上的最大值是隹則①=.

TT7T<7)717T

解析\-%e0,g,即0W尤W1,且0<①<1,...OWCWXWHW.

??4、n.①兀也也—匹?n_3區(qū)安3

?1/(x)max——sin3—V2)>?sin3—0，3一4'即①一口4

7.已知函數(shù)_/（x）=logUsinx|.（l）求其定義域和值域；（2）判斷其奇偶性；

2

（3）判斷其周期性，若是周期函數(shù)，求其最小正周期；（4）求其單調(diào)區(qū)間.

解（l）V|sinx|>0,.'.sin尤WO,'.x^kit,左@Z.

???函數(shù)的定義域為{%|%WE,%￡Z}.<0<|sinx|W1,/.log-|sin20,

2

???函數(shù)的值域為{ylyeO}.

（2）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，?.,/（—x）=logl|sin（—x）|=logl|sinx|=?x）,

22

???函數(shù)"X）是偶函數(shù).

（3）??7（%+兀）=log1sina+兀）|=log』sinx\=J（x）,

22

J函數(shù)五X）是周期函數(shù)，且最小正周期是兀

（4）當(dāng)工￡,兀，叁+左兀時，/=|sinx|為增函數(shù)；當(dāng)1￡一方+左兀，內(nèi)i］時，

%=收!1%|為減函數(shù).,??函數(shù)y=108匕為減函數(shù)，???函數(shù)八元）的單調(diào)增區(qū)間為

2

一胃+防I,%兀），止Z；單調(diào)減區(qū)間為（%兀，^+kn,故Z.

8.函數(shù)y=sin］的定義域為［Q,b］,值域為一1,則〃的最大值和最小

值之和等于（）.

A4兀c8兀…C/

A.g-B?丁C.2兀D.4兀

27r4兀

解析利用函數(shù)丁=5111X的圖象知（0—O）min=g",（。一。）！儂=亍，故人一。的

最大值與最小值之和等于27r.答案C

9.定義在R上的函數(shù)五x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若五x）的最小正周期是兀，

且當(dāng)x?0,為時，於）=sinx,則{苧）=____..

解析由7（x）的最小正周期是兀，

知借）=^}=1一§.由於）是偶函數(shù)知廣§=劇

又當(dāng)x?0,.時,兀0=sinX..,.￡）=sin畀坐.答案坐

（兀、7T3兀

10.已知五X）=-2asin［2x+'京+2a+6,正日，yj,是否存在常數(shù)a,6GQ,

使得加0的值域為3—3WyW小一1}?若存在，求出a,6的值；若不存在，

請說明理由.

解當(dāng)??號W2x+強W圣?\一1Wsin（2x+「）W坐.

443o3V072

假設(shè)存在這樣的有理數(shù)。，b,則

—y13a~\-2a~\-b=-3〃=1,

當(dāng)a>0時,解得b=小—5（不合題意，舍去）;

2a~V2a~\-—1,

2〃+2〃+~=-3,Cl=-19

當(dāng)a<0時,解得j7故。，Z?存在，且。

、一y13a~\-2a~\-b=y[3-1,S=L

=-1,b=l.

基礎(chǔ)達標(biāo)3

1.下列函數(shù)中，同時滿足：①在（0,舒上是增函數(shù)，②為奇函數(shù)，③以71為最

小正周期的函數(shù)是（）.

X

A.y=tanxB.y=cosxC.y=tan]D.y=|sin%|

解析經(jīng)驗證，選項B、D中所給函數(shù)都是偶函數(shù)，不符合；選項C中所給

的函數(shù)的周期為27r.答案A

2.與函數(shù)產(chǎn)tan（2x+獅圖象不相交的一條直線是（）.

兀c兀一兀c兀

A.x=2B.x=—2C.x=4D.x=g

解析當(dāng)x=*,2X+：=3，而3的正切值不存在，所以直線x弋與函數(shù)的

圖象不相交.故選D.

答案D

3.方程tan（2x+§=/在區(qū)間[0，2兀）上的解的個數(shù)是（）.

A.5B.4C.3D.2

解析由tan（2x+§=小解得2x+5=W+E（%￡Z）,.??％="/￡Z）,又無￡

7T3兀

[0,271）,/.x=0,2?兀,g.故選B.答案B

4.若函數(shù)尸tan（3aL§（QW0）的最小正周期為會則。=.

解析,>，!3^=2,-'-?=±|.答案±|

5.比較大?。簍an222。tan223°.

角星析因為tan222°=tan(180°+42°)=tan42°,tan223°=tan(180°+43°)=tan

43°,而tan42°<tan43°,所以tan222°<tan223°.答案<

6.函數(shù)丁=1七斗的奇偶性是______-

/°tanx—1

tanx—10,

{tan%+1即tan%>1或tanx<—

1.解得胃+左兀，一彳十女兀)01+%兀，F(xiàn)+E)(%￡Z).二,定義域關(guān)于原點對

稱，且穴一1)+尢0=0,.,猶元)是奇函數(shù).答案奇函數(shù)

7.已知函數(shù)y=tan俁一屁|.(1)作此函數(shù)在一個周期開區(qū)間上的簡圖；(2)求出此

函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.解(1)列表：

???71715???

X

~63671

1兀???7171???

2x-6~404

tan俁—*??????

-101

描點、連線、畫圖如圖.

從而函數(shù)的定義域是xW,兀+2左兀，左?Z1函數(shù)的周期是T=，=2兀.

2

711717124

又因為一1+左兀<臥—%<]+尿，左￡Z,所以一1兀+2E<x<q兀+2E.

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（一|兀+2E,%+2同，KZ；無減區(qū)間.

8.（2012.銀川二模）下列關(guān)于函數(shù)y=tan（x+§的說法正確的是（）.

A.在區(qū)間（一會d上單調(diào)遞增B.最小正周期是兀

C.圖象關(guān)于點仔，0）成中心對稱D.圖象關(guān)于直線》=聿成軸對稱

解析令左兀-3<%+]<左兀+/解得防I—3％<左兀+左?z,顯然卜聿，焉不

滿足上述關(guān)系式，故A錯誤；易知該函數(shù)的最小正周期為兀，故B正確；令

x+1=y,解得尸竽一$代Z,任取左值不能得到x昔故C錯誤；正切

曲線沒有對稱軸，因此函數(shù)丁=1211口+§的圖象也沒有對稱軸，故D錯誤.故

選B.答案B

解析..7（x）的圖象的相鄰兩支與所截得線段的長度即為五x）=tan①x的

一個周期，'U，0=4,因此年）=tan（4x]）=tan71=0.答案0

10.已知關(guān)于實數(shù)x的不等式x-（tan^+1）2JtangT）：

%2_3（tan0+l）x+

2（3tan6+l）W0的解集分別為M,N,且MnN=。，則這樣的。存在嗎？若

存在，求出。的取值范圍.

解假設(shè)。存在.由1）：

得2taneW%Wtan2<9+1,.\M={x|2tan0<x^tan20+1}.

*.*x2—3(tan8+l)x+2(3tan8+1)WO,當(dāng)tan■時，2W尤W3tan8+1.

當(dāng)tan6<g時，3tan8+1WxW2.,.,MnN=0,

當(dāng)tan■時，有3tan6+l<2tan0或tan2(9+1<2,

即tan。<一1或一l<tan6<1,<*.|,<tan0<1.(D

當(dāng)tan時，有2<2tan0或3tan0+l>tan20+1,即tanO>\或0<tanO<3,

1.6?<tan由①②得0<tan。<1,。的取值范圍是,，kn+^keZ

基礎(chǔ)達標(biāo)3

L（2012.深圳高一檢測）有三個命題：候與知的正弦線相等；鱷與普的正切線

相等；③;與乎的余弦線相等.其中真命題的個數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.0

解析根據(jù)三角函數(shù)線定義可知，耨毯的正弦線相等，碧等的正切線相等,

oo33

言苧的余弦線相反.答案B

2.設(shè)。=5111(—1),Z?=cos(—1),c=tan(—1),則有().

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

解析如圖作出角a=—lrad的正弦線、余弦線及正切線，顯然6=cos（—l）

=OM>0,c=tan(-l)<tz=sin(—1)<0,即c<a<5.答案C

3.在（0,2兀）內(nèi)，使sina>cosa成立的a的取值范圍為（）.

解析當(dāng)a的終邊在直線y=x上時，直線y=x與單位圓

的交點為

隹，坐），］—乎，一書.此時a4和今r，如圖所示.

當(dāng)aGq,京1）時，恒有

而當(dāng)a?(0,和(|兀，2兀)時，則有因此選C.答案C

4.角仇0<。<2兀)的正弦線與余弦線的長度相等且符號相同，則e的值為.

JT5

解析由題意知，角。的終邊應(yīng)在第一、三象限的角平分線上.答案4,不

5.若a為銳角，則sina+cosa與1的大小關(guān)系是

解析如圖所示，sina=MP,cosa=OM,

在RtAOMP中，顯然有

即sinct+cosa>l.答案sina+cosot>l

6.使tanct>l成立的角a的取值范圍為

TT

解析由于tag和tan學(xué)都等于1,利用三角函數(shù)的正切線(如圖)可知，角a

的終邊在圖中陰影部分，故角a的取值范圍為

|a2防r+將<a<2防或2防i+,<a<2E:+:，左?Zj

兀兀

｛a左兀+w<a<E+],kGZ\

兀兀

｛a4兀+干④(女兀+]，左?Z1

7.利用三角函數(shù)線，寫出滿足下列條件的角a的集合:

(l)sina穿乎;(2)cosaW3;(3)|cosa|>|sina\.

解⑴由圖①知：當(dāng)sin心看時，角a滿足的集合為

(2)由圖②知：當(dāng)cosaW/角a滿足的集合為

兀3兀I

\aZr.

(3)如圖③，作出單位圓.

所以角a滿足的集合為1aE—%a<E+：,左?Z

.SJE2TI2TL

8.(2012杭州外國語學(xué)校高一檢測)設(shè)a=siny,^=cosy,c=tany,貝ij().

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析如圖，在單位圓。中分別作出角，5、于2、子2的正弦線MR,余弦線

?！?、正切線AT.由a1=兀一171知MiPi=M2P2,

一兀兀，

21AT>MP>

又，易知22OM2,

/.cos^7i<sin與<tan與，ftb<a<c.答案D

9.已知集合E={0|cos6?<sin0,0W6<2兀},F={(9|tan/9<sin6},則ECF=.

解析結(jié)合正弦線、余弦線，可知.當(dāng):時，sin0<tan3；

jr

當(dāng)。=］時，tan8不存在；當(dāng)

71571兀

兀時，tan0<sin0；當(dāng)兀時，sinOWtan。.答案佃不〈6<兀

NHFN

10.求函數(shù)y=logsinx(2cos;r+l)的定義域.

解由題意得，要使函數(shù)有意義，則須

sinx>0且sinxW1,

如圖所示，陰影部分(不含邊

2cosx+l>0,

界與y軸)即為所求.

所以所求函數(shù)的定義域為

2

2Ali〈/2如+號或2An+￡</2加+鏟，kGZ

高中數(shù)學(xué)必修4向量試題基礎(chǔ)達標(biāo)1

1.化簡以下各式：①AB+BC+C4；②A3—AC+3D—CD；③。4—OD+AD；

@NQ+QP+MN-MP,結(jié)果為零向量的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析四個向量化簡后均為0.

答案D

―?―>―?―>

2.在平行四邊形A3CD中，\AB+AD\=\AB-AD\,則必有（）.

—>—>—>

A.AD=0B.A3=0或AD=0

C.口ABCD是矩形D.口ABCD是正方形

―>—>―>―>―>—>

解析由|A3+AD|=|A3—AD|得|AC|=|D3|,故也BCD為矩形.

答案C

—>—>

3.已知六邊形A3CDER是一個正六邊形，。是它的中心，其中a=OEb=OA,

—>—>

c=OB,則石尸等于（）.

A.a+bB.b~aC.c~bD.a+c

―?―?

解析由正六邊形性質(zhì)知：EF=OA=b,b=a+c.

答案D

4.如圖，在梯形A5CD中，AD//BC,AC與交于。

______D

點，則34—30—04+00+04=.

—>—>―?-?—>

解析BA-BC-0A+0D+DA

―?—>—>—>―>―>―>―>—>

=（BA—BC）-（0A-0D）+DA=CA~DA+DA=CA.

―>

答案CA

―?—>—>—>

5.設(shè)平面內(nèi)有四邊形A3CD和點。，。4=°,0B=b,0C=c,0D=d,若a+

c=b+d,則四邊形，BCD的形狀是.

解析'：a+c=b+d,：.OA+OC=OB+OD,：.OA~OB=OD-OC,：.BA

=CD,四邊形A3CD為平行四邊形.

答案平行四邊形

—>—>—>—>

6.已知。4=a,OB=b,若|。4|=12,|03|=5,且NAO3=90。，則|a—〃尸.

—>—>

解析'：\OA\=12,\0B\=5,ZAOB=90°,

—>—>—>—>

.,.|OA|2+|OB|2=|A5|2,：.\AB\=13.

―?―?―?—>―?

OA=a,OB=b,：.a—b=OA—OB=BA,

：.\a-b\=\BA\=13.

答案13

7.如圖，已知。4=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,0F=f,試用a,b,

c,d,e,7表示以下向量：

(1)AC；(2)AD；

(3)DF+FE+ED.

解(l)AC=OC-OA=c-a.

(2)AD=AO+OD=-OA+OD=-a+d.

(3)DF+FE+ED=DO+OF+FO+OE+EO+OD=O.

能力提升

8.在邊長為1的正三角形ABC中，|A3—的值為（）.

A.1B.2

D.小

解析作菱形A3CD,

―>―?—>―>—>

則\AB-BC\=\AB-AD\=\DB\=y[3.

答案D

9.設(shè)平面向量01，。2，的滿足”1一曲+的二。，如果平面向量加，厲,岳滿

足|瓦|=2周,且e?順時針旋轉(zhuǎn)30。后與瓦同向,其中，=1,2,3,則加一岳+優(yōu)

1

解析將以順時針旋轉(zhuǎn)30。后得a/,貝JaJ—a2'+西'=0.

又...。與端同向，且也|=2罔，...加一岳+岳=0.

答案0

10.如圖所示，。為△ABC的外心，”為垂心，求證:

—>—>—>―?

OH=OA+OB+OC.

―>—>

證明作直徑3D,連接D4、DC,則。3=—。￡>,

DA±AB,AHLBC,CHLAB,CD±BC.

J.CH//DA,AH//DC,

故四邊形AHCD是平行四邊形.

―?―?

：.AH=DC,

—>—>—>—>—>

又DC=OC-OD=OC+OB,

―?—>—>―?—>—>—>―?

OH=OA+AH=OA+DC=OA+OB+OC.

基礎(chǔ)達標(biāo)2

1.給出下面幾種說法：

①相等向量的坐標(biāo)相同；

②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；

③一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量；

④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應(yīng).

其中正確說法的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量，故③

錯誤.

答案c

2.已知向量。4=(3,-2),03=(—5,-1),則向量的坐標(biāo)是().

A［一務(wù)2)B.(4,一］)

C.(-8,1)D.(8,l)

—>—>—>

解析AB=0B-0A=(-5,-1)-(3,-2)=(—8,1),

—A

8,1)=(-4,T).

答案A

―?―?―?

3.在平行四邊形A3CD中，AC為一條對角線.若AB=(2,4),AC=(1,3),則3。

等于().

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

—>—>—>—>―?—>—>―?―?

解析'：AC=AB+AD,：.AD=AC-AB=(-1,-1).：.BD=AD~AB=(-

3,-5).

答案B

4.a=(4,6),且a=2瓦那么〃的坐標(biāo)是.

解析,:a=2b,b=^a=^(4,6)=(2,3).

答案(2,3)

―?―?

5.已知M(3,—2),N(—5,-1),MP=^MN,則尸點的坐標(biāo)為.

―?―?

解析設(shè)P(x,y),則由得，(X—3,y+2)=|(—8,1),所以P點

的坐標(biāo)為(一1,一|；

答案I-1)

-A-A

6.已知AB=(x,y),3的坐標(biāo)是(一2,1),那么。4的坐標(biāo)為.

—>—>—>—>

解析的坐標(biāo)是(一2,1),.?.03=(—2,1),.?.04=03+34=(—2,1)+(一

x,—y)=(—2—x,l—y).

答案(一2一x,l-y)

7.如圖，已知四邊形A5CD為平行四邊形，。為對角線AC,

3。的交點，AD=(3,7),AB=(-2,1).求03的坐標(biāo).AD

―?—>—>

解DB=AB-AD=(-2,1)-(3,7)=(-5,—6),

—?—A

OB=^DB=^(—5,—6)=(^—I，一3；

能力提升

8.已知向量集M={a|a=(l,2)+4(3,4),AeR},N={a\a=(-2,-2)+2(4,5),A

GR},則舷nN等于().

A.{(1,1)}B.{(1,1),(-2,-2)}

C.{(-2,—2)}D.0

解析設(shè)a=(x,y),對于M,(x,y)=(l,2)+，3,4),(I,廠2)=13,4),

x_］=3九x—1y—2,

c“??.-^-=丁.對于N,a，y)=(—2,—2)+〃4,5),(x+2,y

了一2=42,。葉

卜+2=4九.冗+2y+2

+2)=2(4,5),i?*-A~~c-,解傳冗二-2,y=~2.

U十2=54,4,

答案C

9.(2012.洛陽高一檢測)設(shè)m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定兩向量之間的…個運算

為m?n={ac—bd,ad+Z?c),若已知p=(l,2),pBq=(—4,—3),貝！Jq=.

解析設(shè)q=(x,y),則由題意可知［；+：：］_：

=—2,

解得x，’所以q=(—2,1).

3=1，

答案(-2,1)

10.已知向量〃=(%,y)與向量o=(y,2y—%)的對應(yīng)關(guān)系用表示.

(1)證明：對任意向量力及常數(shù)相，〃，恒有用迎+帥)=淅〃)+研辦)成立;

(2)設(shè)。=(1,1),6=(1,0),求向量加)及他)的坐標(biāo);

(3)求使式c)=(/2,q)(p,q是常數(shù))的向量c的坐標(biāo).

(1)證明設(shè)。=3,㈤,方=(仇，岳)，

則ma+nb=(jnai-\-nbi，加念+九歷)，

:.fijna+nb)=(jna2+nb2lma2+2nb?——ma\—nbi)9m/(a)+限b)

—m(a22a2一)+n(Jb22bz~b\),

=(ma2+〃岳,2加念+2泌2—mai—nbi).

:?f(jna+帥)=mjlsvszah+nfljb)成立.

(2)解-a)=(l,2Xl—1)=(1,1),

^)=(0,2X0-l)=(0,-1).

(3)解設(shè)c=(x,y),

則式c)=(y2y—x)=(p，q),

.?y=p,2y—x=q,

：.x=2p—q,

即向量c=(2,一Q,p).

(數(shù)學(xué)4必修)第二章平面向量

［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組］

一、選擇題

1.化簡AC—CD—45得()

A.ABB.DAC.BCD.0

2.設(shè)%,瓦分別是與向的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a0-b0B.%.%=］

C.|<20|+1Z?o|=2D.\aQ+bQ\=2.

3.已知下列命題中：

(1)若keR,且濕7=0,則左=0或b=0,

(2)若。m=0,則a=0或》=0

(3)若不平行的兩個非零向量工九滿足|同=|方|,則@+B)-Q—B)=0

(4)若￡與否平行，則。8=|%|?|加其中真命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

4.下列命題中正確的是()

A.若a?b=O,貝!Ja=O或b=0

B.若a-b=O,則a〃b

C.若2〃13,則a在b上的投影為|a|

D.若@_1_1),則a,b=(a?b『

5.已知平面向量a=(3,1),b-(x,-3),且。_15,則x=()

A.-3B.-1C.1D.3

6.已知向量。=(cose,sin8),向量3=貝！112。一刃|的最大值，

最小值分別是()

A.4A/2,0B.4,4V2C.16,0D.4,0

二、填空題

--?--?]--?

1.若。A=(2,8),05=(—7,2),則145=

2.平面向量。,。中，若a=(4,-3),%=：!,S.a-b=5,則向量。

3.若忖=3,忖=2,且々與Z的夾角為60°,則o

4.把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的始點，那么這些向量的終點

所構(gòu)成的圖形是。

5.已知五=(2,1)與B=(1,2),要使區(qū)+@最小，則實數(shù)。的值為。

三、解答題

1.如圖，ABC。中，E,歹分別是3。,。。的中點，G為交點，若AB=a,AD=b,

試以a,b為基底表示石石、BF、CG.

2.已知向量a與b的夾角為60,|b|=4,(a+2)).(a—36)=—72,求向量a的模。

TT->

3.已知點3(2,-1),且原點。分AB的比為-3,又6=(1,3),求b在AB上的投影。

4.已知a=(1,2),5=(—3,2),當(dāng)：為何值時,

(1)左a+b與a-3Z?垂直？

(2)左a+各與a-3g平行？平行時它們是同向還是反向？

(數(shù)學(xué)4必修)第二章平面向量［綜合訓(xùn)練B組］

一、選擇題

1.下列命題中正確的是()

A.OA—OB=ABB.AB+BA=O

C.0-AB—0D.AB+BC+CD=AD

2.設(shè)點A(2,0),3(4,2),若點P在直線A8上，且A5=2AP,

則點P的坐標(biāo)為()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.(3,1)或(1,—1)D.無數(shù)多個

3.若平面向量B與向量Z=(l,—2)的夾角是18O7,且I印=3?，則|=()

A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)

4.向量〃=(2,3),/?=(-1,2),若ma+b與〃一2人平行，則相等于

A.—2B.2C.—D.----

22

5.若。/是非零向量且滿足(。―25)(b-2a)Lb，則。與人的夾角是()

31-

6.設(shè)〃=(2，sina),b=(coscr,-),且a〃b,則銳角。為()

A.30°B.60°C.75°D.45°

二、填空題

1.若|a|=l,|〃|=2,c=a+Z?,且。_1〃，則向量。與人的夾角為

―>—>—>—>—>—>—>

2.已知向量〃=(1,2),b=(-2,3)，c=(4,1),若用〃和匕表示c,貝!Ic=

3?若忖=1,忖=2,a與%的夾角為60°,若(3〃+5Z?)J_(加〃一5),則切的值為

4.若菱形A3CD的邊長為2,貝“A3—C3+C“=。

5.若7=(2,3),^=(-4,7),則：在力上的投影為o

三、解答題

1.求與向量a=(l,2),b=(2,1)夾角相等的單位向量c的坐標(biāo).

2.試證明：平行四邊形對角線的平方和等于它各邊的平方和.

3.設(shè)非零向量。，"c,d,滿足d=(〃c)b—(aZ?)c,求證：a±d

4.已知a=(cosa,sina),b=(cos/?,sinp),其中0＜。＜/〈萬.

⑴求證：a+b與。一人互相垂直;

（2）若總+N與0%b的長度相等，求/?-a的值（左為非零的常數(shù)）.

（數(shù)學(xué)4必修）第二章平面向量

［提高訓(xùn)練C組］

一、選擇題

1.若三點A（2,3）,3（3,a）,C（4,Q共線，則有（）

A.a=3^b——5B.a—Z?+l=0C.2a—b=3D.a—2b=0

2.設(shè)0＜夕＜2不，已知兩個向量=（cos￡,sing）,

麗=（2+sin6,2—cos。），則向量月至長度的最大值是（）

A.V2B.V3C.3V2D.2V3

3.下列命題正確的是（）

A,單位向量都相等

B.若"于是共線向量，分與七是共線向量，則;與［是共線向量（）

C.|a+b\=|a—b\,則a?=0

D.若￡與％是單位向量，則%?d=1

4.已知a為均為單位向量，它們的夾角為60°,那么,+3,=（）

A.V7B.V10C.V13D.4

5.已知向量a,b滿足何=1,慟=4,且。力=2,則。與b的夾角為

6.若平面向量Z與向量4=(2,1)平行，且|川=26，則|=()

A.(42)B.(T,—2)C.(6,-3)D.(4,2)或(-4,—2)

二、填空題

1.已知向量a=(cosO,sin，)，向量。=則Ra-可的最大值是.

2.若4(1,2),8(2,3),C(-2,5),試判斷則4ABC的形狀.

3.若a=(2,-2),則與a垂直的單位向量的坐標(biāo)為。

4.若向量加=2,|“一。=2,貝!)|很+口=o

5.平面向量a,另中，已知a=(4,—3),卜卜1,且aZ?=5,則向量6=。

三、解答題

1.已知a,b,c是三個向量，試判斷下列各命題的真假.

(1)若Q?Z?=Q?C且貝!|b=c

(2)向量。在b的方向上的投影是一模等于同cos8(。是a與b的夾角)，方向與a在｝

相同或相反的一個向量.

2.證明：對于任意的a,dc,deR,恒有不等式(ac+bdf

3.平面向量。=(g,-1)乃=(工,也)，若存在不同時為0的實數(shù)上和f，使

x=a+(t2-3')b,y=-ka+tb,S.x±y,試求函數(shù)關(guān)系式上=/(?)。

4.如圖，在直角△ABC中，已知3C=a,若長為2。的線段PQ以點A為中點，問而與近

的夾角。取何值時而?質(zhì)的值最大？并求出這個最大值。

數(shù)學(xué)4(必修)第二章平面向量［基礎(chǔ)訓(xùn)練A組」

一、選擇題

l.DAD-BD-AB=AD+DB-AB=AB-AB=O

2.C因為是單位向量，|4|=1,|為|=1

3.C(1)是對的；(2)僅得a_Lb；(3)(a+b)-(a-b)=a2-b2=|?|2-|/?|=0

(4)平行時分0°和180°兩種，?Z?=|a|-|/?|cos6*=±U|&|

4.D若AB=DC,則A5C。四點構(gòu)成平行四邊形;卜+.＜同+忖

若。〃b,則。在b上的投影為時或-同，平行時分0°和180°兩種

a_LZ?=aZj=0,(。3)2=0

5.C3x+1x(—3)=0,%=1

6.D2a—b=(2cos夕一代,2sin0+I),\2a-b\=7(2cos0-A/3)2+(2sin0+1)2

=+4sifli—百~IZoj+88爭:,最大值為4,最小值為0

二、填空題

1.(-3,-2)AB=OB-O/9,Y

,43.Il_,ab“,.,.j1/43

2.(二,一二)kz=5,ccxstzb---；―r=方向相同，b=—a=(—j—

5511同網(wǎng)555

3.布卜―zjW(a-&4%2ab+2d=922:§義不

4.圓以共同的始點為圓心，以單位1為半徑的圓

5.|?+^|=y/(a+tb)2=y/a2+2tab+fb2=A/5?2+8Z+5,當(dāng)f=—1?時即可

三、解答題

1.解：DE=AE-AD=AB+BE-AD=a+-b-b=a-］-b

22

BF—AF—AB—AD+DF—AB—bH—a—a—b—u

22

G是△CB。的重心，CG=!G4=—1AC=—1(。+6)

333

2.解：(a+2))，3ZJ)=a?—a匕一6Z?2=—72

|?|2-|?||/?|cos60°-6|Z2|2=-72,|?|2-2|fl|-24=0,

(同—4)(同+2)=0,同=4

A0

3.解：設(shè)A(匹y),——=—3,得AO=—303,即(―％—y)=—3(2,—l),x=6,y=—3

OB

得A(6^二，A3=(—4,2|)4|8「，網(wǎng)=

1'11\AB\10

4.解：ka+b=k(l,2)+(—3,2)=(一一3,2k+2)

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)

(1)(左a+b)_L(a—3Z?),

得(左a+b)(a—3b)=10(左一3)—4(2k+2)=2左一38=0,左=19

(2)(ka+b)//(a-3b),得一4(Z—3)=10(2Z+2),左=—；

此時左a+6=(-g,g)=-g(10,-4),所以方向相反。

數(shù)學(xué)4(必修)第二章平面向量［綜合訓(xùn)練B組］

一、選擇題

1.D起點相同的向量相減，則取終點，并指向被減向量，OA-OB=BA-,

AB,54是一對相反向量，它們的和應(yīng)該為零向量，AB+BA=O

2.C設(shè)P(x,y),由|叫=叫得AB=2AP,或AB=—2AP,

AB=(2,2),AP=(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,l)；

(2,2)=-2(x-2,y),x=l,y=-l,P(l,-1)

3.A設(shè)5=履=(左2左)/<0,而|川=3后，則瘋7=3括，左=—3,0=(—3,6)

4.Dm研■b=^2ni3(1,2)飽2施;

a~2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),則—2〃z+1=12m+8,m=-1