四川省遂寧市蓬溪縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考題含解析

Page19一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.假如復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由純虛數(shù)概念建立關(guān)系式求解即可.【詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故選：C.2.拋擲一顆質(zhì)地勻整的骰子，有如下隨機事務(wù)：“點數(shù)為”，其中；“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)大于4”下列結(jié)論是推斷錯誤的是（）A.與互斥 B.，C. D.，為對立事務(wù)【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)和對立事務(wù)的定義推斷AD，由事務(wù)的運算推斷B，由事務(wù)間關(guān)系推斷C．.【詳解】由題意與不行能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；中點數(shù)為1或2，中點數(shù)為3，4，5或6，因此它們的并是必定事務(wù)，但它們不行能同時發(fā)生，因此為不行能事務(wù)，B正確；發(fā)生時，確定發(fā)生，但發(fā)生時，可能不發(fā)生，因此，C正確；與不行能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯誤；故選：ABC．3.過點和點的直線的傾斜角和斜率分別是（

）A. B.不存在 C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合點的位置，由直線的傾斜角和斜率的概念可得.【詳解】已知和點，由兩點橫坐標(biāo)相等，可知直線的傾斜角為，斜率不存在.故選：B.4.在平行六面體中，M為與的交點．，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運算的法則，對向量進行表示即可．【詳解】平行六面體中，故選：A．5.已知甲、乙兩人同時向目標(biāo)射擊，至少有一人命中的概率為70℅，已知甲射擊的命中率為40℅，且甲、乙兩人的命中率互不影響，則乙射擊的命中率為（

）A.50℅ B.60℅ C.75℅ D.85℅【答案】A【解析】【分析】先由對立事務(wù)概率和為，求出兩人都未命中的概率，再結(jié)合相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率乘法公式列方程求解即可.【詳解】記事務(wù)“甲命中”，事務(wù)“乙命中”，事務(wù)“至少有一人命中”，則“兩人都未命中”，即，已知70℅，則30℅，已知40℅，則60℅，由甲、乙兩人的命中率互不影響，得，解得，故選：A.6.A,B兩個元件組成一個串聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設(shè)事務(wù)“元件正常”，“B元件正?！?，用分別表示A,B兩個元件的狀態(tài)，用表示這個串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效.下列說法正確的個數(shù)是（）①樣本空間；②事務(wù)；③事務(wù)“電路是斷路”可以用（或）表示；④事務(wù)“電路是通路”可以用（或）表示，共包含3樣本點.A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)事務(wù)的定義確定樣本點，推斷各個命題．【詳解】因為分別取值0和1，因此取值為，①正確；事務(wù)中，而任取，因此②正確；事務(wù)“電路是斷路”中，至少有一個取0，因此事務(wù)“電路是斷路”，，，，從而“電路是斷路”可表示為，③錯；事務(wù)“電路是通路”中，兩個都取1，因此事務(wù)“電路是通路”，，從而“電路是通路”可表示為，其中只有一個樣本點，④錯．正確的個數(shù)是2，故選：B．7.如圖，在正三棱柱中，若,則與所成角的大小為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取的中點，連接，把異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，在中，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，分別取的中點，連接，可得且，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，因為三棱柱為正三棱柱，因為，在直角中，可得，在直角中，可得，再取的中點，連接，可得，因為底面，所以底面，在直角中，可得，所以，所以，所以異面直線與所成的角為.故選：C.8.《中國建筑史》(梁思成著)載:"大雄殿之左側(cè)白塔凌空，高十三級，甚峻拔。"該塔位于蓬溪縣赤城鎮(zhèn)白塔街，坐西向東，為四方形樓閣式磚石塔，塔身白色，共十三層，自宋代始建以來至今已800余年，充分體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)建筑技術(shù)水平。某數(shù)學(xué)愛好小組為了測得塔高，如圖，在A點測得塔底位于北偏東60°方向上的點D處，塔頂C的仰角為30°，在A的正東方向且距D點44的B點測得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），則塔的高度CD約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.42m B.45m C.36m D.38m【答案】C【解析】【分析】在中，應(yīng)用正弦定理求得，依據(jù)且計算即可求解CD.【詳解】由題設(shè)，在中，，由正弦定理得，，則m，在中，由，則,所以m.故選：C.二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9.下列命題中，正確的是（）A.若，分別是平面α，β的法向量，則B.若，分別是平面α，β的法向量，則C.若是平面α的法向量，是直線l的方向向量，l與平面α平行，則D.若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直【答案】BCD【解析】【分析】選項A中平面α，β可能平行或重合；選項B，兩個平面垂直則法向量相互垂直，選項是正確的；直線和平面平行，則直線和平面的法向量垂直，可得C也是正確的；D選項是B中命題的逆否命題，所以D也是正確的.【詳解】選項A中平面α，β可能平行或重合，所以選項A錯誤；選項B，兩個平面垂直則法向量相互垂直，即點積為0，反之也成立，故B正確；選項C，直線和平面平行，則直線和平面的法向量垂直，即法向量點積為0，故C正確；選項D，由B選項知，平面垂直和法向量垂直是等價的，D選項是其逆否命題，故D是正確的.故選：BCD．10.一個質(zhì)地勻整的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事務(wù)B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事務(wù)A與事務(wù)B互斥C.事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立 D.【答案】CD【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解推斷；B.利用互斥事務(wù)的定義推斷；C.利用獨立事務(wù)的概率求解推斷；D.利用并事務(wù)的概率求解推斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本領(lǐng)件，則，A不正確：事務(wù)B含有的基本領(lǐng)件有8個：，，，，，，，，其中事務(wù)，，，發(fā)生時，事務(wù)A也發(fā)生，即事務(wù)A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的全部基本領(lǐng)件有16個，，，即事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立，C正確；，D正確.故選：CD.11.CPI是居民消費價格即消費價格指數(shù)，是反映居民家庭一般所購買的消費品和服務(wù)項目價格水平變動的宏觀經(jīng)濟指標(biāo).下圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2024年5月至2024年5月全國居民消費價格漲跌幅統(tǒng)計圖，其中同比是與上年同期對比（如今年5月與上年5月），側(cè)重數(shù)據(jù)長期趨勢，環(huán)比是與上月對比（如今年5月與4月），側(cè)重數(shù)據(jù)短期變更，則下列說過正確的是（）A.2024年5月至2024年5月同比漲幅極差為B.2024年1月至5月同比漲幅的分位數(shù)為C.從環(huán)比看，CPI由2024年2月至4月起先持續(xù)上漲D.隨機從2024年1月至5月的同比數(shù)據(jù)選擇兩個探討，則選取4月和5月的概率為【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)極差概念求極差推斷A，依據(jù)百分位數(shù)計算推斷B，依據(jù)數(shù)據(jù)變更推斷C，依據(jù)古典概型概率公式計算推斷D.【詳解】A選項中的極差為，故A正確；B選項中的數(shù)據(jù)由小到大排列為，由，不是整數(shù)，所以分位數(shù)為第4個數(shù)，故B正確；C選項中2月至4月均為負數(shù)，說明下降，故C錯誤；D選項等價于從5個數(shù)字中隨機選取2個，樣本空間包含的樣本點總數(shù)為10，其中隨機事務(wù)“選到4月和5月”包含的樣本點數(shù)為1，古典概型概率計算公式可得所求概率為，故D錯誤.故選：AB.12.已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.點與點到平面的距離相等 D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BD【解析】【分析】確定直線與直線所成的角推斷A；連接，由線面平行的判定推斷B；由平面是否過的中點推斷C；作出截面，再計算面積推斷D作答.【詳解】對于A，在正方體中，，則為直線與直線所成的角或其補角，連接AC，由平面ABCD，得，即在中，，則不行能是直角，直線與直線不垂直，A錯誤；對于B，連接，由，分別為，的中點，得，又，則四邊形是平行四邊形，于是，而四邊形是正方體的對角面，點為中點，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正確；對于C，連接交于，明顯不是的中點，則平面不過的中點，即點C與點G到平面的距離不相等，C錯誤；對于D，由選項B知，，，即等腰梯形為平面截正方體所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面積為，D正確.故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)的模長為________【答案】【解析】【分析】先化簡已知條件由復(fù)數(shù)除法運算求出，再求模長【詳解】由已知，則所以故答案為：.14.已知直線l的方向向量的坐標(biāo)為，則直線l的傾斜角為_________．【答案】【解析】【分析】由方向向量得直線斜率，從而得傾斜角．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，由已知直線l的方向向量的坐標(biāo)為，得斜率，∴．故答案為：．15.二面角為，,是棱上的兩點，，分別在半平面，內(nèi)，，，且，，則的長為_____．【答案】【解析】【分析】將分解為，再求模即可.【詳解】由題意，∵二面角為，，，∴與夾角為，∴與夾角，，∴，即的長為.故答案為：.16.已知正三棱柱的六個頂點在球上，又球與此三棱柱的個面都相切，則球與球的表面積之比為______.【答案】##5【解析】【分析】由題意，可知球與球分別為正三棱柱的外接球與內(nèi)切球，分別求出兩個球的半徑，進而可求出兩球的表面積，從而可求出答案.【詳解】由題意可得兩球、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面如圖，設(shè)正三棱柱底面邊長為，兩球半徑分別為，則，，則正三棱柱的高，在中，，有,，所以球與球的表面積之比.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中,角所對的邊分別為.已知,,.（1）求角；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)余弦定理即可求解；(2)利用二倍角的正弦公式、余弦公式以及兩角差的正弦公式求解.【小問1詳解】因為，由余弦定理可得，可得，因為，所以．【小問2詳解】由，為三角形內(nèi)角，則，因為，，所以.18.（1）已知點和點，在軸上求一點的坐標(biāo)，使為直角；（2）已知四邊形的四個頂點的坐標(biāo)分別為、、、.求證：四邊形是梯形【答案】（1）或；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，由列方程，由此求得點的坐標(biāo).（2）利用斜率推斷直線是否平行，利用兩點間距離公式推斷線段是否相等.【詳解】（1）因為點在軸上，所以可設(shè)點，由題意知，且，由已知點和點，則直線的斜率，直線的斜率，因為，所以，所以，解得或，所以點的坐標(biāo)為或.（2）由，則，，由題意是四邊形，知不共線，則，又，，故，所以四邊形是梯形.19.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地勻整的六面體骰子，登記骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用（x，y）表示一次試驗的結(jié)果，設(shè)A=“兩個點數(shù)之和等于8”，B=“至少有一顆骰子的點數(shù)為5”，C=“紅色骰子上的點數(shù)大于4”（1）求事務(wù)A，B，C的概率；（2）求的概率.【答案】（1）；；.（2）；【解析】【分析】(1)求出事務(wù)A，B，C的基本領(lǐng)件以及個數(shù)，利用古典概型的公式計算概率即可；(2)求出事務(wù)的基本領(lǐng)件以及個數(shù)，得出，再由得出.【詳解】解：該試驗的樣本空間可表示為，共有36個樣本點（1），有5個樣本點，所以；，有11個樣本點，所以.，有12個樣本點，所以.（2），有2個樣本點，所以；所以.【點睛】本題主要考查了計算古典概型問題的概率，屬于中檔題.20.某場館記錄了某月（30天）的空氣質(zhì)量等級狀況，如下表所示：空氣質(zhì)量等級（空氣質(zhì)量指數(shù)AQI）頻數(shù)優(yōu)（0≤AQI≤50）3良（50<AQI≤100）6輕度污染（100<AQI≤150）15中度污染（150<AQI≤200）6重度污染（200<AQI≤300）0嚴峻污染（AQI>300）0合計30（1）利用上述頻數(shù)分布表，估算該場館日平均AQI的值（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表）；（2）估計該場館本月空氣質(zhì)量為“優(yōu)或良”的概率，用它估計全年空氣質(zhì)量為“優(yōu)或良”的概率是否合理？并說明理由．（3）為提升空氣質(zhì)量，該場館安裝了2套相互獨立的大型空氣凈化系統(tǒng)．已知每套凈化系統(tǒng)一年須要更換濾芯數(shù)量狀況如下：更換濾芯數(shù)量（單位：個）345概率0.20.30.5求該場館一年須要更換8個濾芯的概率．【答案】（1）115（2），用它估計全年空氣質(zhì)量為“優(yōu)或良”的概率不合理，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）干脆依據(jù)平均數(shù)的求解方法計算；（2）依據(jù)表格可知一個月30天中達到優(yōu)或良的天數(shù)為9，從而估計概率，再依據(jù)實際狀況分析是否合理即可；（3）分2套相互獨立的大型空氣凈化系統(tǒng)中1套換3個，1套換5個，和2套均換4個，兩種狀況求解求和即可【小問1詳解】由題意，該場館日平均AQI的值為；【小問2詳解】一個月30天中達到優(yōu)或良的天數(shù)為9，故該場館本月空氣質(zhì)量為“優(yōu)或良”的概率為.因為空氣質(zhì)量受季節(jié)月份等因素有較大影響，故依據(jù)某一個月的數(shù)據(jù)估計全年的空氣質(zhì)量不合理.【小問3詳解】由題意，該場館一年須要更換8個濾芯可能是1套換3個，1套換5個，也可能是2套