華東師大版七年級數學上冊舉一反三專題3.4整式中的八大規(guī)律探究題(原卷版+解析)

專題3.4整式中的八大規(guī)律探究題【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1單項式的系數與次數的變化規(guī)律】 1【題型2多項式的項及次數的變化規(guī)律】 2【題型3圖表的規(guī)律】 2【題型4圖形的規(guī)律】 3【題型5算式的規(guī)律】 4【題型6程序運算】 5【題型7定義新運算】 6【題型8動點規(guī)律探究】 6【題型1單項式的系數與次數的變化規(guī)律】【例1】（2023春·云南昆明·七年級昆明市第三中學統(tǒng)考階段練習）按一定規(guī)律排列的單項式：a2，?2a3，4a4，?8a5，16a6，…，第n個單項式是（）A．(?1)n+1n2C．(?1)n+12【變式1-1】（2023春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）觀察下列單項式：xy2,?2x2【變式1-2】（2023春·七年級課時練習）觀察下列三行數：①2，?4，8，?16，32，?64，…；②3，?3，9，?15，33，?63，…；③?1，2，?4，8，?16，32，…；取每一行的第n個數，依次記為x，y，z，當n=2時，x=?4，y=?3當n=7時，請直接寫出x，y，z的值，并求這三個數中最大數與最小數的差．【變式1-3】（2023春·七年級課時練習）觀察下列單項式：?x,3x(1)這組單項式的系數依次為多少？系數的絕對值的規(guī)律是什么？(2)這組單項式的次數的規(guī)律是什么？(3)根據上面的歸納，你可以猜想出第n個單項式是什么嗎？(4)請你根據猜想，寫出第2022個、第2023個單項式．【題型2多項式的項及次數的變化規(guī)律】【例2】（2023春·河北廊坊·七年級統(tǒng)考期末）有一組按規(guī)律排列的多項式：a?b，a2+b3，A．a2023+b4047 B．a2023?【變式2-1】（2023春·北京延慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察一組按規(guī)律排列的代數式：a+2b，a2?2b3,【變式2-2】（2023春·全國·七年級專題練習）有一組多項式：a?b2，a3+b4，a5【變式2-3】（2023春·七年級課時練習）已知多項式a10(1)根據這個多項式的排列規(guī)律，你能確定這個多項式是幾次幾項式嗎?(2)最后一項的系數m的值為多少?(3)這個多項式的第七項和第八項分別是什么?【題型3圖表的規(guī)律】【例3】（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）在學習“勾股數”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現了一組有規(guī)律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中．則當a=90時，b的值為（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【變式3-1】（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）下面每個表格中的四個數都是按相同規(guī)律填寫的：根據此規(guī)律確定a的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【變式3-2】（2023春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）下面每個表格中的四個數都是按相同規(guī)律填寫的142638410……a20……29320435554bx第1個第2個第3個第4個……根據此規(guī)律確定x的值為（

）A．252 B．209 C．170 D．135【變式3-3】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在表一中，將第1行第3列的數記為[1，3]，則[1，3]＝3，將第3行第2列的數記為[3，2]，則[3，2]＝6；按照要求回答下列各題：（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；（2）在表一中，第3行第n+1列的數可以記為[3，n+1]＝；（3）如圖，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．【題型4圖形的規(guī)律】【例4】（2023春·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，用字母“C”、“H”按一定規(guī)律拼成圖案，其中第1個圖案中有4個H，第2個圖案中有6個H，第3個圖案中有8個H，……，按此規(guī)律排列下去，第2023個圖案中字母H的個數為(

)

A．4044 B．4046 C．6069 D．4048【變式4-1】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）用棋子擺成如圖所示的“小房子”，則圖⑤需要枚棋子，圖n需要枚棋子（用含n的代數式表示）．

【變式4-2】（2023春·山東臨沂·七年級?？计谀┑谝粋€圖案需要6根小棒，第二個圖案需要11根小棒，第3個圖案需要16根小棒…，則第10個圖案需要根小棒．

【變式4-3】（2023春·甘肅蘭州·七年級?？计谀┫铝袌D形都是由同樣大小的小鋼珠按一定規(guī)律排列的，按照此規(guī)律排列下去，第40個圖形有小鋼珠顆．

【題型5算式的規(guī)律】【例5】（2023春·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）觀察以下等式：第1個等式：2×1+1第2個等式：2×2+1第3個等式：2×3+1第4個等式：2×4+1……按照以上規(guī)律，第5個等式是：，第n個等式（用含n的式子表示）是：．【變式5-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·七年級統(tǒng)考期末）仔細觀察下列規(guī)律：22?2=22?1=2：(1)28(2)2n?1(3)小明做完上述兩題后，發(fā)現了一個運算規(guī)律：2=請你參考小明發(fā)現的規(guī)律計算：2100【變式5-3】（2023春·浙江寧波·七年級校聯考期末）請仔細觀察下列各等式的規(guī)律：第1個等式：11×3第2個等式：13×5第3個等式：15×7…(1)請用含n的代數式表示第n個等式的規(guī)律；(2)將第1個等式至第2023個等式的左邊部分相加，值為多少？【題型6程序運算】【例6】（2023春·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入k的值為25，則第

2023次輸出的結果是

．【變式6-1】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）對于不同的起始數字，反復運用任何一個固定的運算程序，由此產生的結果總是會停留在某個或某幾個數字上，稱之為“數字黑洞”．小明寫下了一列數1234567890，按照“偶-奇-總”的程序不斷排出新數：這十個數中，偶數有5個，奇數有5個，總數有10個，得到新數為5510；再把5510，按照“偶-奇-總”排列，……繼續(xù)下去，你將得到一個“數字黑洞”是．【變式6-2】（2023春·河南鄭州·七年級河南省實驗中學?？计谀┌慈鐖D所示的程序計算，若開始輸入的x的值為30，第一次得到的結果為15，第二次得到的結果為24，……，請你探索第2023次得到的結果為．【變式6-3】（2023春·四川成都·七年級成都嘉祥外國語學校?？计谀┬±谙刖幰粋€循環(huán)“插數”程序，對有序的數列：-2，0進行有規(guī)律的“插數”：對任意兩個相鄰的數，都用右邊的數減去左邊的數之差“插”在這相鄰的兩個數之間，產生一個個新數列.如：第1次“插數”產生的一個新數列是-2，2，0；第2次“插數”產生的一個新數列是-2，4，2，-2，0；第3次“插數”產生的一個新數列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插數”產生的一個新數列的所有數之和是.【題型7定義新運算】【例7】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算：“?”觀察下列各式：2?3=2×3+3=9

3??1=3×3?1=85??3=5×3?3=12，則a?b=（用含a、【變式7-1】（2023春·陜西安康·七年級統(tǒng)考期末）定義：若a是不為1的有理數，則11?a稱為a的差倒數．如2的差倒數為11?2=?1．現有若干個數，第一個數記為a1，a2是a1的差倒數，a3是【變式7-2】（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n為偶數時，結果為n2k（其中k是使n2若n=23，則第2022次“F”運算的結果是（）A．74 B．37 C．92 D．23【變式7-3】（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）定義：若兩個有理數的和等于這兩個有理數的積，則稱這兩個數是一對“友好數”．如：有理數54與5，因為54+5=（1）有理數a和b是一對“友好數”，當a=4時，則b=；（2）對于有理數x（x≠0且x≠1），設x的“友好數”為x1；x1的倒數為x2；x2的“友好數”為x3；x3的倒數為x4；……依次按如上的操作，得到一組數，x【題型8動點規(guī)律探究】【例8】（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，動點P從第一個數0的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達數1的位置，第二次跳動一個單位長度到達數2的位置，第三次跳動一個單位長度到達數3的位置，第四次跳動一個單位長度到達數4的位置，…，依此規(guī)律跳動下去，點P從0跳動6次到達P1的位置，點P從0跳動21次到達P2的位置，…，點P1、P2、P3…Pn在一條直線上，則點

A．887 B．903 C．909 D．1024【變式8-1】（2023春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）點O在直線AB上，點A1，A2，A3，……在射線OA上，點B1，B2，B3，……在射線OB上，圖中的每一個實線段和虛線段的長均為1個單位長度．一個動點M從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度按如圖所示的箭頭方向沿著實線段和以點O為圓心的半圓勻速運動，即從OA1B1B2A2……按此規(guī)律，則動點M到達A10點處所需時間為（）秒．A． B．C． D．【變式8-2】（2023春·全國·七年級期末）如圖，數軸上的O點為原點，A點表示的數為﹣2，動點P從O點出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次從O點跳動到OA的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1A的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2A的中點A3處，…，第n次從An﹣1點跳動到An﹣1A的中點An處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數）處，那么An點所表示的數為．【變式8-3】（2023春·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A，C同時沿正方形的邊開始移動，甲按順時針方向環(huán)行，乙按逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的3倍，那么它們第一次相遇在AD邊上，請問它們第2022次相遇在哪條邊上？（）A．AD B．AB C．BC D．CD

專題3.4整式中的八大規(guī)律探究題【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1單項式的系數與次數的變化規(guī)律】 1【題型2多項式的項及次數的變化規(guī)律】 3【題型3圖表的規(guī)律】 5【題型4圖形的規(guī)律】 8【題型5算式的規(guī)律】 11【題型6程序運算】 14【題型7定義新運算】 17【題型8動點規(guī)律探究】 20【題型1單項式的系數與次數的變化規(guī)律】【例1】（2023春·云南昆明·七年級昆明市第三中學統(tǒng)考階段練習）按一定規(guī)律排列的單項式：a2，?2a3，4a4，?8a5A．(?1)n+1n2C．(?1)n+12【答案】C【分析】分別分析a的系數與次數的變化規(guī)律，寫出第n個單項式的表達式．【詳解】解：a2?2a4a?8a5=(?1∴第n個單項式是(?1)故選：C．【點睛】本題考查了單項式的找規(guī)律問題，分別找出符號、系數、次數的變化規(guī)律，從而得出單項式的變化規(guī)律．【變式1-1】（2023春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）觀察下列單項式：xy2,?2x2【答案】2021【分析】根據已知單項式得出第n個單項式為（?1）n+1?nxnyn+1，據此可得．【詳解】解：由已知單項式知第n個單項式為（?1）n+1?nxnyn+1，∴第2021個單項式是2021x故答案為：2021x【點睛】本題主要考查數字的變化規(guī)律，解題的關鍵是將單項式劃分為符號、系數的絕對值、字母的指數，并找到各部分與序數的關系．【變式1-2】（2023春·七年級課時練習）觀察下列三行數：①2，?4，8，?16，32，?64，…；②3，?3，9，?15，33，?63，…；③?1，2，?4，8，?16，32，…；取每一行的第n個數，依次記為x，y，z，當n=2時，x=?4，y=?3當n=7時，請直接寫出x，y，z的值，并求這三個數中最大數與最小數的差．【答案】x=128，y=129，z=?64，193【分析】根據已知發(fā)現：第①行的數，從第二個數開始，后面一個數是前面一個數乘?2得到的，第②行的數第①行對應的數加1；第③行的數為第①行對應的數的一半的相反數，依此分別求出x、y、z的值，進而求解即可．【詳解】通過觀察發(fā)現：①2，?4，8，?16，32，?64，?，規(guī)律為??2②3，?3，9，?15，33，?63，?，規(guī)律為??2③?1，2，?4，8，?16，32，?，規(guī)律為12當n=7時，x=??2y=??2z=1這三個數中最大的數與最小的數的差為129??64【點睛】本題考查了規(guī)律型-數字的變化類，觀察數列，發(fā)現第②行、第③行的數與第①行數的關系以及第①行數的排列規(guī)律是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·七年級課時練習）觀察下列單項式：?x,3x(1)這組單項式的系數依次為多少？系數的絕對值的規(guī)律是什么？(2)這組單項式的次數的規(guī)律是什么？(3)根據上面的歸納，你可以猜想出第n個單項式是什么嗎？(4)請你根據猜想，寫出第2022個、第2023個單項式．【答案】(1)?1,3,?5,7,?,?37,39,?，系數的絕對值的規(guī)律是2n?1(2)這組單項式的次數的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(3)(?1)(4)第2022個單項式是4043x2022【分析】（1）根據單項式系數的含義進行求解，再觀察其絕對值的規(guī)律即可；（2）觀察次的變化，從而可求解；（3）結合（1）（2）進行分析即可；（4）根據（3）進行求解即可．【詳解】（1）解：這組單項式的系數依次是?1,3,?5,7,?,?37,39,?，系數的絕對值為1,3,5,7,?,37,39,?，是從1開始的奇數，∴系數的絕對值的規(guī)律是2n?1．（2）解：這組單項式的次數的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數．（3）解：由（1）問得：符合規(guī)律是(?1)n∵這組單項式的次數的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數，∴第n個單項式是(?1)n（4）解：第2022個單項式是4043x2022，第2023個單項式是【點睛】本題主要考查找規(guī)律，能夠通過觀察題中的單項式找出規(guī)律是解題關鍵．【題型2多項式的項及次數的變化規(guī)律】【例2】（2023春·河北廊坊·七年級統(tǒng)考期末）有一組按規(guī)律排列的多項式：a?b，a2+b3，A．a2023+b4047 B．a2023?【答案】D【分析】把已知的多項式看成由兩個單項式組成，分別找出兩個單項式的規(guī)律，也就知道了多項式的規(guī)律．【詳解】解：多項式的第一項依次是a，第二項依次是?b，得到第n個式子是：an當n=2023時，多項式為a故選：D．【點睛】此題主要考查了多項式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項式分成幾個單項式的和，分別找出各單項式的規(guī)律是解決這類問題的關鍵．【變式2-1】（2023春·北京延慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察一組按規(guī)律排列的代數式：a+2b，a2?2b3,【答案】a【分析】根據已知的式子可以看出：每個式子的第一項中a的次數是式子的序號；第二項中b的次數是序號的2倍減1，而第二項的符號是第奇數項時是正號，第偶數項時是負號．【詳解】解：∵當n為奇數時，?1n+1當n為偶數時，?1n+1∵每個式子的第一項中a的次數是式子的序號；第二項中b的次數是序號的2倍減1，∴第n個式子是an故答案為：an【點睛】本題考查了多項式規(guī)律，認真觀察式子的規(guī)律是解題的關鍵．【變式2-2】（2023春·全國·七年級專題練習）有一組多項式：a?b2，a3+b4，a5【答案】a【分析】觀察已知多項式，得出一般性規(guī)律，確定出第n個多項式即可．【詳解】解：根據題意，∵a?b2，a3+b∴第n個多項式為：a2n?1故答案為：a2n?1【點睛】此題考查了多項式，找出正確的規(guī)律是解本題的關鍵．【變式2-3】（2023春·七年級課時練習）已知多項式a10(1)根據這個多項式的排列規(guī)律，你能確定這個多項式是幾次幾項式嗎?(2)最后一項的系數m的值為多少?(3)這個多項式的第七項和第八項分別是什么?【答案】(1)十次十一項式；(2)21；(3)13a【分析】（1）該多項式按照a的降冪排列，每一項的次數是10，奇數項的符號是正號，偶數項的符號是負號即可解答；（2）觀察已知多項式每一項的系數即可得到最后一項的系數m的值；（3）結合（1）即可得到多項式的第七項和第八項．【詳解】（1）解：∵多項式a10?3a∴該多項式有11項，并且每一項的次數是10，∴該多項式是十次十一項式；（2）解：∵多項式a10?3a∴每一項的系數是1、?3、5、……，且偶數項為負數，奇數項為正數，∴第n項的系數為?1n+1∴第11項的系數為21，∴m=21,∴最后一項的系數m的值為21．（3）解：∵多項式a10?3a9b+5∴第七項的系數是?1n+12n?1=13∵多項式a10?3a9b+5∴第七項是13a4b【點睛】本題考查了規(guī)律型：數字的變化列，多項式的的有關概念，理解多項式的項，項數，次數是解題的關鍵．【題型3圖表的規(guī)律】【例3】（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）在學習“勾股數”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現了一組有規(guī)律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中．則當a=90時，b的值為（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】觀察表格，可知a對應的數的規(guī)律是a=2(n+2)，n表示第幾項，b對應的數的規(guī)律是b=(n+2)【詳解】解：根據題意可知，a對應的數的規(guī)律是a=2(n+2)，n表示第幾項，當a=90時，90=2(n+2)，∴n=43，即第43個數，b對應的數的規(guī)律是b=(n+2)∴b=(n+2)故選：C．【點睛】本題主要考查數字規(guī)律，觀察數與數的關系，找出數字間的規(guī)律是解題的關鍵．【變式3-1】（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）下面每個表格中的四個數都是按相同規(guī)律填寫的：根據此規(guī)律確定a的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】首先根據圖示，可得第n個表格的左上角的數等于n，然后根據4?1=3，6?2=4，8?3=5，【詳解】解：觀察表格可得第n個表格的左上角的數等于n，∵4?1=3，∴可得從第一個表格開始，右上角的數與左上角的數的差分別是3、4、5、…，n+2，∴20?a=a+2，∴a=9，故選B．【點睛】此題主要考查了數字的變化規(guī)律，注意觀察總結出規(guī)律，并能正確的應用規(guī)律．【變式3-2】（2023春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）下面每個表格中的四個數都是按相同規(guī)律填寫的142638410……a20……29320435554bx第1個第2個第3個第4個……根據此規(guī)律確定x的值為（

）A．252 B．209 C．170 D．135【答案】B【分析】先根據這四個數的變化規(guī)律得出這四個數，再根據規(guī)律計算即可．【詳解】根據題意可知右上角的數是左下角的數的2倍，左上角的數比左下角的數少1，且右下角的數是左下角和右上角兩個數的乘積再加上左上角的數，所以b=10，a=9，則x=20b+a=20×10+9=209．故選：B．【點睛】本題主要考查了數字的變化規(guī)律，得出變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在表一中，將第1行第3列的數記為[1，3]，則[1，3]＝3，將第3行第2列的數記為[3，2]，則[3，2]＝6；按照要求回答下列各題：（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；（2）在表一中，第3行第n+1列的數可以記為[3，n+1]＝；（3）如圖，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．【答案】（1）15，80；（2）3n+3；（3）28．【分析】（1）根據表格一可知，第一列相差1，第二列相差2，第n列相差n；第一行相差1，第二行相差2，第n行相差n；據此即可求解；（2）類比（1）的規(guī)律得出結論；（3）根據第n列相差n；第n行相差n；據此即可求解．【詳解】解：（1）[3，5]表示第3行第5列，則結果為：3+3+3+3+3=15；[8，10]表示第8行第10列，則結果為：10×8=80，故答案為：15，80；（2）類比（1）可得：[3，n+1]表示第3行第n+1列的數為：3+(n+1-1)×3=3n+3；（3）解：表二截取的是其中的一列：上下兩個數字的差相等，所以a=15+3=18；表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個數字：右邊一列數字的差應比左邊一列數字的差大1，所以b=24+25-20+1=30；表四：3×6=18，4×8=32，可以判斷出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；∴3a+b﹣2c＝3×18+30-2×28=28．故答案為：28．【點睛】本題考查了數字的變化規(guī)律，找出各個數字之間的關系：第n列相差n；第n行相差n是解題的關鍵．【題型4圖形的規(guī)律】【例4】（2023春·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，用字母“C”、“H”按一定規(guī)律拼成圖案，其中第1個圖案中有4個H，第2個圖案中有6個H，第3個圖案中有8個H，……，按此規(guī)律排列下去，第2023個圖案中字母H的個數為(

)

A．4044 B．4046 C．6069 D．4048【答案】D【分析】根據題目中的圖案，可以寫出前幾個圖案中“H”的個數，從而可以發(fā)現“H”個數的變化規(guī)律，進而得到第n個圖案中“H”的個數，從而可求解．【詳解】解：由圖可知，第1個圖案中“H”的個數為：2×2=4(個)，第2個圖案中“H”的個數為：2×3=6(個)，第3個圖案中“H”的個數為：2×4=8(個)，…，則第n個圖案中“H”的個數為：2(n+1)，∴第2023個圖案中字母H的個數為：2×2024=4048．故選：D．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現題目中“H”個數的變化規(guī)律，利用數形結合的思想解答．【變式4-1】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）用棋子擺成如圖所示的“小房子”，則圖⑤需要枚棋子，圖n需要枚棋子（用含n的代數式表示）．

【答案】29(6n?1)【分析】根據已知圖形找出規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵第①個圖形中棋子的數量為：5=2×6?7，第②個圖形中棋子的數量為：11=3×6?7，第③個圖形中棋子的數量為：17=4×6?7，第④個圖形中棋子的數量為：23=5×6?7，∴第⑤個圖形中棋子的數量為：6×6?7=29，第n個圖形中棋子的數量為：6(n+1)?7=6n?1．故答案為：29；(6n?1)．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．【變式4-2】（2023春·山東臨沂·七年級?？计谀┑谝粋€圖案需要6根小棒，第二個圖案需要11根小棒，第3個圖案需要16根小棒…，則第10個圖案需要根小棒．

【答案】51【分析】根據所給的圖形不難得出第n個圖形小棒的根數為：6+5n?1【詳解】解：∵第1個圖案中有6根小棒，第2個圖案中有11=6+5根小棒，第3個圖案中有16=6+5+5根小棒，……∴第n個圖案中小棒的根數為：6+5n?1∴第10個圖案中小棒的根數為：5×10+1=51，故答案為：51．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯系，得出數字的運算規(guī)律：第n個圖案中有5n+1根小棒是解決問題的關鍵．【變式4-3】（2023春·甘肅蘭州·七年級?？计谀┫铝袌D形都是由同樣大小的小鋼珠按一定規(guī)律排列的，按照此規(guī)律排列下去，第40個圖形有小鋼珠顆．

【答案】820【分析】根據圖形變化規(guī)律可知，第n個圖形有1+2+3+4+…+n=1【詳解】解：第1個圖中有1個小球，第2個圖中有3個小球，3=1+2，第3個圖中有6個小球，6=1+2+3，第4個圖中有10個小球，10=1+2+3+4，……照此規(guī)律，第n個圖形有1+2+3+4+…+n=1當n=40時，小球個數為1故答案為：820．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據圖形變化規(guī)律得出第n個圖形有1+2+3+4+…+n=1【題型5算式的規(guī)律】【例5】（2023春·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）觀察以下等式：第1個等式：2×1+1第2個等式：2×2+1第3個等式：2×3+1第4個等式：2×4+1……按照以上規(guī)律，第5個等式是：，第n個等式（用含n的式子表示）是：．【答案】2×5+12=【分析】根據前四個等式，抽象概括出相同位置上的數字規(guī)律，即可得出結論．【詳解】解：第1個等式：2×1+12第2個等式：2×2+12第3個等式：2×3+12第4個等式：2×4+12……∴第5個等式：2×5+12∴第n個等式（用含n的式子表示）是：2×n+12故答案為：2×5+12=6×10+1【點睛】本題考查數字規(guī)律探究．根據已知的等式，抽象概括出相應的數字規(guī)律，是解題的關鍵．【變式5-1】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）觀察按一定規(guī)律排列的一組數：2，12，27，…，其中第n個數記為an，第n+1個數記為an+1，第n+2個數記為an+2，且滿足1an【答案】15/0.2【分析】由題意推導可得an【詳解】解：由題意可得：a1=2=21，∵1a∴2+1∴a4∵1a∴a5同理可求a6?∴an∴a2023故答案為：15；2【點睛】本題考查了數字的規(guī)律探索，找出數字的變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·七年級統(tǒng)考期末）仔細觀察下列規(guī)律：22?2=22?1=2：(1)28(2)2n?1(3)小明做完上述兩題后，發(fā)現了一個運算規(guī)律：2=請你參考小明發(fā)現的規(guī)律計算：2100【答案】(1)2(2)?(3)2【分析】（1）根據所給式子對照可得答案；（2）根據所列出的式子的變化規(guī)律，類推出第n個式子的情況，從而得出結果（3）利用（2）中所得規(guī)律變形，再消項計算．【詳解】（1）解：根據題意可得：28（2）由題中規(guī)律可得：2n∴2n?1（3）2===【點睛】本題考查數字規(guī)律，找出式子的變化規(guī)律是關鍵，注意與所在的個數之間的關系，并用所在的個數表示其變化規(guī)律即可，并類推應用．【變式5-3】（2023春·浙江寧波·七年級校聯考期末）請仔細觀察下列各等式的規(guī)律：第1個等式：11×3第2個等式：13×5第3個等式：15×7…(1)請用含n的代數式表示第n個等式的規(guī)律；(2)將第1個等式至第2023個等式的左邊部分相加，值為多少？【答案】(1)12n?1(2)2023【分析】（1）寫出第4個等式：17×9=1（2）先寫出第2023個等式為：14045×4047=1【詳解】（1）解：根據題意可得：第4個等式：17×9第5個等式：19×11…….第n個等式：12n?1（2）解：第2023個等式為：14045×4047第1個等式至第2023個等式的左邊部分相加為：1=====2023【點睛】本題考查找規(guī)律，并通過規(guī)律解決問題，正確理解找出規(guī)律是解題的關鍵．【題型6程序運算】【例6】（2023春·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入k的值為25，則第

2023次輸出的結果是

．【答案】5【分析】依次求出每次輸出的結果，根據結果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：當k=25時，15當k=5時，15當k=1時，k+4=5，當k=5時，15當k=1時，k+4=5，當k=5時，15…∴規(guī)律為從第一次開始輸出結果是5和1的循環(huán)，∴2023÷2=1011...1即第2023次輸出的結果是5．故答案為：5．【點睛】本題考查了求代數式的值，能根據求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．【變式6-1】（2023春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）對于不同的起始數字，反復運用任何一個固定的運算程序，由此產生的結果總是會停留在某個或某幾個數字上，稱之為“數字黑洞”．小明寫下了一列數1234567890，按照“偶-奇-總”的程序不斷排出新數：這十個數中，偶數有5個，奇數有5個，總數有10個，得到新數為5510；再把5510，按照“偶-奇-總”排列，……繼續(xù)下去，你將得到一個“數字黑洞”是．【答案】123【分析】根據題中材料，按照要求操作即可得到答案．【詳解】解：對于5510，按照“偶-奇-總”排列，偶數有1個，奇數有3個，總數有4個，得到新數為134；對于134，按照“偶-奇-總”排列，偶數有1個，奇數有2個，總數有3個，得到新數為123；對于123，按照“偶-奇-總”排列，偶數有1個，奇數有2個，總數有3個，得到新數為123；?以此類推，得到的“數字黑洞”是123，故答案為：123．【點睛】本題考查數字規(guī)律，讀懂題意，按照要求操作是解決問題的關鍵．【變式6-2】（2023春·河南鄭州·七年級河南省實驗中學?？计谀┌慈鐖D所示的程序計算，若開始輸入的x的值為30，第一次得到的結果為15，第二次得到的結果為24，……，請你探索第2023次得到的結果為．【答案】6【分析】分別計算出前六次的輸出結果可以得到從第三次輸出結果開始，每三次輸出結果為一個循環(huán)，由此進行求解即可．【詳解】解：由題意得，第一次得到的結果為15，第二次得到的結果為24，第三次得到的結果為12，第四次得到的結果為6，第五次得到的結果為3，第六次得到的結果為12，…∴可知從第三次輸出結果開始，每三次輸出結果為一個循環(huán)，∵2023?2÷3=673…2∴第2023次的輸出結果和第四次的輸出結果相同，為6，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了與程序流程圖相關的規(guī)律問題，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵．【變式6-3】（2023春·四川成都·七年級成都嘉祥外國語學校?？计谀┬±谙刖幰粋€循環(huán)“插數”程序，對有序的數列：-2，0進行有規(guī)律的“插數”：對任意兩個相鄰的數，都用右邊的數減去左邊的數之差“插”在這相鄰的兩個數之間，產生一個個新數列.如：第1次“插數”產生的一個新數列是-2，2，0；第2次“插數”產生的一個新數列是-2，4，2，-2，0；第3次“插數”產生的一個新數列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插數”產生的一個新數列的所有數之和是.【答案】4036【分析】根據第1次“插數”產生的一個新數列是-2，2，0，增加了新數2；第2次“插數”產生的一個新數列是-2，4，2，-2，0，增加了新數4，2，-2，其和為4；第3次“插數”產生的一個新數列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新數6，4，-2，2，-4，-2，2，其和為6；……由此可得第n次“插數”產生的一個新數列的所有數之和為2n-2；由此即可解答.【詳解】第1次“插數”產生的一個新數列是-2，2，0，增加了新數2；第2次“插數”產生的一個新數列是-2，4，2，-2，0，增加了新數4，2，-2，其和為4；第3次“插數”產生的一個新數列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新數6，4，-2，2，-4，-2，2，其和為6；……由此可得，第n次“插數”產生的一個新數列的所有數之和為：-2+0+2n=2n-2；∴第2019次“插數”產生的一個新數列的所有數之和是：2n-2=2×2019-2=4036.故答案為4036.【點睛】本題是數字規(guī)律探究題，根據題意得到第n次“插數”產生的一個新數列的所有數之和為2n-2是解決問題的關鍵.【題型7定義新運算】【例7】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算：“?”觀察下列各式：2?3=2×3+3=9

3??1=3×3?1=85??3=5×3?3=12，則a?b=（用含a、【答案】3a+b【分析】根據所給算式總結規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵2?3=2×3+3=9，3??14?4=4×3+4=16，5??3∴a?b=3a+b，故答案為：3a+b．【點睛】本題考查了規(guī)律型-數字的變化類，通過從一些特殊的數字變化中發(fā)現不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．【變式7-1】（2023春·陜西安康·七年級統(tǒng)考期末）定義：若a是不為1的有理數，則11?a稱為a的差倒數．如2的差倒數為11?2=?1．現有若干個數，第一個數記為a1，a2是a1的差倒數，a3是【答案】?【分析】根據規(guī)定進行計算，得出：a1，a2，a3【詳解】∵a1∴a2a3a由此可以看出?13，34因為2023÷3=674?1，，所以a2023故答案為：?1【點睛】此題考查規(guī)律型：數字的變化類，關鍵是發(fā)現循環(huán)的規(guī)律，然后利用規(guī)律進行計算分析判斷．【變式7-2】（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n為偶數時，結果為n2k（其中k是使n2若n=23，則第2022次“F”運算的結果是（）A．74 B．37 C．92 D．23【答案】D【分析】根據題意和題目中的新定義，可以計算出前幾次的運算結果，然后觀察結果，即可發(fā)現結果的變化規(guī)律，從而可以計算出n=23，第2022次“F”運算的結果．【詳解】解：由題意可得，當n=23時，第一次的運算結果為3×23+5=74，第二次的運算結果為：74÷2=37，第三次的運算結果為：3×37+5=116，第四次的運算結果為：116÷2第五次的運算結果為：3×29+5=92，第六次的運算結果為：92÷2第七次的運算結果為：3×23+5=74，…，由上可得，每六次為一個循環(huán)，∵2022÷6=337，∴n=23，則第2022次“F”運算的結果是23，故選：D．【點睛】本題考查有理數的混合運算、數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現運算結果的變化特點．【變式7-3】（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）定義：若兩個有理數的和等于這兩個有理數的積，則稱這兩個數是一對“友好數”．如：有理數54與5，因為54+5=（1）有理數a和b是一對“友好數”，當a=4時，則b=；（2）對于有理數x（x≠0且x≠1），設x的“友好數”為x1；x1的倒數為x2；x2的“友好數”為x3；x3的倒數為x4；……依次按如上的操作，得到一組數，x【答案】43【分析】（1）根據定義得a+b=ab，代入數據求出數值即可；根據題意依次寫出x的數值，找到規(guī)律，根據規(guī)律即可求得數值．【詳解】（1）解：∵有理數a和b是一對“友好數”∴a+b=ab將a=4代入得：b=（2）當x=3得：x1=3，x2=13，x3=?1發(fā)現6個數為一周期，∵2023÷6=337??????1∴x故答案為：43；【點睛】本題考查了新定義，找規(guī)律的題型，觀察定義、歸納概括出規(guī)律是解題關鍵．【題型8動點規(guī)律探究】【例8】（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，動點P從第一個數0的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達數1的位置，第二次跳動一個單位長度到達數2的位置，第三次跳動一個單位長度到達數3的位置，第四次跳動一個單位長度到達數4的位置，