2024新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與課本優(yōu)題目鞏固-模塊13-空間向量

2024新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與課本優(yōu)秀題目鞏固-模塊13-空間向量模塊十三:空間向量1、空間向量的有關(guān)概念1.與平面向量一樣,在空間中,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.2.空間向量的長(zhǎng)度(模):空間向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模,如圖,其模記為a或AB.3.空間向量的表示方法(1)即利用黑體a,手寫(xiě)用a;(2)空間向量1)用有向線段表示.也可用有向線段表示,有向線段的長(zhǎng)度2)用字母a,1)長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記為0.2)模為1的向量稱為單位向量.3)方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間中,同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量。4)與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量,稱為a的相反向量,記為?a.類(lèi)似實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為?2、空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算:空間任意兩個(gè)向量都可以平○向量加法模的性質(zhì)a?b≤當(dāng)a,b同向時(shí),右等號(hào)成立;當(dāng)a,b反向時(shí),左等號(hào)成立;當(dāng)移到同一平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的向量.如圖1,已知空間向量a,b,我們可以把它們移到同一平面α內(nèi),以任意點(diǎn)O為起點(diǎn),作向量圖1圖2圖31)a+3)當(dāng)λ>0時(shí),λa與向量a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與向量a的方向相反,長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的○溫馨提示證明平面向量加法的結(jié)合律時(shí)三個(gè)向量在同一個(gè)平面內(nèi),證明空間向量加法的結(jié)合律時(shí)三個(gè)向量不在同一個(gè)平面內(nèi).2.空間向量線性運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律與實(shí)數(shù)加法交換律類(lèi)似.交換律:a+結(jié)合律:a+分配律:λ+μa與實(shí)數(shù)乘法分配律類(lèi)似.3、共線向量與共面向量○溫馨提示1.零向量和任一空間向量是共線向量.2.共線向量不具有傳遞性,如a//b,b//c,但a//c不一定成立,因?yàn)楫?dāng)共線向量一定共面，共面向量不一定共線.4、空間向量數(shù)量積●易錯(cuò)易混易將向量的夾角?a,b圖(a)中,∠AOB圖(b)中,∠AOB=1.共線向量1)定義:如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量稱為共線向量(或平行向量).2)共線向量定理:對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,bb≠0,a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使1)定義:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.2)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)1.空間向量的夾角兩個(gè)向量的夾角是唯一的,且?a,b?=?b,a?.1)夾角的定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)2)夾角的范圍:空間任意兩個(gè)向量的夾角的取值范圍是0≤?a,b?≤π.當(dāng)?a,b1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則abcos?a,b?叫做向量a,2)幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度a與b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘積,或b的長(zhǎng)度b3.向量數(shù)量積的性質(zhì)兩非零向量才有垂直關(guān)系。1)由a?a=a2可得向量自身的數(shù)量積就是其模的平方.2)a3)兩個(gè)非零向量a,b的夾角可由a=4)對(duì)于任意向量a,b,總有a?4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘結(jié)合律:λa交換律:a?分配律:a?【拓展】由定義得a?bc=abcosζa,b>)1.由a?b=2.向量數(shù)量積運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律,但不適合乘法結(jié)合律,即a?bc不一定等于ab?c.這是因?yàn)閍?3.空間向量沒(méi)有除法運(yùn)算.對(duì)于兩個(gè)非零向量a,b及實(shí)數(shù)c,由a?b=5、空間向量基本定理(1)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,○歸納總結(jié)1.空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底,因此空間的基底有無(wú)窮多個(gè).2.空間的基底是不共面向量,故都不是0.3.基底選定后,空間中的任何向量均可由基底唯一表示.存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,證明設(shè)向量a,O作OA=a,OB=b,OC=c,OP=p,過(guò)點(diǎn)P作直線PP′平行于OC交平面OAB于點(diǎn)P′,在平面OAB內(nèi),過(guò)P′作直線如果p=xa由此可知,如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么所有空間向量組成的集合就是{p∣p=xa(2)正交分解如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?且長(zhǎng)度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i且都是單位向量.由空間向量基本定理可知,對(duì)空間中的任意向量a,都可以分解為三個(gè)向量xi,yj,6、空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（右手直角坐標(biāo)系）(1)空間直角坐標(biāo)系類(lèi)似地,在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k}(圖1.3-2).以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,圖1.3-2原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠x(chóng)Oy=135°(或(2)空間向量的坐標(biāo)表示一般地,如果空間向量的基底e1,e2,e3中,e1,p其中x,y,(3)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一樣,我們有:aaλa當(dāng)b≠0時(shí),aacos?(4)空間向量的夾角與距離公式1.夾角公式設(shè)非零向量a=x=2.距離公式在空間直角坐標(biāo)系中,已知Ax1,B兩點(diǎn)間的距離dAB7、空間向量的應(yīng)用(1)空間中點(diǎn)、直線、平面的向量表示如圖1.4-1,在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量OP來(lái)表示.我們把向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量.一般地,如果l是空間中的一條直線,v是空間中的一個(gè)非零向量,且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合,則稱v為直線l的一個(gè)方向向量.此時(shí),也稱向量v與直線l平行,記作v//用向量表示直線l,就是要利用點(diǎn)A和直線l的方向向圖1.4-2量表示直線上的任意一點(diǎn).如圖1.4-2,a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn),由向量共線的條件可知,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)tAP進(jìn)一步地,如圖1.4-3,取定空間中的任意一點(diǎn)O,可圖1.4-3以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP(1)將AB=OP(2)(1)式和(2)式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?我們知道,平面α可以由α內(nèi)兩條相交直線確定.如圖1.4-4,設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O,它們的方向向量分別為a和b,P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn),由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)OP這樣,點(diǎn)O與向量a,b不僅可以確定平面α,還可以具體表示出圖1.4-4圖1.4-5進(jìn)一步地,如圖1.4-5,取定空間任意一點(diǎn)O,可以得到,空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使OP(3)你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?我們把(3)式稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可(2)平面的法向量如圖1.4-6,直線l⊥α.取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量(normalvector).給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過(guò)點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合圖1.4-6如果另有一條直線m⊥α,在直線m上任取向量b,(3)空間直線、平面位置關(guān)系判定如圖1.4-8,設(shè)u1,ul圖1.4-8圖1.4-9圖1.4-10類(lèi)似地,如圖1.4-9,設(shè)u是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?l如圖1.4-10,設(shè)n1,nα一般地,直線與直線垂直,就是兩直線的方向向量垂直;直線與平面垂直,就是直線的方向向量與平面的法向量平行;平面與平面垂直,就是兩平面的法向量垂直.如圖1.4-13(1),設(shè)直線l1,ll圖1.4-13如圖1.4-13(2),設(shè)直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α?如圖1.4-13(3),設(shè)平面α,β的法向量分別為n2α(4)利用空間向量研究空間距離與夾角(1)空間中的距離如圖1.4-16,向量AP在直線l上的投影向量為AQ,則圖1.4-16△APQ是直角三角形.因?yàn)锳,P都是定點(diǎn),所以AP,AP與u的夾角∠PAQ都是確定的.于是可求AQ.再利用勾股定理,可以求出點(diǎn)設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量在Rt△APQPQ如圖1.4-17,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量PQ類(lèi)似地,請(qǐng)同學(xué)們研究如何求兩個(gè)平行平面的距離.(2)空間中的夾角一般地,兩條異面直線所成的角,可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得.也就是說(shuō),若異面直線l1,l2所成的角為cos類(lèi)似地,直線與平面所成的角,可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖1.4-20,直線AB與平面α相交于點(diǎn)B,設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則sin圖1.4-20圖1.4-21如圖1.4-21,平面α與平面β相交,形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β類(lèi)似于兩條異面直線所成的角,若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面cos三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】新人教A版選擇性必修一P93.如圖,在平行六面體ABCD?A′B′(1)AA′?AB;(2)(第2題)(第3題)(第4題)4.如圖,線段AB,BD在平面α內(nèi),BD⊥AB,新人教A版選擇性必修一P94.如圖,已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a,(第4題)棱AB,(1)AB?AC;(2)AD?(4)EF?BC;(5)FG?新人教A版選擇性必修一P106.如圖,已知E,F,G,H分別為四面體ABCD的棱(第6題)新人教A版選擇性必修一P109.如圖,在四面體OABC中,OA⊥BC,(第9題)(第10題)10.如圖,在四面體OABC中,OA=OB,CA=CB,新人教A版選擇性必修一P141.已知四面體OABC,OB=新人教A版選擇性必修一P156.如圖,平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD(第6題)新人教A版選擇性必修一P157.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1(第7題)DD1,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在(1)求證:EF⊥(2)求EF與C18.已知四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等,求證:這個(gè)四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.新人教A版選擇性必修一P352.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1(1)求點(diǎn)A1到直線B(2)求直線FC1到直線(3)求點(diǎn)A1到平面A(4)求直線FC1到平面(第2題)新人教A版選擇性必修一P384.如圖,△ABC和△DBC(第4題)=∠DBC(1)直線AD與直線BC所成角的大小;(2)直線AD與平面BCD所成角的大小;(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.新人教A版選擇性必修一P411.如圖,二面角α?l?β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱l.若(第1題)(第2題)2.如圖,在三棱雉A?BCD中,AB=AC=新人教A版選擇性必修一P4413.如圖,已知正方體ABCD?A1B1C1D1(第13題)(第14題)(第15題)14.如圖,正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,M是棱A15.如圖,已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,Q為B新人教A版選擇性必修一P4417.在空間直角坐標(biāo)系中,已知向量u=a(1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,且以u(píng)為方向向量,P是直線l上的任意一點(diǎn),求證:x(2)若平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,且以u(píng)為法向量,P是平面α內(nèi)的任意一點(diǎn),求證:a18.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中,兩個(gè)正方形框架ABCD,(第18題)都是1,且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng),且CM和BN(1)求MN的長(zhǎng);(2)a為何值時(shí),MN的長(zhǎng)最小?(3)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí),求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值.新人教A版選擇性必修一P488.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1(1)求證:EF⊥(2)求EF與CG所成角的余弦值;(3)求CE的長(zhǎng).(第8題)(第9題)9.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1(1)求BN的長(zhǎng);(2)求cosB(3)求證:A1新人教A版選擇性必修一P4810.如圖,在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱AA′(第10題)(第11題)(第12題)11.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1(1)求證:A1C⊥(2)當(dāng)AB=4,AD=12.如圖,在四棱雉S?ABCD中,底面ABCD滿足AB⊥AD,(1)求四棱雉S?(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.新人教A版選擇性必修一P4913.如圖,把正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角,E,(第13題)F分別為AD,BC的中點(diǎn),O是原正方形ABCD的中心,求折紙后14.在正四棱雉S?ABCD中,O為頂點(diǎn)S在底面內(nèi)的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD.求直線新人教A版選擇性必修一P4916.如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC?O′A′B′(1)求證:A′(2)當(dāng)三棱雉B′?BEF的體積取得最大值時(shí),求平面B(第16題)(第17題)17.如圖,兩條異面直線a,b所成的角為θ,在直線a,b上分別取點(diǎn)A′,E和點(diǎn)A,F如果a,a是否成立,并說(shuō)明等號(hào)何時(shí)成立.(6)已知a=4,向量e為單位向量,?a,e(4)已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′(1)AC′=(5)已知直三棱柱ABC?A1B1新人教B版選擇性必修一P28(3)已知空間直角坐標(biāo)系中,平行六面體ABCD?A1B1C1D1新人教B版選擇性必修一P29(2)已知A,B,C是空間中不共線的三點(diǎn),O是空間中任意一點(diǎn),求證:P在平面ABC內(nèi)的充要條件是,存在滿足OP新人教B版選擇性必修一P54(第3題)(2)已知正三棱雉S-ABC的所有棱長(zhǎng)都為1,求其側(cè)面與底面所成角的余弦值.(3)如圖,已知AB是圓的直徑,且AB=4,PA垂直于圓所在的平面,且PA=新人教B版選擇性必修一P60(第5題)(5)如圖所示,已知Rt△ACB在平面α內(nèi),D是斜邊AB的中點(diǎn),OC⊥α,且O到平面α的距離為12?cm,AC新人教B版選擇性必修一P60(4)已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn),求(5)如圖所示,已知四棱雉E?ABCD中,ABCD90°,BE(1)求點(diǎn)B到平面CDE的距離;(2)求二面角A?(第5題)新人教B版選擇性必修一P63(4)已知三棱雉S?ABC中,SA⊥底面ABC,∠ABC=90°,SA=AB=4,新人教B版選擇性必修一P668.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),OABC是四面體,A0,3,5,B2,2,0,9.如圖所示,已知三個(gè)平面AOB,BOC,AOC相交于點(diǎn)O,且∠AOB=(第9題)新人教B版選擇性必修一P6610.如圖所示,三棱雉A?BCD中,平面ABC與平面DBC互相垂直,且AB=(第10題)(1)AD所在直線和平面BCD所成角的大小;(2)AD所在直線與直線BC所成角的大小;(3)二面角A?11.已知A∈α,直線AB與平面α所成的角為30°,直線AC與平面α所成的角為60°,AB=12.已知AB垂直于平面α,垂足為點(diǎn)B,且AO與α相交于點(diǎn)O,∠AOB=60°,射線OC在α內(nèi),且∠BOC新人教B版選擇性必修一P674.如圖所示,已知四棱雉P?ABCD中,PB⊥AD,側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面PAD與底面(第4題)新人教B版選擇性必修一P675.如圖所示,在三棱雉P?ABC中,△PAB(1)證明:AB⊥(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC(第5題)新人教B版選擇性必修一P686.如圖所示,四棱雉S?ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍,P為側(cè)棱(第6題)(1)求證:AC⊥(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE//平面PAC.若存在,求SE: (一)直線與直線的方程1、直線的傾斜角與斜率 銳角直角鈍角零角?直線的傾斜角圖形○溫馨提示1.直線都存在唯一的傾斜角,但不一定存在斜率,傾斜角為90°2.直線的斜率和傾斜角都是刻畫(huà)直線傾斜程度的量,斜率側(cè)重于代數(shù)角度,傾斜角側(cè)重于幾何角度.3.由直線的斜率k的范圍求傾斜角α的范圍時(shí),要注意α的取值范圍,即0°≤α<90°或模塊十四：直線與圓的方程1直線的傾斜角強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)方向”:x軸的正向，直線向上的1.直線的傾斜角的定義方向;直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0°.直線的傾斜角α的取值范圍為02.直線的傾斜角的意義1)直線的傾斜角體現(xiàn)了直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度.2)在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角.3)如圖所示,傾斜角相同,未必表示同一條直線.2直線的斜率一條直線有唯一的傾斜角,但一個(gè)傾斜1.直線的斜率角可以對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)條直線.傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用k表示,即k=tanα,02.直線的斜率公式P1x1,y注:“/”表示“逐漸增大”.○直線的方向向量圖示P1P2向向量.若直線l1,l當(dāng)l11、直線的方程○溫馨提示截距不是距離,它可以是正數(shù),可以是負(fù)數(shù),也可以是零.如圖,直線l1,l2,4直線的方向向量**直線P1P2上的向量P直線P1P2P1當(dāng)直線P1P2與x軸不垂直時(shí),x1≠x2,此時(shí)向量1x2?x1P1P2也是直線P15兩直線平行和垂直的判定設(shè)兩條不重合的直線l1,l-1)l1//l2)l11直線的方程分完備性.純粹性.如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上,且這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,那么這個(gè)方程叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個(gè)方程的直線.2直線方程的幾種形式縱截距.1.截距:直線l與y軸交點(diǎn)0,b的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距;直線l與x軸交點(diǎn)a,0的橫坐標(biāo)a叫做直線2.直線方程的幾種形式當(dāng)斜率k不存在時(shí),直線垂直于x軸.<方程形式常數(shù)的意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)x1,y直線不垂直于x軸斜截式y(tǒng)k是斜率,b是直線在y軸上的截距直線不垂直于x軸○一般式方程的特殊形式1.當(dāng)A=0時(shí),直線斜率為0.2.當(dāng)B=0時(shí),x=?CA,表示與x軸垂直的直線;當(dāng)B≠03.當(dāng)C=0時(shí),直線過(guò)原點(diǎn).當(dāng)a=○溫馨提示若兩條直線的斜率都不存在,則兩條直線平行(或重合);若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,則兩條直線垂直.續(xù)表方程形式常數(shù)的意義適用范圍兩點(diǎn)式y(tǒng)x1,直線不垂直于x軸,y軸截距式xa,b分別是直線在x軸,直線不垂直于x軸,y軸,且不過(guò)原點(diǎn)一般式AxA,B分別為x,y的系數(shù),C為常數(shù),平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3.幾種特殊位置的直線方程斜率為0.(1)x軸:y=0;(2)y軸:x=0;(3)垂直于y軸的直線:y=b;(4)垂直于斜截式一般式方程l1:l1:相交kA1B2?A垂直kA1A2+B平行k1=A1B2?A2B重合k1=A1=λA23、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式○溫馨提示1.當(dāng)兩直線有交點(diǎn)時(shí),兩直線方程組成的方程組的解就是交點(diǎn)坐標(biāo).2.l1與l2相交的條件是A1B2○溫馨提示1.當(dāng)P1P2平行于x軸時(shí),P1P2=x22.點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)的最短距離(這是從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來(lái)看的).3.若給出的直線方程不是一般式,則應(yīng)先把方程化為一般式,再利用公式求距離.4.點(diǎn)到直線的距離公式適用于任何情況,當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí),它到直線l的距離為0.5.點(diǎn)Px1)點(diǎn)P到x軸的距離d=y2)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d=x3)點(diǎn)P到直線y=a的距離d4)點(diǎn)P到直線x=b的距離1兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩直線l1:A1x方程組一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線l1和l一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l相交重合平行2距離公式whichP1和P1.兩點(diǎn)間的距離公式?P平面內(nèi)兩點(diǎn)P1x1,y1,P2x22.點(diǎn)到直線的距離公式注意公式中的絕對(duì)值.點(diǎn)Px0,y0兩條平行直線Ax+By+C1例兩條平行直線l1:x解析因?yàn)閘1//l2,所以所以直線l2的方程為?2x+因此這兩條平行直線之間的距離d=答案23平面內(nèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式with若Ax1,y1,Bx2(二)圓與圓的方程1、圓的方程1圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).定位條件→圓心,定形條件→半徑.2圓的方程with圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為Ca,b,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x?a圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2○溫馨提示形如x21.圓的一般方程的特點(diǎn):把常數(shù)項(xiàng)移到右邊,得x+D22+3)D2+E2?4F>0.1)當(dāng)D2+E2?1)A=2)B=0;2)當(dāng)D23)DA2+EA2?1.圓心在原點(diǎn):x2○圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可用來(lái)解決下列問(wèn)題(1)已知圓心和半徑求圓的方程的問(wèn)題;(2)已知圓心及圓上一點(diǎn)求圓的方程的問(wèn)題(圓心與圓上一點(diǎn)間的距離即半徑).2.過(guò)原點(diǎn):x?3.圓心在x軸上:x?4.圓心在y軸上:x25.與x軸相切:x?6.與y軸相切:x?7.與x,y軸都相切:8.圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn):x?9.圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn):x24點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.如圖所示,點(diǎn)M與圓C有三種位置關(guān)系:點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓外.○溫馨提示2.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?a21.幾何法判斷點(diǎn)與圓的位置為rr>0;圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F2.在實(shí)際比較中,一般先計(jì)算位置關(guān)系幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)點(diǎn)在圓上MCxx點(diǎn)在圓內(nèi)IMCI<r<td=""><td>x0?axx點(diǎn)在圓外MCxxd2=x0?2、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系○溫馨提示當(dāng)直線與圓相交時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直線與圓相切時(shí),只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)直線與圓相離時(shí),沒(méi)有公共點(diǎn)位置關(guān)系及圖示二元二次方程組解的情況下，如果你的無(wú)解僅有一組解有兩組不同的解消元后得到的一元二次方程根的情況無(wú)實(shí)數(shù)根Δ有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Δ有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Δ圓心到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系ddd直線與圓的位置關(guān)系，很少用代數(shù)法,絕大多數(shù)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.2圓與圓的位置關(guān)系1.圓與圓的位置關(guān)系有五種,分別是相交、外離、外切、內(nèi)切和內(nèi)從幾何角度考慮,方法簡(jiǎn)單,是判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法。含.外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離,外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.2.圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法1)利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法):設(shè)兩圓x?a12+y?位置關(guān)系關(guān)系式公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公切線條數(shù)外離d04外切d13相交r22位置關(guān)系關(guān)系式公共點(diǎn)公切線條數(shù)內(nèi)切-d11內(nèi)含000外離內(nèi)切2)利用兩圓的交點(diǎn)進(jìn)行判斷(代數(shù)法):○溫馨提示用代數(shù)法得到方程組無(wú)解設(shè)由兩圓的方程組成的方程組為x2一個(gè)圓的圓心坐標(biāo)代入另一個(gè)此方程組得:代數(shù)法就是轉(zhuǎn)化為研究與0的關(guān)系.圓的方程中,通過(guò)判斷此圓心在有兩組不同的實(shí)數(shù)解?兩圓相交;另一圓的圓內(nèi)還是圓外,從而得有兩組相同的實(shí)數(shù)解?兩圓相切;到兩圓確切的位置關(guān)系.無(wú)實(shí)數(shù)解兩圓相離.○6、阿氏圓:給定兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖直角坐標(biāo)系,記定點(diǎn)A?t則:PA由AP=λBP,可得:變形可得:x顯然,2λtλ2?12若AB=a,AP【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】新人教A版選擇性必修一P588.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,?1作直線l,若直線l與連接A1,?2,10.已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是A2,2新人教A版選擇性必修一P677.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P210.求直線Ax+(1)與兩條坐標(biāo)軸都相交;(2)只與x軸相交;(3)只與y軸相交;(4)是x軸所在的直線;(5)是y軸所在的直線.11.設(shè)點(diǎn)P0x0A新人教A版選擇性必修一P6812.若直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后,回到原來(lái)的位置.試求直線l的斜率.13.一條光線從點(diǎn)P6,4射出,與x軸相交于點(diǎn)Q新人教A版選擇性必修一P793.如圖,已知直線l1:x?(第3題)上任取一點(diǎn)A,在l2上任取一點(diǎn)B,連接AB,取AB的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作l1的平行線l3.求l新人教A版選擇性必修一P798.?ABCD的一組對(duì)邊AB和CD所在直線的方程分別是6x+8y?3=0與6x+8y+59.三條直線ax+2y+8=10.已知△ABC的頂點(diǎn)A5,1,邊AB上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0,邊11.在x軸上求一點(diǎn)P,使以A1,216.已知λ為任意實(shí)數(shù),當(dāng)λ變化時(shí),方程3x表示什么圖形?圖形有何特點(diǎn)?17.已知0<(1)求證:x2(2)說(shuō)明上述不等式的幾何意義.新人教A版選擇性必修一P884.圓C的圓心在x軸上,并且過(guò)A?1,1和5.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是Axx7.已知等腰三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)為A4,2,底邊的一個(gè)端點(diǎn)為B新人教A版選擇性必修一P898.長(zhǎng)為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡的形狀.9.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O0,0,A10.在平面直角坐標(biāo)系中,如果點(diǎn)P的坐標(biāo)x,x其中θ為參數(shù).證明:點(diǎn)P的軌跡是圓心為a,b,半徑為例4一個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為20?km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40?km處,港口位于小島中心正北新人教A版選擇性必修一P952.某圓拱橋的水面跨度20?m,拱高4?m.現(xiàn)有一船,寬以上高3?m4.求圓心在直線3x?y=0上,與x軸相切,且被直線x?y=6.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,在邊BC上取線段BE=a3,在邊DC的延長(zhǎng)線上取CF=a2.試證明:直線AE與7.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,?2以及圓x8.求圓心在直線x?y?4=10.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M3,?1于點(diǎn)N1