新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)分冊一專題六解析幾何第二講圓錐曲線的方程與性質(zhì)-小題備考微專題1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

微專題1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．橢圓的定義與方程：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；焦點(diǎn)在x軸上：＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：＝1(a>b>0)．2．雙曲線的定義與方程：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；焦點(diǎn)在x軸上：＝1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：＝1(a>0，b>0)．3．拋物線定義與方程：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．1．橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓M于點(diǎn)A，B.若△ABF2的周長為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．＝1B．＝1C．＝1D．＝12．[2024·河南新鄉(xiāng)三模]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)M(x0，x0)(x0≠0)滿意|MF|＝5，則拋物線C的方程為()A．y2＝2xB．y2＝xC．y2＝8xD．y2＝4x3．[2024·廣東韶關(guān)模擬](多選)曲線C的方程為x2－－4＝0，則()A．當(dāng)λ>0時(shí)，曲線C是焦距為4的雙曲線B.當(dāng)λ<－1時(shí)，曲線C是焦距為4的雙曲線C．曲線C不行能為圓D．當(dāng)－1<λ<0時(shí)，曲線C是焦距為4的橢圓4．[2024·北京101中學(xué)三模]已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：＝1(a≠0)的左右焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|＝16，則△PF1F2的周長是________．1.(1)[2024·天津卷]雙曲線(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P.已知PF2＝2，直線PF1的斜率為，則雙曲線的方程為()A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1(2)[2024·全國甲卷]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cos∠F1PF2＝，則|OP|＝()A．B．C．D．技法領(lǐng)悟1．關(guān)于圓錐曲線定義的應(yīng)用對于橢圓、雙曲線假如涉及曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，一般要利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．對應(yīng)拋物線涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線的距離時(shí)須要相互轉(zhuǎn)化．2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．[鞏固訓(xùn)練1](1)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：＝1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝()A．5B．6C．8D．12(2)[2024·河北衡水中學(xué)模擬]拋物線y2＝mx繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后，得到的圖象正好對應(yīng)拋物線y＝2x2，則m＝________．微專題1圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程保分題1．解析：因?yàn)椤鰽BF2的周長為20，由橢圓定義可知：4a＝20，即a＝5，又因?yàn)閏＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.故選B.答案：B2．解析：依題意得＝2px0，因?yàn)閤0≠0，所以x0＝2p.又|MF|＝x0＋＝5，解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.故選D.答案：D3．解析：當(dāng)λ>0時(shí)，方程x2－－4＝0化為＝1，曲線C是焦距為2＝4的雙曲線，A正確；當(dāng)λ<－1時(shí)，方程x2－－4＝0化為＝1，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上，焦距為2＝4的橢圓，B錯(cuò)誤；當(dāng)λ＝－1時(shí)，曲線C表示圓x2＋y2＝4，C錯(cuò)誤；當(dāng)－1<λ<0時(shí)，方程x2－－4＝0化為＝1，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2＝4的橢圓，D正確．故選AD.答案：AD4．解析：因?yàn)閨PF1|＝2|PF2|＝16，所以|PF1|＝16，|PF2|＝8，故|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，則a＝4，又b2＝9，故c2＝a2＋b2＝25，則c＝5，|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34.答案：34提分題[例1](1)解析：如圖，因?yàn)镕2(c，0)，不妨設(shè)漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0，所以|PF2|＝＝＝b，所以b＝2.設(shè)∠POF2＝θ，則tanθ＝＝＝，所以|OP|＝a，所以|OF2|＝c.因?yàn)閍b＝c·yP，所以yP＝，所以tanθ＝＝＝，所以xP＝，所以P()，因?yàn)镕1(－c，0)，所以＝＝＝＝＝，所以(a2＋2)＝4a，解得a＝，所以雙曲線的方程為＝1.故選D.(2)解析：方法一依題意a＝3，b＝，c＝＝.如圖，不妨令F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝①，由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6②.由①②，解得mn＝.設(shè)|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝.方法二依題意a＝3，b＝，c＝＝.如圖(圖同方法一)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，α＝∠F1PF2，則cos∠F1PF2＝cosα＝，故sin∠F1PF2＝sinα＝＝＝，則tan＝或tan＝2(舍去)．故△F1PF2的面積＝b2tan＝6×＝3.又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝1，所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝.方法三依題意a＝3，b＝，c＝＝.如圖(圖同方法一)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，利用焦點(diǎn)三角形面積公式知＝.因?yàn)閏os∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝，故＝＝3.又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝1，所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝.方法四依題意a＝3，b＝，c＝＝.如圖(圖同方法一)，不妨令F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝①，由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6②.由①②，解得mn＝.因?yàn)椋?，所以||2＝(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2)＝＝，所以|PO|＝.答案：D答案：B[鞏固訓(xùn)練1](1)解析：雙曲線C：＝1，則a2＝4，a＝2，由雙曲線的定義知：|F1P|－|PF2|＝2a＝4，|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝8.故選C.(2)解析：拋物線y