不等式中級水平

、一/

H(

n―7------T------------7=n3)

\7X/+0+“?+x”

故r=T的/平均值是調(diào)和平均值.

2、在r=0點:由已證明過的⑺式：M(0)=^/xjX2...xn=Gn(4)

故r=0的/平均值是幾何平均值.

3、在r=7點：由(2)式得:

Xj^++xj/_盯+

M(l)=t“2+…+_a

n-

\7

故r=l的-平均值是算術(shù)平均值.

4、在r=2點：由(2)式得：

X/2++???+X

M(2)=n

故r=2的有平均值是平方平均值.

5、推論：根據(jù)嘉平均函數(shù)在實數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增,，由-1<0<7<2可得:

凡4G”40”(7)

當(dāng)且僅當(dāng)Xj=x2=...=xn時取等號.

以上是由是平均不等式推導(dǎo)的均值定理,在處理更高次方時，即r>2時，(2)式仍

適用.

三、加權(quán)不等式

1、加權(quán)不等式:若勿⑷2,…,%,且<0/+。2+…+%=1，則。,?就是權(quán)重,

當(dāng)做>0(jt=7,2,...,n)時，恒有：

get]+a)2a2+...+(onan>a?-a??...?a；”(8)

成立.

(8)式就是加權(quán)不等式.

aaa

2、對〃=2時：此時(8)式為：(oIal+G)22-i°''2

取%=g=g,上式變?yōu)椋簽?；叱N如與

這是二元的均值不等式.

a,2)

3、對〃=3時：此時(8)式為：(OJUJ+a)2a2+(o3a3al?a^?a^0

a+a+a

取0/=。2=。3=(，上式變?yōu)椋篿23^a]a2a3

這是三元的均值不等式.

4、評價：此加權(quán)不等式為均值加權(quán),由于權(quán)重3的靈活配置，加權(quán)不等式比均值不等

式更加靈活，也更加高效.

四、加權(quán)琴生求薪

1、琴生不等式:對于向下凸函數(shù),函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.用數(shù)學(xué)式子表達為:

/(X/)+.〃X2)+...+/(X“)>X1+X2+...+Xn

n—JIn/\^/

左邊是函數(shù)的平均值，右邊是平均值的函數(shù)值.

對于向上凸函數(shù),只需在函數(shù)前面加一個負號就可以直接采用(9)式.

2、加權(quán)琴生不等式:若函數(shù)12,…，芍,)在3切區(qū)間連續(xù)，且在SR)區(qū)間為向下凸

函數(shù),若勿,且%+。2+…+%=]，對于一切巧，了2,…，X"G(a，b)，

貝I)：(o1f(x1)+...+a)nf(xn)kf((D1x1+...+(Dnxn)(10)

當(dāng)嗎==…=0"='時，(1。)式就化為(9)式.

n

因此，(10)式是更普遍的琴生不等式.

3、推論：設(shè)函數(shù)f,在區(qū)間[a,句eK時，/是一個連續(xù)函數(shù)，貝人

⑴對一切x,ye[a,切，恒有：=/(x)+；/(y)N/(土了)(11)

(2)對一切x,ye[a,切,4€(0,1),恒有：

2/(x)+(/-2)/(j)^/ax+(/-2)j)(72)

4、向下凸函數(shù)判據(jù)：設(shè)函數(shù)/,在區(qū)間時，/是一個連續(xù)函數(shù).

(1)如果八到了㈠)之八一)成立,則/?為向下凸函數(shù).

⑵如果/”(x)N0,則/為向下凸函數(shù).

五、柯西不等式

1、柯西不等式:設(shè)勺,3……也為實數(shù)，貝U：

(a/+...+a“2)(bj+...+)>(d]b]+...+o-nbn(73)

這就是著名的柯西不等式.

2、推論1:設(shè)叼,。2,…,與NO,bl,b2,...,bn0,則:

+%+…+Q”)S/+3+?“+，”)>+小a2b2+…T(14)

3、推論2:設(shè)％,。2,%N。，與也，…也NO，則:

堂+堂+...+堂之(為+。2+…+(15)

瓦b2bnbI+b2+...+bn

(75)式被稱為權(quán)方和不等式.

4、推論3:設(shè)。/，敢,…,與NO,bI,b2,...,bn>0,則:

『看+…令a*2+.SA?嚀'(%)

5、推論4:設(shè)叼,。2,NO,bI,b2,...,bn0,則:

aaa

l!21n>⑷+42+…+>”/

bbab

與2nll+a2b2+...+anbH

六、伯努利不等袤

1、伯努利不等式:設(shè)工/,*2,…,X”>—1，貝！I：

(7+Xj)(l+x2)...(/+xn)>1+Xj+x2+：.+x?(78)

2、當(dāng)X/=*2x”=x時:

(l+x)n>l+nx(19)

可見，(19)式是(78)式的特例，(78)式更普遍.

七、切線法不等式I即：設(shè)限法

1、切線法:設(shè)/(x)為實值向下凸函數(shù)，四xe(m,n),直線y=ox+)與/相

切于(如〃)，假設(shè)：在xe(/n,〃)區(qū)間，始終有：

/(x)^ax+b(20)

則I：(20)式就稱為切線不等式.

當(dāng)時，前面加負號就可以采用(20)式

2、指數(shù)不等式:ex^x+l(x>-/)

函數(shù)為：f(x)=ex,為向下凸函數(shù).

貝1：f\0)=e°=l,f(0)=e°=l,

在x=0處的切線方程為：y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+l

故：在x>-I區(qū)間，由(20)式得：f(x)>x+l,即：ex>x+l(21)

(21)式就是指數(shù)不等式.

3、對數(shù)不等式:lnx<X—7(x>。)

函數(shù)為：f(x)=lnx,為向上凸函數(shù).

設(shè)8(%)=-/(幻=-111X，則g(x)為向下凸函數(shù).

貝！I：g'(l)=--=-1,g(/)=-lnx\x=]=0,

XX=1

在x=1處的切線方程為：y=g'(l)(x-I)+g(l)=-(x-l)

故：在x>0區(qū)間，由(20)式得：g(x)>-(x-7),

即：-lnx^-(x—1),即：Inx<x—1(22)

(22)式就是對數(shù)不等式.

八、定義符號

對于3個對稱變量的不等式，為了簡化書寫，便于計算，我們定義兩個簡化求和符號.

(1)定義：￡為單輪換求和：展開項數(shù)為3.

eye

ZP(x,y,z)=P(X,y,z)+P(y,z,x)+P(z,x,y)(23)

eye

(23)式為單輪換求和定義式.

根據(jù)定義：

單個求和:zx=x+y+z;

eye

^x2=x2+y2+z2;

eye

^x3=x3+y3+Z3.

eye

雙積求和:^xy-xy+yz+zxi

eye

Z*2y=x2y+y2z+^x;

eye

^x3y=x3y+y3z+z3x；

eye

2丁^x3y2=x3y2+,y3z2+,z3x2.

eye

三積求和:Z孫z=xyz+yzx+zxy=3xyz;

eye

^x2yz=x2yz+y2zx+z2xy=xyz(x+y+z)=xyz^x；

eyeeye

ZX2y2z=X2y2z+y2z2x+z2x2y=xyzkxy+yz+zx)=xyz^xy；

eyeeye

Xx3yz=x3yz+y3zx+z3xy=xyz(x2+y2+z2)=xyz^x2.

eyeeye

⑵定義：Z為雙輪換求和：展開項數(shù)為6.

sym

^P(x,y,z)=P(x,y,z)+P(y,z,x)+P(z,x,y)+P(x,z,y)+P(z,y,x)+P(y,x,z)

sym

=^iP(x,y,z)+'XtP(x,z,y)(24)

eyeeye

(24)式為雙輪換求和定義式.

根據(jù)定義：

單個求和：Z-SX+^y=2(x+y+z)=2^x;

symeyeeyeeye

Z=ZX?+Xy2=2(，+y2+/)=2g；

symeyeeyeeye

Z=Zd+Zy3=2(/+y3+)=2g1.

symeyeeyeeye

雙積求和:22xj=xj+xz=2(xj+jz+zx)=2xj；

symeyeeyeeye

^x2y=X2y+X2z+y2z+y2x-￥Z2y=^X2(y+Z)=^xy(x+y)；

symeyeeye

333

XX、=xy+XZ+yZ+y3%+不、+23y

sym

=￡/(“2；)=2到(，+/)=2*03+/).

eyeeyeeye

三積求和:Z孫z=6xyz.

sytn

X，yz=x2yz+x2zy+y2zx+y2xz+z2xy+z2yx=2xy^xx

symeye

^x2y2z=x2y2z+x2z2y+y2^x+y2x2z+^x2y+z2y2x=2xyz^xy；

symeye

(3)和的平方:

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)

「Y

簡寫為：Z”=￡/+2工xy

、eyeyeyeeye

(4)和的立方:

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2)+6xyz

(丫

簡寫為：E*=Zx'+3Zx2y+6xyz=^X5+3^(X2J+XJZ)；

、eyeyeyesymeyesym

九、舒爾不等式

1、舒爾不等式:設(shè)x,_y,zNO,對任何r>0,恒有：

xr(x-y)(x-z)+yr(y-z)(y-x)+zr(z-x)(z-y)^O

簡寫為：^xr(x-y)(x-z)>0(25)

eye

(25)式這就是舒爾不等式.

2,對r=I的特例：

(1)/+y3+z3+3xyz>^x2y

sym

簡寫為：^x3+3xyz^^x2y,或Zd+xyzAZ—y(26)

eyesymeyesym

由于：x(x-y)(x-z)=x3-x2y-x2z+xyz

所以：￡直工一了)(工一2)=工工3—工/。+2)+2型

eyeeyeeyeeye

-Z，(y+z)+3xyz

eyesym

代入(25)式得(26)式.

(2)(j+z-x)(z+x-j)(x+j-z)<Ayz(27)

由于：(j+z-x)(z+x-j)(x+j-z)

=[z-(x-j)][z+(x-j)](x+j-z)=[z2-(x-j)2](x+j-z)

=z2(x+j)-(x-j)2(x++z(x-j)2

=z2x+z2y-(x-y)(x2-y2)-z3+z(x2-2xy+y2)

=T^X+Z^-^X3-x2y-y2x+y3)-z3+z{x2-2xy+y2)

+》2y-2型

eyesym

所以(27)式為：-+2y-2xyz4xyz

eyesym

即：￡/+3到之?￡了2丁，這正是(26)式.

eyesym

(3)4(x+J+Z)(JCJ+jz+zr)<(x+j+z^+Pxyz

簡寫為：-^)(Sxy)<,x)J+9xyz(28)

eyeeyeeye

不等式左邊：

4(x+y+z)(孫+yz+zx)=4(x2y+xyz+zx2+xy2+y2z+xyz+xyz+yz2+z2x)

(、

2

=4y^txy+3xyz

\sym7

不等式右邊：

(x+y+z)’+9到z=Zx'+3工*2y+75到％

eyesym

(A

代入(28)式得：4E，y+3xyz42>'+3￡x2y+15xyz

、sytnyeyesyin

即：^x2y+3xyz,即：^x3+3xyz>^x2y,這正是(26)式.

symeyeeyesym

(4)2(xy+yz+zx)-(x2+y2+z2)<9xyZ(29)

x+y+z

簡寫為：2X盯一2,2等

eyeeye2^”

eye

由(x+y+z)[2(xy+yz+>)-(x2+y2+z2)]<9xyz得左邊為：

2(x4-J+Z)(XJ+jz+zr)-(x+j+z)(x2+j2+z2)

=2^x2y+3xyz-^x3~^x2y

、symyeyesym

移項合并得：x3+3xyz>x2y,這正是(26)式.

eyesym

(5)x2+y2+z2+3^x2y2z2>2(xy+yz+zx)

簡寫為：^x2+3^x2y2z2>^xy(30)

eyesym

由x+y+z^.3^j^z代入(29)式得：

2(xy+jz+zr)-(x2+j2+z2)^<9J^L_=3^Jx2y2z2

x+y+z3^1xyz

即：x2+y2+z2+3^x2y2z2>2(xj+jz+zx).

對于r>1時，與此類似推導(dǎo).

十、繆爾海德不等式

1、繆爾海德不等式:設(shè)勾,。2，。3，6/，，2，%為實數(shù)，且。/之出之叼之。，bl>b2>b3>0,

aI>bl,aI+a2'^.b1+b2,al+a2+a3=bl+b2+b3；

設(shè)x,y,z>0,則有：

x-yW+x3嚴+y3z%+/+x%+z3產(chǎn)+產(chǎn)產(chǎn)戶

>xb,.zb,+xblzb!ya,+yb,◎zb,+yb,z2/+z,述yh,+z'ybixb}

簡寫為：Z”產(chǎn)+NZ/P（31）

symsym

這就是繆爾海德定理.

2、推廣為一般式：^工產(chǎn)盯,…吃小之？々"”％…”（32）

symsym

十一、赫爾德不等式

1、赫爾德不等式:設(shè)勺,。2，與，%，。2，%，3，。2，，3為正實數(shù)，則有:

3333

(a/+a2+a3)(b/+b2+b3)(c/+c2，+c/)>(alb1c1+a2b2c2+a3b3c3),

(3V3V3\C3y

簡寫為:Zd2X」Yaibici(33)

\i=l八I八I73=7

n(m、m(〃

2、推廣為一般式:n之陶(34)

i=71j=/,j=l\i=I

3,推論：(l+a])(l+a2)-(7+aH)5:(/+!^aJa2...alt)"(35)

十二、排序不等式

1、正序和:前面繆爾海德不等式的前提就是一個數(shù)列的有序化,即數(shù)是按從大到小、

或者從小到大排列，這種按一定增減性排列的數(shù)就是有序數(shù).當(dāng)有序數(shù)列｛與｝和

包｝的增減性相同時：

Sn=a1bI+a2b2+...+anbn

稱為正序和.

2、反序和:當(dāng)有序數(shù)列｛冊｝是從小到大排列，｛圖｝是從大到小排列時：

Sn=a1bI+a2b2+...+allbn

稱為反序和.當(dāng)然，若｛冊｝時從大到小排列，｛%｝是從小到大排列時，S“也是反

序和.

3、亂序和:當(dāng)數(shù)列｛%｝無序排列，或者也｝無序排列，或者兩者都無序排列時：

Sn=albl+a2b2+...+anbn

稱為亂序和.

4、排序不等式:正序和N亂序和N反序和(36)

(36)式稱為排序不等式.

十三、切比雪夫不等式

1、切比雪夫不等式:設(shè)勺,盯,…,X”和力,>2,…，％為任意兩組實數(shù)，若｛與｝與｛%｝的

升降同序.即：

x

若X/4*24—4n，則力<，24—<yn；

若X/N*22—NX"，則力N力N—NJw.

1"(1nV7"、

貝!I：一心,，2一￡巧一^^(37)

yl〃M人y)

(37)式稱為切比雪夫不等式.

練習(xí)

［練習(xí)1］設(shè)a,),c是一個三角形的三邊長，求證：二+―也+—=<2.

b+cC+Qa+b

［練習(xí)2］設(shè)a,ac>0,求證：一乙+—也+―Jz』.

b+cc+aa+b2

［練習(xí)3］設(shè)x,y,z>7,且—I1—=2,求證：Jx+y+zN\Jx—1+Jy—l+［z—1.

xyz

［練習(xí)4］設(shè)勺,“2，…，“為任意實數(shù)，證明不等式：

"+—4——-+...+—m—7<&-

1+Xj7+X?+x2I+X/+???+xn

［練習(xí)5］設(shè)x,yNO,且x+y=2,求證：x2y2(x2+y2)<2.

,2L2I

［練習(xí)6］設(shè)且。+8=7,求證：----+---->—.

a+1b+13

［練習(xí)7］設(shè)a,b,c>0,且a)c=1,求證：-------F----------+-----------41.

a+b+1b+c+1c+a+7

［練習(xí)8］設(shè)x,y,z>0,且孫z=1,求證：

1.V.一、3

-----------1------------1-----------N-.

(7+j)(/+z)a+z)(l+x)(/+x)(7+j)4

［練習(xí)9］設(shè)。，仇c>0,求證：一^+―萬N亞.

1-a21-b21-c22

［練習(xí)10］已知招y>7,求證：xy~J(x+y—xy)<l.

［練習(xí)11］對實數(shù)…,X“，求,一與|+,-*2|+…+|*-的最小值.

［練習(xí)12］若函數(shù)/(x,y,z)在實數(shù)區(qū)間［凡加為向下凸函數(shù)，x,y,z&{a,b］,求證：

f(x)+f(y)+f(z)+3/(^^)N2/(空)+2/(號)+2〃簽)

n

［練習(xí)13］設(shè)尸⑺二冊^+%1/1+…+與》+他為正系數(shù)的多項式，且￡出之1,求證:

i=0

P(-)>P(x).

X

參考解答：

［練習(xí)1］設(shè)a,5,c是一個三角形的三邊長，求證：二+」—+，工<2

b+cc+aa+b

解析：采用“設(shè)限法”.

對于三角形有：兩邊之和大于第三遍，即：b+c>a,即：當(dāng)〉;

22

b+cb+cab+c

即：+--->—+-----,即：>+c>—(a+)+c)

22222

于是：①

2(a+5+c)

c+a1/,?.、a+b1,.,、

—(a+5+c)(Qz+5+C)

22

上面三式相加得：

abcabc

----+----+----<---------------------1-----------------------1----------------------=2

111

b+cc+aa+b—(a+b+c)—(a+b+c)—(a+b+c)

222

證畢.

本題的①式就是對某個量設(shè)限，即將已限制在某個范圍內(nèi)，以此得解.

b+c

［練習(xí)2］設(shè)a,b,c>0,求證：-+—+—

b+cc+aa+b2

解析：采用“柯西不等式”.

由柯西不等式得:

［(b+c)+(c+a)+(a+b)］\-^—+—^—+-^—\>(l+l+l)2=9

\b+cC+Qa+bJ

艮P：2(a+8+c)(---H--—I——--9

(b+cc+aa+bJ

a+b+ca+b+ca^b+c9a.bc八9

即：------+-------+------->—,即：----+1+------+7+-------+7N—

b+cc+aa+b2b+cc+aa+b2

目口。bc3