2024年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（全國甲卷）（解析卷）

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

全國甲卷理科數(shù)學(xué)

使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川

注意事項(xiàng)：

1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．

2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮

擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．

3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．

4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．

5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的．

iz+z=

1.設(shè)z=5+i，則（）

A.10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.

【詳解】由z=5+iTz=5-i,z+z=10，則iz+z=10i.

故選：A

集合A=1,2,3,4,5,9,B=xx?A，則eA?B=（）

2.A

A.1,4,9B.3,4,9C.1,2,3D.2,3,5

【答案】D

【解析】

【分析】由集合B的定義求出B，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)锳=1,2,3,4,5,9,B=xx?A，所以B=1,4,9,16,25,81，

則AIB=1,4,9，eAAIB=2,3,5

故選：D

第1頁/共20頁

ì4x-3y-330

?

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件íx-2y-2￡0，則z=x-5y的最小值為（）

?

?2x+6y-9￡0

17

A.5B.C.-2D.-

22

【答案】D

【解析】

【分析】畫出可行域后，利用z的幾何意義計(jì)算即可得.

ì4x-3y-330

?

【詳解】實(shí)數(shù)x,y滿足íx-2y-2￡0，作出可行域如圖：

?

?2x+6y-9￡0

11

由z=x-5y可得y=x-z，

55

111

即z的幾何意義為y=x-z的截距的-，

555

則該直線截距取最大值時(shí)，z有最小值，

11

此時(shí)直線y=x-z過點(diǎn)A，

55

ì3

ì4x-3y-3=0?x=?3?

聯(lián)立í，解得í2，即A?,1÷，

?2x+6y-9=0è2?

??y=1

37

則z=-5′1=-.

min22

故選：D.

4.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=S10，a5=1，則a1=（）

7

A.-2B.C.1D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由S5=S10結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a8=0，即可計(jì)算出公差，即可得a1的值.

【詳解】由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，則a8=0，

第2頁/共20頁

a8-a51?1?7

則等差數(shù)列an的公差d==-，故a1=a5-4d=1-4′?-÷=.

33è3?3

故選：B.

y2x2

5.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F10,4,F20,-4，點(diǎn)P-6,4在該雙曲

a2b2

線上，則該雙曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距2c，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得2a，即可得離心率.

【詳解】由題意，F(xiàn)10,-4、F20,4、P-6,4，

則FF=2c=8，22，22，

12PF1=6+4+4=10PF2=6+4-4=6

2c8

則2a=PF-PF=10-6=4，則e===2.

122a4

故選：C.

ex+2sinx

6.設(shè)函數(shù)fx=，則曲線y=fx在0,1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）

1+x2

1112

A.B.C.D.

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)0,1處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其

面積.

ex+2cosx1+x2-ex+2sinx×2x

【詳解】f￠x=2，

1+x2

e0+2cos01+0-e0+2sin0′0

則f￠0==3，

1+02

即該切線方程為y-1=3x，即y=3x+1，

1

令x=0，則y=1，令y=0，則x=-，

3

第3頁/共20頁

111

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=′1′-=.

236

故選：A.

7.函數(shù)fx=-x2+ex-e-xsinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的大致圖像為（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1>0，可排除D.

【詳解】f-x=-x2+e-x-exsin-x=-x2+ex-e-xsinx=fx，

又函數(shù)定義域?yàn)?2.8,2.8，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，

?1??1?πe111

又f1=-1+?e-÷sin1>-1+?e-÷sin=-1->->0，

èe?èe?622e42e

故可排除D.

故選：B.

cosa?π?

8.已知=3，則tan?a+÷=（）

cosa-sinaè4?

3

A.23+1B.23-1C.D.1-3

2

【答案】B

【解析】

cosa

【分析】先將弦化切求得tana，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

第4頁/共20頁

cosa

【詳解】因?yàn)?3，

cosa-sina

13

所以=3，Ttana=1-，

1-tana3

?p?tana+1

所以tan?a+÷==23-1，

è4?1-tana

故選：B.

rr

9.已知向量a=x+1,x,b=x,2，則（）

rrrr

A.“x=-3”是“a^b”的必要條件B.“x=-3”是“a//b”的必要條件

rrrr

C.“x=0”是“a^b”的充分條件D.“x=-1+3”是“a//b”的充分條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

rrrr

【詳解】對(duì)A，當(dāng)a^b時(shí)，則a×b=0，

所以x×(x+1)+2x=0，解得x=0或-3，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

rrrr

對(duì)C，當(dāng)x=0時(shí)，a=1,0,b=0,2，故a×b=0，

rr

所以a^b，即充分性成立，故C正確；

rr2

對(duì)B，當(dāng)a//b時(shí)，則2(x+1)=x，解得x=1±3，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

2rr

對(duì)D，當(dāng)x=-1+3時(shí)，不滿足2(x+1)=x，所以a//b不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

10.設(shè)a、b是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，且aIb=m.下列四個(gè)命題：

①若m//n，則n//a或n//b②若m^n，則n^a,n^b

③若n//a，且n//b，則m//n④若n與a和b所成的角相等，則m^n

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

第5頁/共20頁

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對(duì)①，當(dāng)nìa，因?yàn)閙//n，mìb，則n//b，

當(dāng)nìb，因?yàn)閙//n，mìa，則n//a，

當(dāng)n既不在a也不在b內(nèi)，因?yàn)閙//n，mìa,mìb，則n//a且n//b，故①正確；

對(duì)②，若m^n，則n與a,b不一定垂直，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③，過直線n分別作兩平面與a,b分別相交于直線s和直線t，

因?yàn)閚//a，過直線n的平面與平面a的交線為直線s，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知n//s，

同理可得n//t，則s//t，因?yàn)閟?平面b，tì平面b，則s//平面b，

因?yàn)閟ì平面a，aIb=m，則s//m，又因?yàn)閚//s，則m//n，故③正確；

對(duì)④，若a?b=m,n與a和b所成的角相等，如果n//a,n//b，則m//n，故④錯(cuò)誤；

綜上只有①③正確，

故選：A.

π9

11.在ABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c，若B=，b2=ac，則sinA+sinC=（）

V34

373

A.B.2C.D.

222

【答案】C

【解析】

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=，再利用余弦定理有a2+c2=ac，再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入計(jì)算即可.

p941

【詳解】因?yàn)锽=,b2=ac，則由正弦定理得sinAsinC=sin2B=.

3493

第6頁/共20頁

9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=ac，

4

131313

即:a2+c2=ac，根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=sinAsinC=，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=，

4

7

因?yàn)锳,C為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0，則sinA+sinC=.

2

故選：C.

12.已知b是a,c的等差中項(xiàng)，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點(diǎn)，則AB的最小

值為（）

A.2B.3C.4D.25

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直線方程ax+by+c=0得

ìx-1=0ìx=1

ax+by+2b-a=0，即ax-1+by+2=0，令í得í，

?y+2=0?y=-2

2

故直線恒過1,-2，設(shè)P1,-2，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:x2+y+2=5，

設(shè)圓心為C，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)PC^AB時(shí)，AB最小，

PC=1,AC=r=5，此時(shí)AB=2AP=2AC2-PC2=25-1=4.

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

10

?1?

13.?+x÷的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是______．

è3?

第7頁/共20頁

【答案】5

【解析】

ì10-r9-r

r?1?r+1?1?

?C10?÷3C10?÷

?è3?è3?

【分析】先設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有，進(jìn)而求出r即

í10-r11-r

?r?1?r-1?1?

?C10?÷3C10?÷

?è3?è3?

可求解.

110-r

【詳解】由題展開式通項(xiàng)公式為r??r，且，

Tr+1=C10?÷x0￡r￡10r?Z

è3?

ì10-r9-r

r?1?r+1?1?

?C10?÷3C10?÷

?è3?è3?

設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則，

í10-r11-r

?r?1?r-1?1?

?C10?÷3C10?÷

?è3?è3?

ì29

r3

?42933

Tí，即￡r￡，又r?Z，故r=8，

3344

?r￡

??4

12

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為8??.

C10?÷=5

è3?

故答案為：5.

14.已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為r1和r2，母線長分別為2r2-r1和3r2-r1，則兩個(gè)圓臺(tái)

V甲

的體積之比=______．

V乙

6

【答案】

4

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可

得解.

2

【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為2，

h甲=?é2r1-r2?ù-r1-r2=3r1-r2

2

2，

h乙=?é3r1-r2?ù-r1-r2=22r1-r2

第8頁/共20頁

1

S+S+SSh

V2121甲h3r-r6

所以甲=3=甲=12=.

V1h4

乙S+S+SSh乙22r1-r2

32121乙

6

故答案為：.

4

115

15.已知a>1，-=-，則a=______．

log8aloga42

【答案】64

【解析】

【分析】將log8a,loga4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2a來表示即可求解.

11315

-=-loga=-2

【詳解】由題2，整理得log2a-5log2a-6=0，

log8aloga4log2a22

Tlog2a=-1或log2a=6，又a>1，

66

所以log2a=6=log22，故a=2=64

故答案為：64.

16.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記m

為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則m與n差的絕對(duì)值不超過1的

2

概率是______．

7

【答案】

15

【解析】

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為a,b，第三個(gè)球的號(hào)碼為c，則

a+b-3￡2c￡a+b+3，就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

3

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A6=120種，

a+b+ca+b1

設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為a,b，第三個(gè)球的號(hào)碼為c，則-￡，

322

故2c-(a+b)￡3，故-3￡2c-(a+b)￡3，

故a+b-3￡2c￡a+b+3，

若c=1，則a+b￡5，則a,b為：2,3,3,2，故有2種，

第9頁/共20頁

若c=2，則1￡a+b￡7，則a,b為：1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，

3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10種，

當(dāng)c=3，則3￡a+b￡9，則a,b為：

1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，

2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，

故有16種，

當(dāng)c=4，則5￡a+b￡11，同理有16種，

當(dāng)c=5，則7￡a+b￡13，同理有10種，

當(dāng)c=6，則9￡a+b￡15，同理有2種，

1

共m與n的差的絕對(duì)值不超過時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為22+10+16=56，

2

567

故所求概率為=.

12015

7

故答案為：

15

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必

考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)

行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

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乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5，設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

p(1-p)

p>p+1.65，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

n

為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（150?12.247）

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PK23k0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案見詳解

（2）答案見詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算K2，并與臨界值對(duì)比分析；

p(1-p)

（2）用頻率估計(jì)概率可得p=0.64，根據(jù)題意計(jì)算p+1.65，結(jié)合題意分析判斷.

n

【小問1詳解】

根據(jù)題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間2624

乙車間7030

2

15026′30-24′7075

可得K2===4.6875，

50′100′96′5416

因?yàn)?.841<4.6875<6.635，

第11頁/共20頁

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異.

【小問2詳解】

96

由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為=0.64，

150

用頻率估計(jì)概率可得p=0.64，

又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5，

p1-p0.51-0.50.5

則p+1.65=0.5+1.65?0.5+1.65′?0.568，

n15012.247

p(1-p)

可知p>p+1.65，

n

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

18.記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且4Sn=3an+4．

（1）求an的通項(xiàng)公式；

n-1

（2）設(shè)bn=(-1)nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn．

n-1

【答案】（1）an=4×(-3)

n

（2）Tn=(2n-1)×3+1

【解析】

【分析】（1）利用退位法可求an的通項(xiàng)公式．

（2）利用錯(cuò)位相減法可求Tn.

【小問1詳解】

當(dāng)n=1時(shí)，4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4．

當(dāng)n32時(shí)，4Sn-1=3an-1+4，所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1即an=-3an-1，

an

而a1=410，故an10，故=-3，

an-1

∴數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，

n-1

所以an=4×-3.

第12頁/共20頁

【小問2詳解】

n-1n-1n-1

bn=(-1)×n×4×(-3)=4n×3,

所以T=b+b+b++b012n-1

n123Ln=4×3+8×3+12×3+L+4n×3

故123n

3Tn=4×3+8×3+12×3+L+4n×3

所以12n-1n

-2Tn=4+4×3+4×3+L+4×3-4n×3

n-1

31-3n-1n

=4+4×-4n×3n=4+2×3×3-1-4n×3

1-3

=(2-4n)×3n-2，

n

\Tn=(2n-1)×3+1.

19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，

BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M為AD的中點(diǎn)．

（1）證明：BM//平面CDE；

（2）求二面角F-BM-E的正弦值．

【答案】（1）證明見詳解；

43

（2）

13

【解析】

【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形BCDM為平行四邊形，可證BM//CD，進(jìn)而得證；

（2）作BO^AD交AD于O，連接OF，易證OB,OD,OF三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公

式即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)锽C//AD,EF=2,AD=4,M為AD的中點(diǎn)，所以BC//MD,BC=MD，

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四邊形BCDM為平行四邊形，所以BM//CD，又因?yàn)锽M?平面CDE，

CDì平面CDE，所以BM//平面CDE；

【小問2詳解】

如圖所示，作BO^AD交AD于O，連接OF，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2，所以CD=2，

結(jié)合（1）BCDM為平行四邊形，可得BM=CD=2，又AM=2，

所以VABM為等邊三角形，O為AM中點(diǎn)，所以O(shè)B=3，

又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,EF//MD，

四邊形EFMD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF，

所以△AFM為等腰三角形，VABM與△AFM底邊上中點(diǎn)O重合，OF^AM，

OF=AF2-AO2=3，

因?yàn)镺B2+OF2=BF2，所以O(shè)B^OF，所以O(shè)B,OD,OF互相垂直，

以O(shè)B方向?yàn)閤軸，OD方向?yàn)閥軸，OF方向?yàn)閦軸，建立O-xyz空間直角坐標(biāo)系，

uuuuruuur

F0,0,3，B3,0,0,M0,1,0,E0,2,3，BM=-3,1,0,BF=-3,0,3，

uuurr

BE=-3,2,3，設(shè)平面BFM的法向量為m=x1,y1,z1，

r

平面EMB的法向量為n=x2,y2,z2，

uuuur

ìmr×BM=0ì-3x+y=0

??11r

則í，即í，令x=3，得y1=3,z1=1，即m=3,3,1，

ruuur1

??m×BF=0??-3x1+3z1=0

ruuuurì

?ìn×BM=0?-3x2+y2=0

則í，即í，令x=3，得y2=3,z2=-1，

ruuur2

??n×BE=0??-3x2+2y2+3z2=0

mr×nr1111

rcosmr,nr===43

即n=3,3,-1，rr，則sinmr,nr=，

m×n13×131313

43

故二面角F-BM-E的正弦值為.

13

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x2y2?3?

20.設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M?1,÷在C上，且MF^x軸．

a2b2è2?

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)P4,0的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q，證

明：AQ^y軸．

x2y2

【答案】（1）+=1

43

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)M的坐標(biāo)及MF^x軸可求基本量，故可求橢圓方程.

（2）設(shè)AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用A,B的坐標(biāo)表示

y1-yQ，結(jié)合韋達(dá)定理化簡前者可得y1-yQ=0，故可證AQ^y軸.

【小問1詳解】

b23a2-13

設(shè)Fc,0，由題設(shè)有c=1且=，故=，故a=2，故b=3，

a2a2

x2y2

故橢圓方程為+=1.

43

【小問2詳解】

直線AB的斜率必定存在，設(shè)AB:y=k(x-4)，Ax1,y1，Bx2,y2，

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ì3x2+4y2=12

由í可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，

?y=k(x-4)

11

故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-<k<，

22

32k264k2-12

又x+x=,xx=，

123+4k2123+4k2

3

y?5?-y

?5?BN:y=2x-2-3y

而N,0，故直線5?÷，故y=2=2，

?֏2?Q5

è2?x2-2x2-5

2x2-

2

3y2y1′2x2-5+3y2

所以y1-yQ=y1+=

2x2-52x2-5

kx-4′2x-5+3kx-4

=122

2x2-5

64k2-1232k2

2′-5′+8

2xx-5x+x+822

=k1212=k3+4k3+4k

2x2-52x2-5

128k2-24-160k2+24+32k2

2，

=k3+4k=0

2x2-5

故y1=yQ，即AQ^y軸.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1,x2,y2；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意D的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

21.已知函數(shù)fx=1-axln1+x-x．

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求fx的極值；

（2）當(dāng)x30時(shí)，fx30恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（1）極小值為0，無極大值.

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1

（2）a￡-

2

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.

11

（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就a￡-、-<a<0、a30分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

22

【小問1詳解】

當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，

1+2x1

故f￠(x)=2ln(1+x)+-1=2ln(1+x)-+1，

1+x1+x

1

因?yàn)閥=2ln(1+x),y=-+1在-1,+￥上為增函數(shù)，

1+x

故f￠(x)在-1,+￥上為增函數(shù)，而f￠(0)=0，

故當(dāng)-1<x<0時(shí)，f￠(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，f￠(x)>0，

故fx在x=0處取極小值且極小值為f0=0，無極大值.

【小問2詳解】

1-axa+1x

f￠x=-aln1+x+-1=-aln1+x-,x>0，

1+x1+x

a+1x

設(shè)sx=-aln1+x-,x>0，

1+x

-aa+1ax+1+a+1ax+2a+1

則s￠x=-=-=-，

x+11+x21+x21+x2

1

當(dāng)a￡-時(shí)，s￠x>0，故sx在0,+￥上為增函數(shù)，

2

故sx>s0=0，即f￠x>0，

所以fx在0,+￥上為增函數(shù)，故fx3f0=0.

12a+1

當(dāng)-<a<0時(shí)，當(dāng)0<x<-時(shí)，s￠x<0，

2a

?2a+1??2a+1?

故sx在?0,-÷上為減函數(shù)，故在?0,-÷上sx<s0，

èa?èa?

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?2a+1?

即在?0,-÷上f￠x<0即fx為減函數(shù)，

èa?

?2a+1?

故在?0,-÷上fx<f0=0，不合題意，舍.

èa?

當(dāng)a30，此時(shí)s￠x<0在0,+￥上恒成立，

同理可得在0,+￥上fx<f0=0恒成立，不合題意，舍；

1

綜上，a￡-.

2

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)

數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類問題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來確定如何分類.

（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂

黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立