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文檔簡介

1.5全稱量詞與存在量詞

1.5.1全稱量詞與存在量詞

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

用全稱量詞、存在量詞梳理、表達(dá)學(xué)過

通過已知的數(shù)學(xué)實例,理解全稱量詞與

的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容,重點提升數(shù)學(xué)抽象、

存在量詞的意義.

邏輯推理素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)——,知識探究

教材知識探究

A情境引入

L觀察下面的兩個語句,思考下列問題:

P:mW5;

Q-對所有的加?R,mW5.

問題(1)上面的兩個語句是命題嗎?二者之間有什么關(guān)系?

(2)常見的全稱量詞有哪些?(至少寫出五個).

提示(1)語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所

有的“,可以判斷真假,是命題.語句尸是命題。中的一部分.

⑵常見的全稱量詞有:“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有

的”“凡是”等.

2.觀察下面的兩個語句,思考下列問題:

P:m>5;

Q:存在一?個mo?Z,mo>5.

問題(1)上面的兩個語句是命題嗎?二者之間有什么關(guān)系?

(2)常見的存在量詞有哪些?(至少寫出五個).

提示(1)語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“存

在一個“,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分.

⑵常見的存在量詞有:“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對

某個”“有的”等.

A新知梳理

1.全稱量詞和全稱量詞命題要記準(zhǔn)概念中的關(guān)鍵詞語,還要記住專用符號

⑴全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用

符號表示.

⑵常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”“任給”等.

(3)全稱量詞命題:含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M

中任意一個x,有p(x)成立"可用符號簡記為〃(x).

2.存在量詞與存在量詞命題

⑴存在量詞:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,

并用符號表示.

⑵常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某些”“有的”等.

(3)存在量詞命題:含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在

M中的元素x,使O(X)成立"可用符號簡記為xRM,pg

教材拓展補(bǔ)遺

[微判斷]

1.“有些三角形中三個內(nèi)角相等”是存在量詞命題.(J)

2.存在量詞命題"x?R,是真命題.(X)

提示不存在x?R,使得f<0成立.

3.“三角形內(nèi)角和是180?!笔侨Q量詞命題.(?)

4.x@R,d+1三1是真命題.(J)

5.“對每一個無理數(shù)x,f也是無理數(shù)”是真命題.(X)

提示小是無理數(shù),但(小)2=3是有理數(shù).

[微訓(xùn)練]

用符號"”表示下列存在量詞命題:

(1)存在一個實數(shù)對(x,y),使2x+3y+3<0成立;

⑵有些整數(shù)既能被2整除,又能被3整除;

⑶某個四邊形不是平行四邊形.

解x,y)G{(x,y)h?R,yGR},2x+3y+3<0.

x?Z,x既能被2整除,又能被3整除.

是四邊形},X不是平行四邊形.

[微思考]

1.全稱量詞命題中的“X,“與P。)”表達(dá)的含義分別是什么?

提示元素X可以表示實數(shù)、方程、函數(shù)、不等式,也可以表示幾何圖形,相應(yīng)

的集合M是這些元素的某一特定的范圍0。)表示集合〃的所有元素滿足的性質(zhì).

如“任意一個自然數(shù)都不小于0”,可以表示為“x?N,x20”.

2.在全稱量詞命題和存在量詞命題中,量詞是否可以省略?

提示在存在量詞命題中,量詞不可以省略;在有些全稱量詞命題中,量詞可以

省略.

課堂互動⑺題型剖析”

題型一全稱量詞命題與存在量詞命題的識別

準(zhǔn)確理解命題的意義并判斷含有哪種量詞

【例1】判斷下列命題是全稱量詞命題,還是存在量詞命題:

(1)凸多邊形的外角和等于360°;

(2)有的速度方向不定;

(3)對任意直角三角形的兩銳角NA,ZB,都有sinZA=cosZB.

解(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360?!?,故為全稱量詞命題.

(2)含有存在量詞“有的”,故是存在量詞命題.

(3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱量詞命題.

規(guī)律方法判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的關(guān)鍵是看量詞.由

于某些全稱量詞命題的量詞可能省略,所以要根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷,同時要

會用相應(yīng)的量詞符號正確表達(dá)命題.

【訓(xùn)練1】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并用符號“”

或“”表示下列命題:

(1)自然數(shù)的平方大于或等于零;

⑵有的一次函數(shù)圖象經(jīng)過原點;

(3)所有的二次函數(shù)的圖象的開口都向上.

解(1)全稱量詞命題.表不為

(2)存在量詞命題.一次函數(shù),它的圖象過原點.

(3)全稱量詞命題.二次函數(shù),它的圖象的開口都向上.

題型二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷

判斷是假命題時只要舉出一個反例即可

【例2】判斷下列命題的真假.

(1)所有的素數(shù)都是奇數(shù);

⑵任意矩形的對角線相等;

(3)存在x?R,使尤2+2尤+3=0.

解(1)2是素數(shù),但2不是奇數(shù).

所以全稱量詞命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題.

(2)是真命題.

(3)由于任意x?R,d+2x+3=(x+1)?+222,因此使d+2x+3=0的實數(shù)x不

存在,所以存在量詞命題“存在x?R,使d+2x+3=0”為假命題.

規(guī)律方法判斷一■個命題為真命題應(yīng)給出證明,判斷一■個命題為假命題只需舉出

反例,具體而言:

(1)要判定一個存在量詞命題為真,只要在給定的集合內(nèi)找到一個元素X,使p(x)

成立即可,否則命題為假.

(2)要判定一個全稱量詞命題為真,必須對給定集合內(nèi)的每一個元素x,2。)都成

立,但要判定一個全稱量詞命題為假時,只要在給定的集合內(nèi)找到一個羽使p(x)

不成立即可.

【訓(xùn)練2】判斷下列命題的真假:

(1)有一些二次函數(shù)的圖象過原點;

x?R,2x?+尤+1<0;

x?R,x2>0.

解(1)該命題中含有“有一些”,是存在量詞命題.如y=f,其圖象過原點,故

該命題是真命題.

(2)該命題是存在量詞命題.

2_

"."2x'+x+l=^x+^+(鳥>。,

...不存在x@R,使21+x+1<0.

故該命題是假命題.

(3)該命題是全稱量詞命題.

x=0時,x=0,故該命題是假命題.

題型三依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)取值范圍

【例3】已知命題2:x?R,函數(shù)y=ad+2x+3的圖象總在x軸上方是真

命題,求實數(shù)。的取值范圍.

解命題p為真命題,①當(dāng)a=0時,一次函數(shù)y=2x+3的圖象總在x軸上方,

顯然不能恒成立;

②當(dāng)aWO時,由二次函數(shù)y=a?+2x+3的圖象總在x軸上方,得

a>0,

<

2

J=2-4XflX3<0,

a>0,

即,1a>^.

d>yJ

綜上,a的取值范圍為

規(guī)律方法根據(jù)含量詞命題的真假等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)范

圍.

【訓(xùn)練3】命題p:任意x?R,一次函數(shù)y=2x+6的圖象不經(jīng)過第四

象限,若命題"為真命題,求實數(shù)6的取值范圍.

解因為一次函數(shù)y=2九+》的圖象不經(jīng)過第四象限,如圖所示,故6N0.

核心素養(yǎng)全面提升

一\素養(yǎng)落地

1.通過學(xué)習(xí)全稱量詞命題與存在量詞命題的概念提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過判斷全

稱量詞命題與存在量詞命題的真假培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

2.判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,主要是看命題中是否含有全稱量

詞或存在量詞,有些全稱量詞命題不含全稱量詞,可以根據(jù)命題涉及的意義去判

斷.

3.要確定一個全稱量詞命題是真命題,需保證該命題對所有的元素都成立;若能

舉出一個反例說明命題不成立,則該全稱量詞命題是假命題.

4.要確定一個存在量詞命題是真命題,舉出一個例子說明該命題成立即可;若經(jīng)

過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立,則該存在量詞命題是假命題.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

1.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是()

①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù);

②有的平行四邊形也是菱形;

③三角形的內(nèi)角和是180°.

A.OB.1

C.2D.3

解析①③是全稱量詞命題.

答案C

2.下列命題中,不是全稱量詞命題的是()

A.任何一個實數(shù)乘以0都等于0

B.任意一個負(fù)數(shù)都比零小

C.每一個正方形都是矩形

D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)

解析D選項是存在量詞命題.

答案D

3.下列存在量詞命題是假命題的是()

A.存在xGQ,使4—f=0

B.存在x?R,使/+1+1=0

C.有的素數(shù)是偶數(shù)

D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)

解析對于任意的x?R,f+x+l=(x+])+,>0恒成立.

答案B

4.以下四個命題,既是存在量詞命題,又是真命題的是()

A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或直角

B.至少有一個實數(shù)x,使/W0

C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)

D.存在一個負(fù)數(shù)x,使1>2

答案B

5.命題2:x?R,f+2x+5=0是(填“全稱量詞命題”或“存在量詞

命題”),它是命題(填“真”或“假”)

答案存在量詞命題假

課后作業(yè)鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.下列命題:

①中國公民都有受教育的權(quán)利;

②每一個中學(xué)生都要接受愛國主義教育;

③有人既能寫小說,也能搞發(fā)明創(chuàng)造;

④任何正方形都是平行四邊形.

其中全稱量詞命題的個數(shù)是()

A.lB.2

C.3D.4

解析命題①②④都是全稱量詞命題.

答案C

2.下列命題中存在量詞命題的個數(shù)是()

①有些自然數(shù)是偶數(shù);②正方形是菱形;③能被6整除的數(shù)也能被3整除;④對

于任意xGR,總有

A.OB.l

C.2D.3

解析命題①含有存在量詞;命題②可以敘述為“所有的正方形都是菱形”,是

全稱量詞命題;命題③可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也都能被3整除”,是

全稱量詞命題;而命題④是全稱量詞命題.故有一個存在量詞命題.

答案B

3.已知命題/?:xGR,x2+4x+tz=0,若命題p是假命題,則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.0<tz<4B.a>4

C.a<0D.a>4

解析是假命題,I.方程d+4x+a=0沒有實數(shù)根,即/=16—4a<0,即

a>4.

答案B

4.下列四個命題:

①一切實數(shù)均有相反數(shù);②a?N,使得方程1=0無實數(shù)根;③梯形的對

角線相等;④有些三角形不是等腰三角形.

其中,真命題的個數(shù)為()

A.lB.2

C.3D.4

解析①為真命題;對于②,當(dāng)。=0時,方程ax+l=0無實數(shù)根;對于③,等

腰梯形的對角線相等,故③錯誤;④為真命題.

答案C

5.下列全稱量詞命題中真命題的個數(shù)為()

①對于任意實數(shù)x,都有x+2>x;

②對任意的實數(shù)a,b,都有若|a|>|例,則">廿成立;

③二次函數(shù)y=d—依一1與x軸恒有交點;

④x?R,y?R,都有

A.lB.2

C.3D.4

解析①②③為真命題.

答案c

二、填空題

6.給出下列三個命題:

①x?R,x2+l#0;②矩形都不是梯形;

③x,yGR,f+yYl.

其中全稱量詞命題是(填序號).

解析②省略了量詞“所有的”.

答案①②

7.對任意x>3,恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是..

解析對任意x>3,x>a恒成立,即大于3的數(shù)恒大于a,...aW3.

答案aW3

8.試判斷下列全稱量詞命題的真假:

①x?R,x2+2>0;

②x?N,%4^1;

③對任意x,?都有f+Jwo.

其中真命題的個數(shù)為.

解析①由于x?R,都有因而有f+2>2>0,即d+2>0,所以命題

“x?R,X2+2>0>>是真命題.

②由于0?N,當(dāng)x=0時,%4>1不成立,所以命題“x£N,是假命

題.

③當(dāng)x=y=O時,x2+y2=0,所以是假命題.

答案1

三'解答題

9.試判斷下列全稱量詞命題的真假:

(1)xGR,f+i》2;

(2)直角坐標(biāo)系內(nèi)任何一條直線都與x軸有交點;

(3)每個二次函數(shù)都有最小值.

解(1)取x=0,則尤2+1=1<2,所以“xGR,f+l》2”是假命題.

(2)與x軸平行的直線與x軸無交點,所以該命題為假命題.

(3)對于丁=0?+法+°,當(dāng)。<0時函數(shù)有最大值無最小值,所以“每個二次函數(shù)

都有最小值”是假命題.

10.判斷下列存在量詞命題的真假:

(1)xGZ,x3<l;

⑵存在一個四邊形不是平行四邊形;

(3)存在一對整數(shù)x,

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