2025屆黑龍江省大慶市讓胡路區(qū)第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測試題含解析

2025屆黑龍江省大慶市讓胡路區(qū)第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)點是棱長為的正方體的棱的中點，點在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點到點的最短距離是()A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A． B． C．1 D．23．在中秋的促銷活動中，某商場對9月14日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為萬元，則10時到11時的銷售額為（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元4．在中，角所對的邊分別為,若的面積，則()A． B． C． D．5．若向量，，則（）A． B． C． D．6．若等差數(shù)列的前10項之和大于其前21項之和，則的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定7．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．8．函數(shù)的簡圖是（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且公比，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知，則的垂直平分線所在直線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列定義為，則_______.12．設(shè)，向量，，若，則__________．13．若，則__________.14．某銀行一年期定期儲蓄年利率為2.25%，如果存款到期不取出繼續(xù)留存于銀行，銀行自動將本金及80%的利息（利息須交納20%利息稅，由銀行代交）自動轉(zhuǎn)存一年期定期儲蓄，某人以一年期定期儲蓄存入銀行20萬元，則5年后，這筆錢款交納利息稅后的本利和為________元.（精確到1元）15．已知變量，滿足，則的最小值為________.16．一組樣本數(shù)據(jù)8，10，18，12的方差為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，設(shè)32，2．（Ⅰ）若⊥，求實數(shù)k的值；（Ⅱ）當(dāng)k＝0時，求與的夾角θ的大?。?8．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．19．已知向量.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.20．設(shè)向量.（1）當(dāng)時，求的值；（2）若，且，求的值.21．為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:),并將樣本數(shù)據(jù)分組為,,,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)若樣本中月均用電量在的居民有戶,求樣本容量;(2)求月均用電量的中位數(shù);(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取戶居民,則月均用電量在的居民應(yīng)抽取多少戶?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

以為原點，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計算三個平面的法向量，根據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：，再利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】`以為原點，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則易知：平面的法向量為平面的法向量為設(shè)平面的法向量為：則，取平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等或看作平面的兩條平行直線，到的距離.根據(jù)點到直線的距離公式得，點到點的最短距離都是：故答案為B【點睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系，二面角，最短距離，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.2、C【解析】

利用等比數(shù)列的前項和公式列出方程組，能求出首項．【詳解】等比數(shù)列的前項和為，，，，解得，．故選：．【點睛】本題考查等比數(shù)列的首項的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、C【解析】分析：先根據(jù)12時到14時的銷售額為萬元求出總的銷售額，再求10時到11時的銷售額.詳解：設(shè)總的銷售額為x,則.10時到11時的銷售額的頻率為1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10時到11時的銷售額為.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖求概率、頻數(shù)和總數(shù)，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積和為1，頻率=.4、B【解析】

利用面積公式及可求，再利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求，最后利用余弦定理可求的值.【詳解】因為，故，所以，因為，故，又，由余弦定理可得，故.故選B.【點睛】三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.5、B【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，先由，求得，再求的坐標(biāo)．【詳解】因為，所以，所以．故選：B【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)條件得到不等式，化簡后可判斷的情況.【詳解】據(jù)題意：，則，所以，即，則：，故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的應(yīng)用，難度較易.等差數(shù)列前項和之間的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系.7、C【解析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點睛】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

變形為，求出周期排除兩個選項，再由函數(shù)值正負(fù)排除一個，最后一個為正確選項．【詳解】函數(shù)的周期是，排除AB，又時，，排除C．只有D滿足．故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選圖象，可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等排除某些選項，還可求出特殊值，特殊點，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢排除一些選項，從而得出正確選項．9、C【解析】

由可得，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】，，，，，，故選C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

首先根據(jù)題中所給的兩個點的坐標(biāo)，應(yīng)用中點坐標(biāo)公式求得線段的中點坐標(biāo)，利用兩點斜率坐標(biāo)公式求得，利用兩直線垂直時斜率的關(guān)系，求得其垂直平分線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，化簡求得結(jié)果.【詳解】因為，所以其中點坐標(biāo)是，又，所以的垂直平分線所在直線方程為，即，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)線段的垂直平分線的方程的問題，在解題的過程中，需要明確線段的垂直平分線的關(guān)鍵點一是垂直，二是平分，利用相關(guān)公式求得結(jié)果.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知得兩式，相減可發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等差數(shù)列，分類討論分別算出奇數(shù)項的和和偶數(shù)項的和，再相加得原數(shù)列前的和【詳解】兩式相減得數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前2n項中所有奇數(shù)項的和為：，數(shù)列的前2n項中所有偶數(shù)項的和為：【點睛】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數(shù)，這種數(shù)列要分類討論，分偶數(shù)項和奇數(shù)項來研究，特別注意偶數(shù)項的首項為，而奇數(shù)項的首項為.12、【解析】從題設(shè)可得，即，應(yīng)填答案．13、；【解析】

易知的周期為，從而化簡求得.【詳解】的周期為，且，又，.故答案為：【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的周期以及利用周期求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.14、218660【解析】

20萬存款滿一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（【詳解】20萬存款滿一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（200000×(1.018)故填218660.【點睛】本題主要考查了銀行存款的復(fù)利問題，由固定公式可用，本息和=本金×（1+利率×(1-15、0【解析】

畫出可行域，分析目標(biāo)函數(shù)得，當(dāng)在y軸上截距最小時，即可求出的最小值.【詳解】作出可行域如圖：聯(lián)立得化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過點時，在y軸上的截距最小,有最小值為，故填.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，屬于中檔題.16、14【解析】

直接利用平均數(shù)和方差的公式，即可得到本題答案.【詳解】平均數(shù)，方差.故答案為：14【點睛】本題主要考查平均數(shù)公式與方差公式的應(yīng)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用⊥，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，得到關(guān)于的方程，即可求解；（Ⅱ）當(dāng)時，利用向量的數(shù)量積的運算公式，以及向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，所以，，，又由.若⊥，可得，解得k．（Ⅱ）當(dāng)k＝0時，，則．因為，由向量的夾角公式，可得，又因為0≤θ≤π，∴，所以與的夾角θ的大小為．【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運算公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)【解析】

（1）當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為；故當(dāng)時，最小值為．（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以（?。┊?dāng)時，函數(shù)有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設(shè)零點為且，此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設(shè)，，因為，所以，，，當(dāng)時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當(dāng)時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設(shè)在時的零點為，則需，而當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點，并且滿足；（ⅱ）若當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，也符合題意，而由（?。┛傻?，要使當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，則，要使函數(shù)在恰有兩個零點，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，綜上可得：實數(shù)的取值范圍為．故得解.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點問題的綜合應(yīng)用，屬于難度題，關(guān)鍵在于分析分段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及其圖像趨勢，可運用數(shù)形結(jié)合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時的定義域?qū)ζ涞挠绊懀?9、（1）或（2）【解析】

（1）因為，所以可以設(shè)求出坐標(biāo)，根據(jù)模長，可以得到參數(shù)的方程.（2）由于已知條件可以計算出與坐標(biāo)（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關(guān)于的方程，完成本題.【詳解】（1）法一:設(shè)，則，所以解得所以或法二:設(shè)，因為，，所以，因為，所以解得或，所以或（2）因為向量與互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【點睛】考查了向量的線性表示，引入?yún)?shù)，只要我們能建立起引入?yún)?shù)的方程，則就能計算出所求參數(shù)值，從而完成本題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）直接由向量的模長公式進行計算.

（2）由向量平行的公式可得，再用余弦的二倍角和正弦的和角公式，然后再轉(zhuǎn)化為的式子，代值即可.【詳解】（1）因為，所以，所以.（2）由得，所以，故.【點睛】本題考查向量求模長和向量的平行的坐標(biāo)公式的利用，以及三角函數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.21、(1)200