湖北省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月聯(lián)考試題含解析

Page19留意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A，依據(jù)集合的并集運算即可求得答案.【詳解】由題意得或，而，故或，故選：C2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得的結(jié)果，即可得其共軛復(fù)數(shù)，即可得答案.【詳解】由題意得，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為1，故選：B3.甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共3200件，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取一個樣本容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測．若樣本中有45件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為（）A.1100件 B.1200件 C.1400件 D.1600件【答案】C【解析】【分析】由題意求出樣本中乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的占比，即可求得乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù).【詳解】由題意可知樣本中有45件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則有35件產(chǎn)品由乙設(shè)備生產(chǎn)，故乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品所占比例為，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為（件），故選：C4.已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量的線性運算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.【詳解】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量為，故選：D．5.已知函數(shù)是偶函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)在是單調(diào)減函數(shù)，轉(zhuǎn)化出的一個單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合偶函數(shù)關(guān)于軸對稱得上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像即可求得答案【詳解】在是單調(diào)減函數(shù)，令，則，即在上是減函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)，在上是增函數(shù),則故選【點睛】本題是函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合奇偶性進行判定大小，較為基礎(chǔ)．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷c的范圍，即可得答案.【詳解】由于在R上單調(diào)遞減，故，而在R上單調(diào)遞增，故，即；由于在上單調(diào)遞減，故，故，故選：A7.被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的聞名數(shù)學(xué)家華羅庚先生提倡的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了特別廣泛的應(yīng)用，0.618就是黃金分割比的近視值.有一個內(nèi)角為的等腰三角形中，較短邊與較長邊之比為黃金比.則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題中條件，探討等腰三角形頂角為與底角為兩種狀況，利用正弦定理，以及三角恒等變換對應(yīng)的公式，即可得出結(jié)果.【詳解】若該等腰三角形的頂角為，則底角為，因此，由正弦定理可得：較短邊與較長邊之比為，即，所以，因此；若該等腰三角形的底角為，則頂角為，因此，由正弦定理可得：較短邊與較長邊之比為，即，則，所以，因此.綜上，.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于正弦定理，結(jié)合題中條件，先表示出較短邊與較長邊之比，進而可利用三角恒等變換化簡求解.8.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點，若與的面積相等，則的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得為的中點，建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法即得.【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又為線段AD上一點，若與的面積相等，∴，為的中點，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，∴.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.圖象的一個對稱中心為 D.的最小正周期為π【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正切函數(shù)的定義域、對稱中心、周期、單調(diào)性逐項推斷即可得解.【詳解】因為，所以，解得，即函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；當(dāng)時，，此時無意義，故在區(qū)間上單調(diào)遞增不正確，故B錯誤；當(dāng)時，，正切函數(shù)無意義，故為函數(shù)的一個對稱中心，故C正確；因為，故是函數(shù)的一個周期，故D錯誤.故選：C10.已知正實數(shù)，滿意，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用條件將化，綻開后結(jié)合基本不等式可推斷A；干脆利用基本不等式推斷B；舉反例推斷C；將化為，l由基本不等式即可推斷D.【詳解】由題意正實數(shù)，滿意，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，A錯誤；由可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，B正確；取滿意，但，C錯誤；由于，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，D正確，故選：BD11.在一次黨建活動中，甲?乙?丙?丁四個愛好小組實行黨史學(xué)問競賽，每個小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）狀況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲?乙?丙?丁四個小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則肯定為“優(yōu)秀小組”是（）A.甲組中位數(shù)為2，極差為5B.乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C.丙組平均數(shù)為1，方差大于0D.丁組平均數(shù)為2，方差為3【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，方差，極差的定義，分析推斷每個選項.【詳解】對，因為中位數(shù)為2，極差為5，故最大值小于等于7，故正確；對，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為，則滿意平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿意每名同學(xué)失分都不超過7分，故B錯誤；對，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為，則滿意平均數(shù)為1，方差大于0，但不滿意每名同學(xué)失分都不超過7分，故C錯誤；對，利用反證法，假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分，則方差大于，與題設(shè)沖突，故每名同學(xué)失分都不超過7分．故D正確．故選：AD.12.已知，，若對隨意，存在，使，則實數(shù)的取值可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的最小值，由題意可推出，故得到相應(yīng)不等式，求出a的范圍，即可求得答案.【詳解】由題意時，，即；而，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由于對隨意，存在，使，過，即，結(jié)合選項，故實數(shù)的取值可以是，故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.平面的法向量為，，那么直線與平面的關(guān)系是_____．【答案】或【解析】【分析】計算平面的法向量和的數(shù)量積，即可推斷的關(guān)系，進而推斷直線與平面的關(guān)系.【詳解】由題意知，，則，故，則或，故答案為：或14.一位射擊運動員在一次射擊測試中射靶7次，命中的環(huán)數(shù)依次如下：7，8，10，9，8，8，6，則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是____________．【答案】9【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，依據(jù)百分位數(shù)的概念，即可求得答案.【詳解】將7，8，10，9，8，8，6從小到大排列為：6，7，8，8，8，9，10，由于，故該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第6個數(shù)9，故答案為：915.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)定義，利用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，限定端點處的取值列出不等式組即可解出的取值范圍.【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故答案：16.現(xiàn)有一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正三棱錐框架，其各頂點都在球的球面上，將一個圓氣球放在此框架內(nèi)，再向氣球內(nèi)充氣，當(dāng)圓氣球恰好與此正三棱錐各棱都相切時停止充氣，此時球的表面積為____________．【答案】【解析】【分析】求出正棱錐的高，由題意知球為正三棱錐的棱切球，確定球心位置，列方程求出球的半徑，即可求得答案.【詳解】設(shè)此正三棱錐框架為，球半徑為R，球的半徑為r，的外接圓圓心為O，連接，延長AO交BC于N，因為圓氣球恰好與正三棱錐各棱都相切，設(shè)球與棱相切于，則，由題意知底面，底面，故，又，故，在中，，在中，由于,則，則，由，可得，解得，（舍），故球的表面積為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是求出球的半徑，解答時要發(fā)揮空間想象，確定球的球心大致位置，進而依據(jù)等量關(guān)系列出方程，求得半徑，即可求解答案.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖所示，四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為．（1）求的長；（2）求與夾角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記，依據(jù)空間向量的運算表示出，依據(jù)向量模的計算即可得答案；（2）求出空間向量的數(shù)量積和它們的模長，依據(jù)空間向量的夾角的計算，即可求得答案.【小問1詳解】記，則，所以，由于，故，故，即的長為；【小問2詳解】由于，所以，，故，由于與夾角的范圍為，故與夾角的余弦值為.18.我國上是世界嚴(yán)峻缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了激勵居民節(jié)約用水，安排在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），用水量不超過的部分按平價收費，超過的部分按議價收費，為了了解全市民月用水量的分布狀況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)依據(jù)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中的值；（2）已知該市有80萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計的值，并說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人；(Ⅲ)估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn).【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖中的矩形面積的和為1求的值；（Ⅱ）首先計算月均用水量大于等于3噸的頻率，80萬乘以頻率就是所求的人數(shù)；（Ⅲ）首先大體估計的區(qū)間，再計算區(qū)間的頻率和為0.85時，求解的值.試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可得，解得.（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，100位居民每人月用水量不低于3噸的人數(shù)為，由以上樣本頻率分布，可以估計全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為.(Ⅲ)前6組的頻率之和為，而前5組的頻率之和為，由，解得，因此，估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn).19.甲、乙兩人組成“紅隊”參與猜謎語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個謎語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為，在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．求“紅隊”在兩輪活動中猜對3個謎語的概率．【答案】【解析】【分析】兩輪活動中猜對3個謎語相當(dāng)于事務(wù)“甲猜對1個、乙猜對2個”和事務(wù)“乙猜對1個、甲猜對2個”的和事務(wù)，依據(jù)互斥事務(wù)以及獨立事務(wù)的概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)分別表示甲兩輪猜對1個和2個謎語的事務(wù)，分別表示甲兩輪猜對1個和2個謎語的事務(wù)，則，，設(shè)A表示“紅隊”在兩輪活動中猜對3個謎語，則，且互斥，故，故“紅隊”在兩輪活動中猜對3個謎語的概率為.20.如圖，在三棱錐中，底面ABC，，D是AB的中點，且，．（1）求證：平面平面VCD；（2）試確定角的值，使得直線BC與平面VAB所成的角的為．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空間坐標(biāo)系,先證明線面垂直,再證明面面垂直,即先證,可證出平面，最終證出平面平面;(2)先求出平面的法向量,再依據(jù)線面角公式表示出和相關(guān)的式子,最終依據(jù)的范圍求解.【小問1詳解】證明：以、、所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，.于是，，，從而，即.同理，即.又,所以平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】解：設(shè)直線與平面所成角為，平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，當(dāng)時，

，解得，，又因為，所以，.21.已知冪函數(shù)滿意．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，（），使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求得參數(shù)p的值，結(jié)合單調(diào)性即可求得函數(shù)解析式；（2）假設(shè)存在實數(shù)，（），使函數(shù)在上的值域為，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得相應(yīng)關(guān)系式，推出，整理化簡后可得，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得n的范圍，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由是冪函數(shù)，可得，解得或；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不滿意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，滿意，故．【小問2詳解】由題意知，則在定義域上單調(diào)遞減，若實數(shù)，（），使函數(shù)在上的值域為，則，兩式相減，得，故，而，所以，即，將該式代入，得，令，由，知，即，故，所以，由于在上單調(diào)遞減，所以，故存在實數(shù)，（），使函數(shù)在上的值域為，此時實數(shù)的取值范圍為.【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于其次問的探究問題，解答時要能依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出之間