四川省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上期10月月考試題理含解析

Page20一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定義可得.【詳解】集合，解不等式可得集合，所以.故選：B2.已知實(shí)數(shù)滿意（），則下列關(guān)系式恒成立的是（）A. B.ln＞lnC. D.【答案】D【解析】【分析】由（）得，依據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性逐個(gè)推斷即可，或舉出反例解除.【詳解】由（）得，對(duì)A，，不恒成立，A錯(cuò)；對(duì)B，ln＞ln，不恒成立，B錯(cuò)；對(duì)C，三角函數(shù)有周期性，不恒成立，C錯(cuò)；對(duì)D，，D對(duì).故選：D.3.已知命題在△中，若，則；命題向量與向量相等充要條件是且.下列四個(gè)命題是真命題的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件分別推斷命題和命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行推斷即可.【詳解】命題：在中，若，由于余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故命題為真命題；命題：向量與向量相等的充要條件是向量與向量大小相等，方向相同，則命題是假命題.則為真命題.故選：A4.在中，是上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面對(duì)量的三角形法則和共線定理，即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，且，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的線性運(yùn)算和共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國，是我們不懈追求的航天夢(mèng).我國在文昌航天放射場(chǎng)用長征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭把嫦娥五號(hào)探測(cè)器順當(dāng)?shù)厮腿腩A(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國將來月球與行星探測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化可求燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值.【詳解】令，則，故，故選：C.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】由得，所以，故選：A7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為整體，結(jié)合倍角公式可得，再利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A.8.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】從圖像利用解除法進(jìn)行求解：先分析奇偶性，解除B；計(jì)算解除C；依據(jù)時(shí)，；解除D.即可得到答案.【詳解】對(duì)于，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)?，所以是偶函?shù)，解除B.當(dāng)時(shí)，，解除C；當(dāng)時(shí)，，，；解除D.故選：A.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)已知條件求出與以及的值，進(jìn)而確定的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.【詳解】依據(jù)題中圖象可知，函數(shù)的最小正周期，，，，又，所以，所以，所以.故選：B10.已知，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，即，即，?故選：A11.若函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)隨意的，且，都有，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得函數(shù)在上遞減，且關(guān)于對(duì)稱，則，利用作差法比較三者之間的大小關(guān)系，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】解：由對(duì)，且，都有，所以函數(shù)在上遞減，又函數(shù)偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，又，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?

故選：A.12.若正實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)大于的零點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意得，，則，即是，從而同構(gòu)函數(shù)，，利用的單調(diào)性得到，代入求解即可.【詳解】依題意得，，即，，，即，，，，又，同構(gòu)函數(shù)：，，則，又，，，，又，，單調(diào)遞增，，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）函數(shù)零點(diǎn)即為函數(shù)的取值；（2）對(duì)的兩個(gè)方程合理的變形，達(dá)到形式同一，進(jìn)而同構(gòu)函數(shù)，，其中應(yīng)留意定義域；（3）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定；（4）求解的值時(shí)，將替換后應(yīng)留意分子的取值.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，且，則___________.【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以，?故答案為：.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．15.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)覺了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，，求得，代入即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，所以，故答案為?16.已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是__________．①若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是②若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是③若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則④若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】②③④【解析】【分析】依據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解即可得答案．【詳解】令，得，即所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖像如圖，由圖可知，有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是，，故①錯(cuò)誤；有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是，故②正確；有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，此時(shí)，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故③正確；由③可知，所以，由于有4個(gè)不同的零點(diǎn)，的取值范圍是，故，所以，故④選項(xiàng)正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合得出答案，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：每題12分，共60分.17.已知數(shù)列滿意，，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)可推斷是等比數(shù)列，進(jìn)而依據(jù)等差和等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解通項(xiàng)公式,（2）依據(jù)分組求和即可求解.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列滿意，，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】有（1）可知，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和，即．18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且，求△ABC的面積．請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題．①BD是∠ABC的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答記分．）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解；（2）選擇①，由平分得，分別用三角形面積公式求解可得，利用余弦定理可得，聯(lián)馬上可求解的值，即可求得△ABC的面積；選擇②，利用平面對(duì)量的線性運(yùn)算可得，求解向量的?？傻?，利用余弦定理可得，聯(lián)馬上可求解的值，即可求得△ABC的面積.【小問1詳解】解：由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴.【小問2詳解】若選①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，聯(lián)立得，解得，（舍去），∴．若選②：因?yàn)?，，，得，在中，由余弦定理得，即，?lián)立，可得，∴．19.函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）將的圖象先向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用整體法求解的單調(diào)減區(qū)間；（2）先依據(jù)平移和伸縮變換得到，依據(jù)得到，從而求出函數(shù)值域.【小問1詳解】，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【小問2詳解】的圖象先向左平移個(gè)單位得到，將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，時(shí)，，所以，故，所以的值域?yàn)?20.已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)分類探討確定單調(diào)性；（2）由（1）的結(jié)論分類探討確定最大值點(diǎn)，從而得參數(shù)范圍．【小問1詳解】因?yàn)?，所以．①?dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可知①當(dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增，此時(shí)在上的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值只有可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)，由①②③得，，∴滿意條件的a的取值范圍是．21.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若在單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而參變分別轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值可得結(jié)果；（2）由已知得到問題的等價(jià)不等式對(duì)一切恒成立，進(jìn)而參變分別得到對(duì)一切恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求最值即可.【小問1詳解】解：在單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，需即可，，，則，在單調(diào)遞增，，故；【小問2詳解】由題意，不等式對(duì)恒成立，則對(duì)一切恒成立，，所以，原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立，對(duì)一切恒成立，令，，，令，則對(duì)恒成立，在上單增，又，使，即①，當(dāng)時(shí)，，即在遞減，當(dāng)時(shí)，，即在遞增，，由①，，設(shè)，，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題，可對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而求得參數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分.考生在第22、23兩題中任選一題作答.留意：只能做所選定的題目，假如多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框.22.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的一般方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）利用消參法可求曲線的一般方程，利用可求的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義可求的值.【小問1詳解】由的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得，由曲線的極坐標(biāo)方程為，得，所以直角坐方程為，即.【小問2詳解】曲線的參數(shù)方程（