廣東省清遠市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）

廣東省清遠市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（5分）“雙色球”彩票中有33個紅色球，每個球的編號分別為01,02,-133.一位彩民用隨機數(shù)表

法選取6個號碼作為6個紅色球的編號，選取方法是從下面的隨機數(shù)表中第1行第6列的數(shù)3開始，從

左向右讀數(shù)，則依次選出來的第3個紅色球的編號為（）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.21B.32C.09D.20

2.（5分）-1WXW3是？-2xW0成立的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

3.（5分）命題“若ACBW0,則AWQ或BW0"的逆否命題是（）

A.若AUB=0,則A=0或8=0B.若ACB=0,則A=0且8=0

C.若A=0或B=0,則4ABWAD.若4=0且8=0,則AAB=0

4.（5分）如圖是甲、乙兩位學生在高一至高二七次重大考試中，數(shù)學學科的考試成績（單位：分）的莖

葉圖，若8,x,6的平均數(shù)是x,乙的眾數(shù)是81,設(shè)甲7次數(shù)學成績的中位數(shù)是a,則2的值為（）

y

5.（5分）三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“弦圖”，給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證

明.如圖所示的“弦圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形,

若直角三角形中較小的銳角a=J現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)

O

的概率是（）

A.1-fV34—V3V3

B.一C.-----D.一

244

1111

6.（5分）如圖,給出的是計算5+Z+Z+…+值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)可填入的條件是（）

2016

A.Z>2015?B.Z>2017?C.K2017?D.iW2015?

7.（5分）命題“如果一個四邊形是正方形,那么這個四邊形一定是矩形”及其逆命題、否命題、逆否命

題，這四個命題中假命題的個數(shù)（）

A.0B.2C.3D.4

%—y>0

Ko'-2,若滿足條件的點P（x,y）表示的平面區(qū)域為一個三角

8.（5分）設(shè)變量X,y滿足約束條件

x4-y<a

形，則。的取值范圍是（）

4

A.弓,+8)B.(0,1]

44

C.[1,3]D.(0,1]U[-,+8)

9.（5分）若Fi(-2,0),尸2(2,0),|PF||+|PF2l=〃+：（常數(shù)。>0）,則點尸的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.橢圓或直線

10.（5分）已知直線/力仁平面a,直線〃u平面a,且點AC直線加，點AW平面a,則直線加，〃的位置關(guān)

系不可能是（）

A.垂直B.相交C.異面D.平行

11.（5分）若中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線與拋物線1相切，則雙曲線C的離

心率為（）

5后，5

A.5B.-C.V5D.—

42

12.（5分）在△ABC中，。為AB的中點，點/在線段CO（不含端點）上，且滿足G畝+），晶，若

12

不等式一+->a2+az對/€[-2,2]恒成立，則a的最小值為（）

xy

A.-4B.-2C.2D.4

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）某單位有員工300人，其中女員工有160人，為做某項調(diào)查，擬采用分層抽樣抽取容量為15

的樣本，則男員工應(yīng)選取的人數(shù)是.

x2v2

14.（5分）已知拋物線丁=2px（p>0）的焦點與橢圓h+=1的右焦點重合，則P的值為_______.

62

15.（5分）先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次，則恰好出現(xiàn)一次正面朝上的概率是.

x—y+140

16.（5分）已知實數(shù)滿足％+y-3N0,存在修），使得成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

y-4<0

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（10分）現(xiàn)有某高新技術(shù)企業(yè)年研發(fā)費用投入x（百萬元）與企業(yè)年利潤y（百萬元）之間具有線性相

關(guān)關(guān)系，近5年的年科研費用和年利潤具體數(shù)據(jù)如表:

年科研費用M百12345

萬元）

企業(yè)所獲利潤y23447

（百萬元）

（1）畫出散點圖;

（2）求），對x的回歸直線方程；

（3）如果該企業(yè)某年研發(fā)費用投入8百萬元，預(yù)測該企業(yè)獲得年利潤為多少？

18.（12分）某中學有初中學生1800人，高中學生1200人.為了解全校學生本學期開學以來的課外閱讀

時間，學校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學生進行問卷調(diào)查.將樣本中的“初中學生”和“高

中學生”,按學生的課外閱讀時間（單位：小時）各分為5組：[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,

[40,50],得其頻率分布直方圖如圖所示.

初中生組高中生組

(1)估計全校學生中課外閱讀時間在［30,40)小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)約是多少

(2)從全校課外閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，求抽出的3人中至少有1個高中

生的概率.

19.(12分)在如圖所示的幾何體中，正方形ABEF所在的平面與正三角形ABC所在的平面互相垂直，CD

//BE,且8E=2C￡),M是ED的中點.

(1)求證：A?！ㄆ矫?FM

(2)求面EOF與面4OB所成銳二面角的大小.

20.(12分)設(shè)命題曲關(guān)于x的不等式2'+1〈〃的解集為0；命題q：函數(shù)y=/g(/-x+a)的定義域是

R

(1)若命題"p/\q”是真命題，求實數(shù)4的取值范圍；

(2)設(shè)命題相：函數(shù)的圖象與x軸有公共點，若是「，"的充分不必要條件，求實數(shù)匕

的取值范圍.

久2y2-y3

21.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>b>0)的離心率為一，直線/：x-y+2=0與以原點為圓心、

a2b22

橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線與橢圓C交于A,8兩點，交y軸于點“(0,〃?)，使|。4+2。8|=|。4一20引成立？

若存在，求出實數(shù)機的取值范圍；若不存在，請說明理由.

1

22.(12分)已知/(x)±+Q

(1)若〃>0,對任意在(0,+8),不等式/(%)20恒成立，求。的取值范圍;

(2)若0〈。式可，證明：函數(shù)y=f(x)在(-m+°°)有唯一的零點.

廣東省清遠市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（5分）（2017秋?清遠期末）“雙色球”彩票中有33個紅色球，每個球的編號分別為01,02,-133.一

位彩民用隨機數(shù)表法選取6個號碼作為6個紅色球的編號，選取方法是從下面的隨機數(shù)表中第1行第6

列的數(shù)3開始，從左向右讀數(shù)，則依次選出來的第3個紅色球的編號為（）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A.21B.32C.09D.20

【考點】B2：簡單隨機抽樣.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計；66：數(shù)據(jù)分析.

【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法，依次進行選擇即可得到結(jié)論.

【解答】解：從隨機數(shù)表第1行的第6列的數(shù)字3開始，

按兩位數(shù)連續(xù)向右讀編號小于等于33的號碼依次為

21,32,09,16,17,02；

所以第3個紅球的編號為09.

故選：C.

【點評】本題主要考查了簡單隨機抽樣的應(yīng)用問題，正確理解隨機數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

2.（5分）（2017秋?清遠期末）-1WXW3是7-2xW0成立的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】49：綜合法；59：不等式的解法及應(yīng)用；5L：簡易邏輯.

【分析】由7-2xW0,解得0&W2.即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：由，-2xW0,解得0WxW2.

/.-1WxW3是/-2xW0成立的必要不充分條件.

故選：B.

【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2017秋?清遠期末）命題“若ACBW0,則AWQ或BW0”的逆否命題是（)

A.若AUB=0,則A=0或8=0B.若AC8=0,則A=0且8=0

C.若A=0或B=0,貝ijAClBWAD.若A=0且B=0,則ACB=0

【考點】25：四種命題間的逆否關(guān)系.

【專題】38：對應(yīng)思想；40：定義法；5L：簡易邏輯.

【分析】根據(jù)逆否命題的定義進行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)逆否命題的定義得命題的逆否命題為：若A=0且8=0,則AAB=0,

故選：D.

【點評】本題主要考查四種命題之間的關(guān)系，結(jié)合逆否命題的定義是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

4.（5分）（2017秋?清遠期末）如圖是甲、乙兩位學生在高一至高二七次重大考試中，數(shù)學學科的考試成

績（單位：分）的莖葉圖，若8,x,6的平均數(shù)是x,乙的眾數(shù)是81,設(shè)甲7次數(shù)學成績的中位數(shù)是“，

則士的值為（）

【考點】BA：莖葉圖.

【專題】11：計算題；27：圖表型；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】分別求出x,y的值，從而讀出甲和乙的數(shù)據(jù)，求出。的值即可得解.

【解答】解：若8,x,6的平均數(shù)是x,乙的眾數(shù)是81,

則x=7,y=1,

甲數(shù)據(jù)是：78,79,80,85,87,92,96；

故中位數(shù)a=85,

則士的值為85.

y

故選：C.

【點評】本題考查了考查莖葉圖的讀法，考查平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)的定義，是一道基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2017秋?清遠期末）三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“弦圖”，給出了迄今為止對勾股

定理最早、最簡潔的證明.如圖所示的“弦圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個

邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角a=O現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，

K鏢落在小正方形內(nèi)的概率是（）

V34—^3

B.一C.-----D.亞

244

【考點】CF：幾何概型.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】根據(jù)幾何概率的求法，計算中間小正方形區(qū)域的面積與大正方形面積的比即可.

【解答】解：觀察圖形知，大正方形的邊長為2,面積為4,

陰影區(qū)域的邊長為b-1,面積為4-2次；

所以飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為

?4—2百,73

P=-4-=l-T-'

故選：A.

【點評】本題考查了幾何概率的計算問題，關(guān)鍵是得到兩個正方形的邊長，是基礎(chǔ)題.

1111

6.（5分）（2017秋?清遠期末）如圖,給出的是計算廣1+%+???+麗值的程序框圖,其中判斷框

內(nèi)可填入的條件是（）

A.i>2015?B./>2017?C.iW2017?D.1W2015?

【考點】EF：程序框圖.

【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖.

【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并

輸出S的值.

【解答】解：程序運行過程中，各變量值如下表所示：

第一次循環(huán)：i=2,S=0+1,

第二循環(huán)：=4,S=|+1,

第三次循環(huán)：i=6,S=鼻鼻之

依此類推，第1008次循環(huán)：i=2016,S=義+<+\+…+OoiA,

1-2018,不滿足條件，退出循環(huán)，輸出s的值，

所以以2017或，<2017.

故選：C.

【點評】本題考查了循直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用問題，區(qū)別當型和直到型的關(guān)鍵在于是滿足條件執(zhí)行循環(huán)

還是不滿足條件執(zhí)行循環(huán)，滿足條件執(zhí)行循環(huán)的是當型結(jié)構(gòu)，不滿足條件執(zhí)行循環(huán)的是直到型結(jié)構(gòu)，是

基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2017秋?清遠期末）命題“如果一個四邊形是正方形，那么這個四邊形一定是矩形”及其逆命

題、否命題、逆否命題，這四個命題中假命題的個數(shù)（）

A.0B.2C.3D.4

【考點】25：四種命題間的逆否關(guān)系；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】11：計算題；49：綜合法；5L：簡易邏輯.

【分析】根據(jù)互為逆否命題的兩個命題為真假命題，分別判斷原命題，和逆命題的真假即可.

【解答】解：命題“如果一個四邊形是正方形，那么這個四邊形一定是矩形"，所以原命題正確，同時

逆否命題也正確.

命題的逆命題為：“如果一個四邊形是矩形，那么這個四邊形一定是正方形”.顯然逆命題為假命題，同

時否命題也為假命題.

所以四種命題中假命題的個數(shù)為2個.

故選：B.

【點評】本題主要考查四種命題的真假關(guān)系的判斷，利用互為逆否命題的命題是等價命題，只需證明兩

個命題即可.

rx-y>0

8.（5分）（2017秋?清遠期末）設(shè)變量x,y滿足約束條件?2,若滿足條件的點P（x,y）表示

<%+y<a

的平面區(qū)域為一個三角形，則。的取值范圍是（）

4

A.[-,+8）B.（0,1]

44

C.[1,-]D.（0,1]U[-,+o°）

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5T：不等式.

【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，由圖象可直接讀出。的范圍;

【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，

顯然當0<aWl時，不等式組表示的區(qū)域為三角形；

直線x+y=a經(jīng)過可行域的B時，可行域是三角形，

由松fX—+y、=2可得:B(-2?2

則a-g,

滿足條件的點尸（x,y）表示的平面區(qū)域為一個三角形，

4

則。的取值范圍是：（0,1]U],+8）.

故選：D.

【點評】本題考察了解得的線性規(guī)劃問題，考察數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題.

9.（5分）（2017秋?清遠期末）若乃（-2,0）,F2（2,0）,\PFi\+\PF2\=a+^（常數(shù)a>0）,則點尸的

軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.橢圓或直線

【考點】KK：圓錐曲線的軌跡問題.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】根據(jù)基本不等式推出的范圍，然后結(jié)合橢圓的定義，判斷選項即可.

【解答】解：?＞0,a+：N2ja[=4,當且僅當。=2時取等號；

當。=2時，若Fi（-2,0）,Fi（2,0）,|PFI|+|PF2|=4,則點尸的軌跡是線段,

當a#2,。＞0時，F(xiàn)\（-2,0）,尸2（2,0）,|PQ|+|PF2|=a+（（常數(shù)。＞0），則點P的軌跡是橢圓；

故選：C.

【點評】本題考查軌跡的判斷，橢圓的定義以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查.

10.（5分）（2017秋?清遠期末）已知直線小心平面a,直線"U平面a,且點直線修，點Ae平面a,則

直線m,n的位置關(guān)系不可能是（）

A.垂直B.相交C.異面D.平行

【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】推導出直線〃u平面a,從而直線〃?，〃的位置關(guān)系不可能是平行直線.

【解答】解：???直線平面a,直線〃u平面a,且點AC直線”，點AC平面a,

.'.mC\a=A,

直線孫〃的位置關(guān)系不可能是平行直線.

故選：D.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

11.（5分）（2017秋?清遠期末）若中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線與拋物線f=x-1相

切，則雙曲線C的離心率為（）

5L通

A.5B.-C.V5D.—

42

【考點】KI：圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用雙曲線的漸近線與拋物線相切，聯(lián)立方程組，通過判別式為0,求出a,6關(guān)系然后求解

離心率即可.

【解答】解：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的一條漸近線：y=：x,

可得：卜一2"，消去y可得：b2x^-c^x+a2—0,

（y2=x-1

雙曲線C的漸近線與拋物線y2=x-1相切，△=/-4廿廿=0,可得tz2=4/?2=4c2-4a2,

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.

12.（5分）（2018?北京模擬）在AABC中，D為AB的中點，點F在線段CD（不含端點）上，且滿足

TTT］2c

AF=xAB4-ji4C,若不等式一+一工〃2+”對怎［-2,2］恒成立，則a的最小值為（）

*xy

A.-4B.-2C.2D.4

【考點】6P：不等式恒成立的問題.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)C，F(xiàn),。三點共線可得x,y的關(guān)系，再利用基本不等式解出乙+2的最小值.然后求解

xy

。的范圍，得到a的最小值.

【解答】解：AF=xAB+yAC=2xAD+）成，

因為點尸在線段CO（不含端點）上，所以C,F,。三點共線，

所以2x+y=l且x>0,y>0,

則%+-=（-+-）（2x+y）=4+^+—>4+2fe--=8,

xyxyxyy

當且僅當r=即py=/時，上式取等號，

故工+馬有最小值8,

xy

12

不等式一+->a2+at對/￡［-2,2］恒成立，

xy

就是82次+成對他［-2,2］恒成立,即J+m-gWO對曰-2,2］恒成立,

可得：卜:二。一學?，解得㈣-2,2］.

則a的最小值為-2.

故選:B.

【點評】本題考查了向量共線定理和基本不等式的性質(zhì)，函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）（2017秋?清遠期末）某單位有員工300人，其中女員工有160人，為做某項調(diào)查，擬采用分

層抽樣抽取容量為15的樣本，則男員工應(yīng)選取的人數(shù)是7.

【考點】B3：分層抽樣方法.

【專題】38：對應(yīng)思想；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：由分層抽樣的定義知女員工應(yīng)選取的人數(shù)為罷x15-8,

則抽取的男員工為15-8=7人，

故答案為：7

【點評】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

12y2

14.（5分）（2017秋?清遠期末）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點與橢圓?7+—?=1的右焦點重合，

則p的值為4.

【考點】K1：圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求得雙曲線的a，b,c,可得右焦點，求出拋物線的焦點，解方程可得p=8.

尤2y2____

【解答】解：橢圓一+—=1,a=V6,b-V2,c=V6—2=2,

62

可得右焦點為（2,0）,

拋物線/=2內(nèi)（p>0）的焦點為g,0）,

由題意可得日=2,

2

解得p=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，注意運用雙曲線的基本量的關(guān)系，考查運算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2017秋?清遠期末）先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次，則恰好出現(xiàn)一次正面朝上的概率是:

【考點】CB：古典概型及其概率計算公式.

【專題】38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】根據(jù)題意，用樹狀圖表示將一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋三次的情況，分析可得全部的情況數(shù)目

以及恰好出現(xiàn)一次正面向上的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，用樹狀圖表示將一枚質(zhì)地均勻的硬幣先后拋三次的情況，共8種情況；

如圖所示：

八

正反正反

分析可得恰好出現(xiàn)一次正面向上的有3種情況,

3

則其概率為：-，

8

故答案為：

【點評】本題考查古典概率的計算，注意用列舉法或樹狀圖列舉全部的可能情況并進行分析.

x—y+140

16.（5分）（2017秋?清遠期末）已知實數(shù)x,y滿足x+y—320,存在x,y使得2x+yWa成立，則實

y-4<0

數(shù)a的取值范圍是⑵+8）.

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；49：綜合法；5T：不等式.

【分析】畫出實數(shù)x,），滿足k+丫-320的平面區(qū)域，求出可行域各角點的坐標，然后利用角點法,

（y-4W0

求出目標函數(shù)的最小值，即可得到。的取值范圍.

x—y+140

【解答】解：令z=2x+y,畫出約束條件實數(shù)x,y滿足x+y-320的可行域，

.y-4<0

由可行域知：目標函數(shù)過點8時取最小值，由/二:二:一4可得x=-l，y=4,可得B（-l,4）

時，

z的最小值為:2.

所以要使存在x，y使得2x+）Wa成立，只需使目標函數(shù)的最小值小于等于。即可，所以〃的取值范圍

為心2.

故答案為：［2,+°°）.

X—y+1W0

【點評】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃，其中畫出實數(shù)X,y滿足x+y-3N0的平面區(qū)域，利用

y—4<0

圖象分析目標函數(shù)的取值是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（10分）（2017秋?清遠期末）現(xiàn)有某高新技術(shù)企業(yè)年研發(fā)費用投入x（百萬元）與企業(yè)年利潤y（百萬

元）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，近5年的年科研費用和年利潤具體數(shù)據(jù)如表:

年科研費用x（百12345

萬元）

企業(yè)所獲利潤23447

（百萬元）

（1）畫出散點圖；

（2）求y對x的回歸直線方程；

（3）如果該企業(yè)某年研發(fā)費用投入8百萬元，預(yù)測該企業(yè)獲得年利潤為多少？

【考點】BK：線性回歸方程.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點圖；

（2）求得樣本中心點（亍，歹），利用最小二乘法即可求得），對x的回歸直線方程;

（3）令x=8,代入線性回歸方程，即可預(yù)測該企業(yè)獲得年利潤.

【解答】解：（1）散點圖：

（2）由題意可知，元=1+2+萱4+5=3,

—2+3+4+4+7.

y=-§—=4,

，乙Xiyi=1X2+2X3+3X4+4X4+5X7=71,

"4+9+16+25=55,

根據(jù)公式，可求得,=卑平￡字=1」，

%1xf-5xx

八_A_

a=y—bx=0.7,

故所求回歸直線的方程為，=l.lx+0.7；

（3）令x=8,得到預(yù)測值y=1.1X8+O.7=9.5（百萬元）

答：如果該企業(yè)某年研發(fā)費用投入8百萬元，預(yù)測該企業(yè)獲得年利潤為9.5百萬元.

（百萬元）

【點評】本題考查利用最小二乘法求線性回歸方程，考查散點圖的畫法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.（12分）（2017秋?清遠期末）某中學有初中學生1800人，高中學生1200人.為了解全校學生本學期

開學以來的課外閱讀時間，學校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學生進行問卷調(diào)查.將樣本中的

“初中學生”和“高中學生”,按學生的課外閱讀時間（單位:小時）各分為5組：[0,10）,[10,20）,

[20,30）,[30,40）,[40,50],得其頻率分布直方圖如圖所示.

初中生組高中生組

（1）估計全校學生中課外閱讀時間在[30,40）小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)約是多少

（2）從全校課外閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，求抽出的3人中至少有1個高中

生的概率.

【考點】B8：頻率分布直方圖；CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（1）由直方圖求出初中生中課外閱讀時間在[30,40）小時內(nèi)的學生人數(shù)的頻率為0.2,則學生

人數(shù)為360,高中生中課外閱讀時間在[30,40）小時內(nèi)的學生人數(shù)的頻率為0.3,則學生人數(shù)為360,

由此能估計全校學生中課外閱讀時間在[30,40）小時內(nèi)的總?cè)藬?shù).

（2）抽樣比例為"二。1“=三，則初中生應(yīng)抽取60人,高中生應(yīng)抽取40人，所以在課外閱讀時

間不足10小時的樣本學生中，初中生有3人，記為a,b,c,高中生有2人，記為d,e.從這5人中

任取3人，利用列舉法能求出至少有1個高中生的概率.

【解答】解：(1)由直方圖可知，初中生中課外閱讀時間在［30,40)小時內(nèi)的學生人數(shù)的頻率為:

1-(0.005X2+0.03+0.04)X10=0.2,

則學生人數(shù)為1800X0.2=360,

高中生中課外閱讀時間在［30,40)小時內(nèi)的學生人數(shù)的頻率為:

1-(0.005X2+0.025+0.035)X10=0.3,

則學生人數(shù)為1200X0.3=360,

估計全校學生中課外閱讀時間在［30,40)小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)約是720人.

1001

(2)因為抽樣比例為

1800+120030,

則初中生應(yīng)抽取60人，高中生應(yīng)抽取40人,

所以在課外閱讀時間不足10小時的樣本學生中，初中生有0.005X10X60=3人，記為a,b,c,

高中生有0.005X10X40=2人，記為d,e.

從這5人中任取3人的所有可能結(jié)果為：

(a,b,c)9(小b,d),(a,b,e),(/?,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(a,c,d),(a,c,e),(a,

d,e),(c,d,e)共10個.

其中至少有1個高中生的結(jié)果有：(a,b,d),(a,b,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(〃，c,

d),(a,c,e),(a,d,e),(c,d,e),共9個.

所以至少有1個高中生的概率p=^.

【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、概率、列舉法等基

礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

19.(12分)(2017秋?清遠期末)在如圖所示的凡何體中，正方形ABEF所在的平面與正三角形ABC所在

的平面互相垂直，CD//BE,且BE=2CO,M是匹的中點.

(1)求證：AO〃平面BFM

(2)求面EQF與面AQB所成銳二面角的大小.

【考點】MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】15：綜合題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角.

【分析】(1)連接AE交8F于點N,連接MN,可得MN//AD,再由線面平行的判定可得平面

BFM；

(2)取8c的中點0,連接0M,可得平面ABC,又△ABC是正三角形，則以。為

坐標原點，OA、OB、0M所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系：設(shè)8=1,分別求

出A,B,E,D,F的坐標，然后求出平面EOF與平面AZJB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦

值可得面/與面ADB所成銳二面角的大小.

【解答】(1)證明：連接AE交BF于點N,連接MM

是正方形，是AE的中點，

又M是的中點，.?.MN〃AD,

「AOC平面BFM,MM=平面MM,

AO〃平面BFM；

(2)解：YABEF是正方形，C.BEVAB,

?.?平面ABE/U平面ABC,平面ABEFC平面ABC=AB,

.?.8E_L平面ABC,XCD//BE,

.?.取BC的中點0,連接。何，則平面ABC,

△ABC是正三角形，：.OA±BC,

以。為坐標原點，OA、OB、0M所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

設(shè)C￡>=1,則A(V3,0,0),B(1,0,1),E(0,1,2),D(0,-1,1),F(V3,0,2),

DE=(0,2,1),EF=(V3,-1,0),DA=(V3,1,-1),通=(0,2,-1),

設(shè)面ED尸的法向量為蔡=(x,y,z),

?,(n-EF-V3x-y-0.,V31八

則；-，令z=l,得n=(一不，一千1),

n-DE=2y+z=0

設(shè)面A￡)8的法向量為？n=(%「ylfzQ,

產(chǎn).=氏+%—z】=0,令幻=_],得3T，7,

.m-DB=2yl—z1=0

j、n-m

cos<n,m>=—=

\n\-\n

求面EDF與面ADB所成銳二面角,

.?.平面EDF與平面408所成二面角的平面角為60°.

【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解二

面角的平面角，是中檔題.

20.（12分）（2017秋?清遠期末）設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式》+1<。的解集為0；命題q：函數(shù)y=/g&tf2

-x+a）的定義域是R

（1）若命題"p/\q”是真命題，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）設(shè)命題相：函數(shù)），=/+笈+〃的圖象與x軸有公共點，若是「小的充分不必要條件，求實數(shù)匕

的取值范圍.

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件；2E：復合命題及其真假.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；59：不等式的解法及應(yīng)用；5L：簡易邏輯.

【分析】（1）由題意得p和q均是真命題，由不等式不等式2、+1<”的解集為0；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性可得a的取值范圍.函數(shù)y=/g（ax2-x+a）的定義域是R,得：x6R時，ar2-x+a>0恒成立，可得

fa>°,，解得a范圍.由題意得命題p和命題g均正確，即可得出.

（2）由命題加得：△》（），解得“W3，，由「°是「機的充分不必要條件，得機是。的充分非必要條

件，即可得出.

【解答】解：（1）由題意得p和q均是真命題，

由不等式不等式2、+1〈。的解集為0；得

函數(shù)y=/g（ax2-x+a）的定義域是R,得：x€R時，ax2-x+a>0恒成立，

故片>°,解得a*.

由題意得命題p和命題q均正確，

綜上，a的取值范圍是1].

(2)由命題〃?得：△=y-4aN0,解得aS%2,

由「p是「機的充分不必要條件，得，n是p的充分非必要條件，

1

.?.(一8,A/,2]C(-8,1],

：.-b2<1,

4

:.be(-2,2).

【點評】本題考查了方程與不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

%2V2

21.(12