第五章　萬有引力與宇宙航行 第26課時　萬有引力和相對論　雙基落實課

第26課時萬有引力和相對論[雙基落實課]如圖所示為太陽系的八大行星圖，對于行星的公轉(zhuǎn)運動，判斷下列說法的正誤：（1）八大行星的公轉(zhuǎn)軌道都是圓，太陽位于圓的中心。（×）（2）八大行星的公轉(zhuǎn)是太陽的萬有引力作用的結(jié)果。（√）（3）在同一段時間內(nèi)，地球與太陽的連線掃過的面積一定等于火星與太陽的連線掃過的面積。（×）（4）對于地球繞太陽的公轉(zhuǎn)和月球繞地球的公轉(zhuǎn)，其軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比a3T2是相等的。（考點一開普勒定律的理解和應(yīng)用[素養(yǎng)自修類]1.【開普勒第一定律的理解】（多選）下列說法正確的是（）A.太陽系中的八大行星有一個共同的軌道焦點B.行星的運動方向總是沿著軌道的切線方向C.行星的運動方向總是與它和太陽的連線垂直D.太陽是靜止不動的解析：AB太陽系中八大行星繞太陽運動的軌跡都是橢圓，而太陽位于八大行星橢圓軌道的一個共同焦點上，故A正確；行星的運動軌跡為橢圓，即行星做曲線運動，速度方向沿軌道的切線方向，故B正確；橢圓上某點的切線并不一定垂直于此點與焦點的連線，故C錯誤；太陽并非靜止，它圍繞銀河系的中心不斷轉(zhuǎn)動，故D錯誤。2.【開普勒第三定律的應(yīng)用】火星繞太陽的公轉(zhuǎn)周期約是金星繞太陽的公轉(zhuǎn)周期的3倍，則火星軌道半徑與金星軌道半徑之比約為（）A.2∶1 B.3∶1C.6∶1 D.9∶1解析：A根據(jù)開普勒第三定律得r火3T火2＝r金3T金2，解得r3.【開普勒第二定律的應(yīng)用】如圖所示，哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為r1，線速度大小為v1，加速度大小為a1；在遠日點與太陽中心的距離為r2，線速度大小為v2，加速度大小為a2，則（）A.v1v2＝r2rC.a1a2＝v12解析：A由于哈雷彗星做的不是圓周運動，在近日點做離心運動，在遠日點做近心運動，因此不能通過萬有引力充當向心力計算其在近日點和遠日點的線速度之比，需通過開普勒第二定律求解，設(shè)在極短時間Δt內(nèi)，在近日點和遠日點哈雷彗星與太陽中心的連線掃過的面積相等，即有12v1Δtr1＝12v2Δtr2，可得v1∶v2＝r2∶r1，故A正確，B錯誤；對近日點，根據(jù)牛頓第二定律有GMmr12＝ma1，對遠日點，根據(jù)牛頓第二定律有GMmr22＝ma2，聯(lián)立解得a1∶a21.開普勒定律具有普遍適用性，既適用于行星繞太陽的運動，也適用于月球、衛(wèi)星繞地球的運動等。2.根據(jù)開普勒第二定律可知行星在近日點速度最大，遠日點速度最小。3.開普勒第三定律a3T2＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k考點二萬有引力定律及重力加速度的理解[互動共研類]1.萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F產(chǎn)生兩個作用效果：一是產(chǎn)生重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。2.重力加速度的計算公式（1）地球赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2（2）地球兩極上：GMmR2＝mg（3）地面一般位置：萬有引力GMmR2等于重力mg與向心力F（4）距離地面高度h處：GMm（R＋h結(jié)論：①緯度越高，g值越大；高度越大，g值越小。②由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即GMmR2＝【典例1】假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g。地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。則地球的半徑為（）A.（g0－C.g0T2答案：A解析：在地球兩極，萬有引力等于物體的重力，則有GMmR2＝mg0，在赤道處，萬有引力提供重力及物體做圓周運動的向心力，則有GMmR2－mg＝m4π2RT2，聯(lián)立解得R＝（g01.【用填補法計算萬有引力】如圖所示，一個質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對球外質(zhì)點P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝R2，則原球體剩余部分對質(zhì)點P的萬有引力為（A.12F B.1C.78F D.1解析：C設(shè)球心O點與球外質(zhì)點P的距離為r0，沒挖去前，球體質(zhì)量為m，球外質(zhì)點質(zhì)量為M，挖去部分的質(zhì)量為m0。根據(jù)m＝43πR3ρ，m0＝43πr知，m0＝18m，則沒挖去前，球體對質(zhì)點P的萬有引力F＝GMmr02，挖去的部分對球外質(zhì)點P的萬有引力F'＝GMm0r02＝18F，則球體剩余部分對球外質(zhì)點P的引力F″＝2.【天體表面的重力加速度】火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的110，半徑約為地球半徑的12，則火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值約為（A.0.4 B.2C.3 D.5解析：A根據(jù)萬有引力定律，在天體表面有mg＝GMmR2，解得g＝GMR2，故火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值g火g地＝M火考點三中心天體質(zhì)量和密度的計算[互動共研類]天體質(zhì)量、密度的計算項目使用方法已知量利用公式表達式備注質(zhì)量的計算利用運行天體r、TGMmr2＝M＝4只能得到中心天體的質(zhì)量r、vGMmr2＝M＝rv、TGMmr2＝mv2r，GM＝v項目使用方法已知量利用公式表達式備注質(zhì)量的計算利用天體表面重力加速度g、Rmg＝GMmM＝g—項目使用方法已知量利用公式表達式備注密度的計算利用運行天體r、T、RGMmr2＝mrM＝ρ·43πRρ＝3π當r＝R時，ρ＝3利用近地衛(wèi)星只需測出其運行周期利用天體表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2，M＝43πRρ＝3—【典例2】1789年英國物理學(xué)家卡文迪許測出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個晝夜的時間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時間為T2（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽中心的距離為L2。下列說法正確的是（）A.地球的質(zhì)量m地＝GB.太陽的質(zhì)量m太＝4C.月球的質(zhì)量m月＝4D.由題中數(shù)據(jù)可求月球的密度答案：B解析：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，根據(jù)地球表面萬有引力等于重力，有Gm地mR2＝mg，則m地＝gR2G，故A錯誤；根據(jù)太陽對地球的萬有引力提供向心力，有Gm太m地L22＝m地4π2T22L2，則【特別提醒】（1）利用“借助外援”T、r法計算的質(zhì)量和密度對應(yīng)中心天體，而不是環(huán)繞天體，因為計算過程中環(huán)繞天體的質(zhì)量被約掉了。（2）注意區(qū)別中心天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝43πR3中的R（多選）我國火星探測器已成功登陸火星表面。若探測器到達火星后，在火星表面做了如下實驗：將輕繩一端固定在傳感器上的O點，另一端系質(zhì)量為m且可視為質(zhì)點的小球，如圖所示。把小球拉至與圓心O等高的A點由靜止釋放，小球在豎直平面內(nèi)繞O點做圓周運動，傳感器測出繩子拉力最大值為F。引力常量為G，火星可視為半徑為R的均質(zhì)球體，不考慮火星的自轉(zhuǎn)。下列說法正確的是（）A.火星表面的重力加速度為FB.火星的平均密度為3C.環(huán)繞火星表面運行的衛(wèi)星的角速度為FD.環(huán)繞火星表面運行的衛(wèi)星的速率為FR解析：AC設(shè)繩子的長度為l，從A點運動到最低點由動能定理有mg火l＝12mv2，在最低點由牛頓第二定律有F－mg火＝mv2l，解得g火＝F3m，故A正確；在火星表面有GMmR2＝mg火＝mω2R＝mv2R，ρ＝M43πR3，解得ρ＝F4πGRm考點四相對論[素養(yǎng)自修類]1.【長度收縮效應(yīng)】一艘太空飛船靜止時的長度為30m，它以0.6c（c為光速）的速度沿長度方向飛行越過地球，下列說法正確的是（）A.飛船上的觀測者測得該飛船的長度小于30mB.地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30mC.飛船上的觀測者測得地球上發(fā)來的光信號速度小于cD.地球上的觀測者測得飛船上發(fā)來的光信號速度小于c解析：B飛船上的觀測者測得飛船的長度不變，仍為30m，由l＝l01－vc2＜l0可知，地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30m，A錯誤，B正確；由光速不變原理可知2.【時間延緩效應(yīng)】（多選）接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子鐘，飛船和地球上的人觀測這兩只鐘的快慢，下列說法正確的有（）A.飛船上的人觀測到飛船上的鐘較快B.飛船上的人觀測到飛船上的鐘較慢C.地球上的人觀測到地球上的鐘較快D.地球上的人觀測到地球上的鐘較慢解析：AC相對論告訴我們，運動的鐘會變慢，由于飛船上的人相對飛船上的鐘是靜止的，而觀測到地球上的鐘是高速運動的，因此飛船上的人觀測到飛船上的鐘相對于地球上的鐘快，A正確，B錯誤；同樣，地球上的人觀測到飛船上的鐘是高速運動的，因此地球上的人觀測到地球上的鐘比飛船上的鐘快，C正確，D錯誤。1.兩種時空觀（1）經(jīng)典時空觀空間、時間是獨立于物體及其運動而存在的。（2）相對論時空觀物體占有的空間以及物理過程、化學(xué)過程，甚至還有生命過程的持續(xù)時間，都與它們的運動狀態(tài)有關(guān)。2.狹義相對論的三個有用的結(jié)論（1）運動的時鐘變慢了。（2）運動的尺子長度縮短了。（3）運動的物體質(zhì)量增大了。以上三個結(jié)論均為相對觀察者運動時產(chǎn)生的現(xiàn)象?？键c一開普勒定律的理解和應(yīng)用1.某行星繞太陽運動的軌道如圖所示，則以下說法正確的是（）A.該行星在a點所受太陽的萬有引力比在b、c兩點的都大B.該行星在a點的速度比在b、c兩點的速度都更小C.行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積是不相等的D.行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽在圓心上解析：A根據(jù)F＝GMmr2得該行星在a點所受太陽的萬有引力比在b、c兩點的都大，A正確；根據(jù)開普勒第二定律可知近日點速度大、遠日點速度小，所以該行星在a點的速度比在b、c兩點的速度都更大，B錯誤；由開普勒第二定律得相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積是相等的，C錯誤；由開普勒第一定律可知，太陽一定在橢圓的一個焦點上，行星繞太陽做橢圓運動，2.如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應(yīng)的節(jié)氣，下列說法正確的是（）A.夏至?xí)r地球的運行速度最大B.從冬至到春分的運行時間為公轉(zhuǎn)周期的1C.若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉(zhuǎn)周期，則a3T2＝k，D.太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點上解析：D根據(jù)開普勒第二定律可知，地球與太陽中心連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，根據(jù)S＝12r·vΔt，可知地球在近日點的運行速度最大，在遠日點的運行速度最小，故夏至?xí)r地球的運行速度最小，A錯誤；根據(jù)對稱性可知，地球從冬至到夏至的運行時間為公轉(zhuǎn)周期的12，由于從冬至到春分地球的運行速度大于從春分到夏至地球的運行速度，可知地球從冬至到春分的運行時間小于從春分到夏至的運行時間，故地球從冬至到春分的運行時間小于公轉(zhuǎn)周期的14，B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，所有繞太陽轉(zhuǎn)動的行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，則有a3T2＝k，其中k與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，地球和火星都是繞太陽轉(zhuǎn)動，故地球和火星對應(yīng)的k值相同，C錯誤；根據(jù)開普勒第一定律可知，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處于橢圓的一個焦點上，考點二萬有引力定律及重力加速度的理解3.（2022·全國乙卷14題）2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們（）A.所受地球引力的大小近似為零B.所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C.所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小解析：C航天員在“天宮二號”空間站中可以自由漂浮，是由于航天員在“天宮二號”空間站中處于完全失重狀態(tài)，飛船對航天員的作用力近似為零，所受地球引力大小不為零，選項A、B錯誤；航天員所受地球引力提供航天員隨空間站運動的向心力，即航天員所受地球引力的大小與航天員隨空間站運動所需向心力的大小近似相等，選項C正確；由萬有引力定律可知，航天員在地球表面所受地球引力的大小大于航天員在空間站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天員隨空間站運動所需向心力的大小，選項D錯誤。4.若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足MR＝c22G（其中光速c＝3×108m/s，G為引力常量），A.108m/s2 B.1010m/s2C.1012m/s2 D.1014m/s2解析：C黑洞實際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，設(shè)黑洞表面的重力加速度為g，對黑洞表面某一質(zhì)量為m的物體，有GMmR2＝mg，又有MR＝c22G，聯(lián)立解得g＝c22R，考點三中心天體質(zhì)量和密度的計算5.2022年8月10日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長征六號運載火箭成功將“吉林一號”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定的環(huán)繞地球運動軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異，高度不同，通過測量發(fā)現(xiàn)，它們的軌道半徑的三次方與運動周期的二次方成正比，且比例系數(shù)為p。已知萬有引力常量為G，由此可知地球的質(zhì)量為（）A.2πpG B.4πpG解析：C衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有GMmr2＝mr2πT2，又由開普勒第三定律可知r3＝pT2，聯(lián)立解得M＝6.（2023·遼寧高考7題）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應(yīng)的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（）A.k3T1T22C.1k3T解析：D設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)GMmr2＝m4π2T2r可得Gm地m月r12＝m月4π2T12r1，Gm地m日r22＝m地4π2T22r考點四相對論7.（多選）用狹義相對論的觀點判斷下列說法正確的是（）A.時間和空間都是絕對的，在任何參考系中一個事件發(fā)生的時間和一個物體的長度都不會改變B.在地面上的人看來，以10km/s的速度運動的飛船中的時鐘會變快，但飛船中的宇航員卻認為時鐘是準確的C.在地面上的人看來，以10km/s的速度垂直地面向上運動的飛船在運動方向上會變窄，而飛船中的宇航員卻感覺地面上的人看起來比飛船中的人扁一些D.當物體運動的速度v遠小于c時，長度收縮效應(yīng)和時間延緩效應(yīng)都可以忽略不計解析：CD根據(jù)狹義相對論，時間和空間都是相對的，沒有絕對準確的時間和空間，A錯誤；由Δt＝Δt'1－v2c2知，在地面上看運動的時鐘會變慢，B錯誤；由l'＝l1－v2c2可知兩處的人都感覺l'＜l，C正確8.如圖所示，質(zhì)量與身高均相同的甲、乙兩人分別乘坐速度為0.6c和0.8c（c為光速）的飛船同向運動。則下列說法正確的是（）A.乙觀察到甲身高變高B.甲觀察到乙身高變低C.若甲向乙揮手，則乙觀察到甲動作變快D.若甲向乙發(fā)出一束光進行聯(lián)絡(luò)，則乙觀察到該光束的傳播速度為c解析：D因為人是垂直于飛船速度方向的，豎直方向上沒有長度收縮效應(yīng)，即甲、乙觀察對方時對方的身高不變，A、B錯誤；根據(jù)相對論的時間延緩效應(yīng)，可以推測兩人在高速運動時，相對地球來說時間都變慢了，又v乙＞v甲，因此可以推測，乙觀察到甲動作變慢，C錯誤；根據(jù)光速不變原理，可知乙觀察到該光束的傳播速度仍為c，D正確。9.假設(shè)地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。則地球的密度為（）A.3π（gC.3πGT解析：B在地球兩極萬有引力等于重力，即mg0＝GMmR2，由此可得地球質(zhì)量M＝g0R2G，在赤道處萬有引力與支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得GMmR2－mg＝m4π2T2R，由密度公式ρ10.如圖所示，設(shè)地球是一質(zhì)量分布均勻的球體，O為地心。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。在下列選項圖中能正確描述x軸上各點的重力加速度g的分布情況的是（）解析：A設(shè)地球的密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有mg＝GMmR2，即g＝GMR2，由于地球的質(zhì)量M＝43πR3ρ，所以地球表面重力加速度的表達式可寫成g＝4πGRρ3。根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為R－x處，物體受到地球的萬有引力即為半徑等于x的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，g＝4πG