匯文中學(xué)高三第四次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析_第1頁
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文檔簡介

匯文中學(xué)高三第四次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.的展開式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.2.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)且的圖象恒過定點,則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.4.已知向量,,且與的夾角為,則()A. B.1 C.或1 D.或95.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一6.設(shè)為非零向量,則“”是“與共線”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.8.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.39.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.10.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.11.過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB,且,若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,則雙曲線C的離心率為()A. B. C.2 D.12.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點,為的三等分點(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點是直線上的一點,將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,則直線的方程是______.14.如圖,已知,,為的中點,為以為直徑的圓上一動點,則的最小值是_____.15.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).16.函數(shù)的定義域是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.18.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點,當(dāng)點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.19.(12分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”,有12000人購買了“天貓精靈”,試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.21.(12分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對,恒成立,求的取值范圍.22.(10分)以直角坐標(biāo)系的原點為極坐標(biāo)系的極點,軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動點,,點的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點,直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點為,當(dāng)取最小值時,求直線的普通方程.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當(dāng)時,的展開式中的系數(shù)為.當(dāng),時,系數(shù)為;當(dāng),時,系數(shù)為;當(dāng),時,系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理,掌握二項式定理和多項式乘法是解題關(guān)鍵.2、A【解析】

由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點對稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式,求的值.【詳解】解:由題意可得,求得,或,故選:C.【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和公式,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確;對于選項B:,正確;對于選項C:,故C不正確;對于選項D:,正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.6、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若,則與共線,且方向相同,充分性;當(dāng)與共線,方向相反時,,故不必要.故選:.【點睛】本題考查了向量共線,充分不必要條件,意在考查學(xué)生的推斷能力.7、B【解析】

由可得,所以,故選B.8、A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由得F是弦AB的中點.進(jìn)而得AB垂直于x軸,得,再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因為,所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,所以,即,則,故.故選:C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查,是考查基本知識,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出點坐標(biāo),由于直線與直線垂直,得出直線的斜率為,再由點斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到,則直線與直線垂直,即直線的斜率為所以直線的方程為,即故答案為:【點睛】本題主要考查了求直線的方程,涉及了求直線的交點以及直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.14、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則點,,,設(shè)點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15、【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).16、【解析】解:因為,故定義域為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設(shè)是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點,連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離,結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標(biāo)原點,直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)證明:取中點,連接,因為四邊形為菱形且.所以,因為,所以,又,所以平面,因為平面,所以.同理可證,因為,所以平面.(2)解:由(1)得平面,所以平面平面,平面平面.所以點到直線的距離即為點到平面的距離.過作的垂線段,在所有的垂線段中長度最大的為,此時必過的中點,因為為中點,所以此時,點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標(biāo)原點,直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以平面的一個法向量為,設(shè)平面的法向量為,則即取,則,,所以,所以面與面所成二面角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用,考查了二面角的向量求法,考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運算能力.19、(1)多2350人;(2)有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】

(1)根據(jù)題意,知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”,有12000人購買了“天貓精靈”,估計購買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則,∴估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.(2)由題可知,,∴有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應(yīng)用,考查計算能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)直接代入再由誘導(dǎo)公式計算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因為所以,由得,又因為,故,所以,所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)①當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),,對討論,得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域為,,①當(dāng)時,由得,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時,恒成立,在上單調(diào)遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,令,則,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞減,所以,即,(*)當(dāng)時,,(*)式恒成立,即恒成立,滿足題意法二:由得,,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,當(dāng)時,由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,恒成立,滿足題意當(dāng)時,令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,當(dāng)時,,,使得,當(dāng)時,,即,又,,,不滿足題意,綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題考查對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,不等式恒成立時,求解參數(shù)的范圍,屬于難度題.22、(1),;(2).【解析】

(1)設(shè)點極坐標(biāo)分別為,,由可得,

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