北京第十二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題含解析

北京第十二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某公司的班車(chē)在和三個(gè)時(shí)間點(diǎn)發(fā)車(chē).小明在至之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率是（）A． B． C． D．2．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度3．?dāng)?shù)列1，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．4．一實(shí)體店主對(duì)某種產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量（單位：件）進(jìn)行為期n天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B．中位數(shù)為17C．眾數(shù)為17 D．日銷(xiāo)售量不低于18的頻率為0.55．在等差數(shù)列an中，a1=1，aA．13 B．16 C．32 D．356．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為2的直線在y軸上的截距為（）A． B． C．3 D．57．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為A． B． C． D．8．在正方體中為底面的中心，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．1810．已知：，，若函數(shù)和有完全相同的對(duì)稱軸，則不等式的解集是A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為．12．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________.13．已知直線和，若，則a等于________.14．已知，是第三象限角，則.15．在中，，，面積為，則________．16．已知，則的最小值為_(kāi)______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知圓（1）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；（3）當(dāng)取何值時(shí)，直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦長(zhǎng)．18．經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路汽車(chē)的車(chē)流量（千輛/h）與汽車(chē)的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為：．（1）若要求在該段時(shí)間內(nèi)車(chē)流量超過(guò)2千輛，則汽車(chē)在平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）在該時(shí)段內(nèi)，若規(guī)定汽車(chē)平均速度不得超過(guò)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)，車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？19．已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.20．在中，角所對(duì)的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),，銳角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的值；(Ⅱ)在軸上是否存在定點(diǎn)M，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意得小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)分鐘的總的時(shí)間段，再由比值求得.【詳解】小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)分鐘，則他需在至到，或至到，共計(jì)分鐘，所以概率故選A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，關(guān)鍵找到滿足條件的時(shí)間段，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

試題分析：將函數(shù)的圖象向右平移,可得，故選D．考點(diǎn)：圖象的平移．3、A【解析】

把數(shù)列化為，根據(jù)各項(xiàng)特點(diǎn)寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列…可以化為，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)特點(diǎn)寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.4、B【解析】

由統(tǒng)計(jì)圖,可計(jì)算出總數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),算得銷(xiāo)量不低于18件的天數(shù),即可求得頻率.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖可知,總數(shù),所以A正確;從統(tǒng)計(jì)圖可以看出,從小到大排列時(shí),中間兩天的銷(xiāo)售量的平均值為,所以B錯(cuò)誤;從統(tǒng)計(jì)圖可以看出,銷(xiāo)量最高的為17件,所以C正確;從統(tǒng)計(jì)圖可知,銷(xiāo)量不低于18的天數(shù)為,所以頻率為,所以D正確.綜上可知,錯(cuò)誤的為B故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)中的總數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和頻率的相關(guān)概念和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列an的前5項(xiàng)和為5故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程，再將點(diǎn)斜式方程化為斜截式方程即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為2，故點(diǎn)斜式方程為：，化簡(jiǎn)得：，故直線在y軸上的截距為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線的方程，解題關(guān)鍵是應(yīng)熟知直線的五種方程形式，屬于基礎(chǔ)題,7、B【解析】

由三角函數(shù)的廣義定義可得的值.【詳解】因?yàn)?，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的概念及定義，考查基本運(yùn)算能力.8、B【解析】

取BC中點(diǎn)為M，連接OM，EM找出異面直線夾角為，在三角形中利用邊角關(guān)系得到答案.【詳解】取BC中點(diǎn)為M，連接OM，EM在正方體中為底面的中心，為的中點(diǎn)易知：異面直線與所成角為設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，在中：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何里異面直線的夾角，通過(guò)平行找到對(duì)應(yīng)的角是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】試題分析：由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有21人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為1．24，1．16，所以第一組有12人，第二組8人，第三組的頻率為1．36，所以第三組的人數(shù)：18人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，第三組中有療效的有12人．考點(diǎn)：頻率分布直方圖10、B【解析】

，所以因此，選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意可得：該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長(zhǎng)都為，所以三棱錐的體積.考點(diǎn)：三棱錐的體積公式.12、【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式求解集即可．【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）＝log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查了求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

根據(jù)兩直線互相垂直的性質(zhì)可得，從而可求出的值.【詳解】直線和垂直，.解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線的一般式，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)的值，熟記兩直線垂直系數(shù)滿足：是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知，，化簡(jiǎn)整理得①，又因?yàn)棰?，?lián)立方程①②即可解得：，，又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，?考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.15、【解析】

由已知利用三角形面積公式可求c，進(jìn)而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)正弦定理即可計(jì)算求解.【詳解】，，面積為,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

運(yùn)用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的運(yùn)用求最小值，需要滿足一正二定三相等.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長(zhǎng)公式，求得，根據(jù)斜率分類(lèi)討論，求得直線的斜率，即可求解；（3）由直線，得直線過(guò)定點(diǎn),根據(jù)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可求解．【詳解】（1）由題意，圓的圓心，半徑為，設(shè)，因?yàn)閳A心與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，則，半徑，所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)點(diǎn)到直線距離為，圓的弦長(zhǎng)公式，得，解得，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線的方程為，綜上，直線方程為或（3）由直線，可化為，可得直線過(guò)定點(diǎn),當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又由，可得，此時(shí)最短弦長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的弦長(zhǎng)公式，合理、準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）﹒（2）時(shí)，最大車(chē)流量輛．【解析】

（1）根據(jù)題意，解不等式即可求得平均速度的范圍.（2）將函數(shù)解析式變形，結(jié)合基本不等式即可求得最值，及取最值時(shí)的自變量值.【詳解】（1）車(chē)流量（千輛/h）與汽車(chē)的平均速度之間的函數(shù)關(guān)系式為：．則，變形可得，解得，即汽車(chē)在平均速度應(yīng)在內(nèi).（2）由，、變形可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)汽車(chē)的平均速度，車(chē)流量最大，最大車(chē)流量為千輛/h.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.19、（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】

（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsinxcosx，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，則f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因?yàn)椋缘淖钚≌芷谑牵烧液瘮?shù)的性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點(diǎn)時(shí)，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．20、（1）或；（2）.【解析】試題分析：（1）利用升冪公式及兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)已知等式，可得，從而得，注意兩解；（2）由，得，利用正弦定理得，從而可變?yōu)椋萌切蔚膬?nèi)角和把此式化為一個(gè)角的函數(shù)，再由兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)三角函數(shù)形式，由的范圍（）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．試題解析：（1）由已知，得，化簡(jiǎn)得，故或；（2）∵，∴，由正弦定理，得，