2023-2024學(xué)年天津市一中高一數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年天津市一中高一數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一．選擇題（共12小題）1．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，則復(fù)數(shù)z1?z2的虛部為（）A．﹣i B．﹣1 C．﹣3i D．﹣32．采用簡單隨機抽樣的方法，從含有5個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，某個個體被抽到的概率為（）A． B． C． D．3．某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生1000人，高三年級有學(xué)生800人，現(xiàn)在要用分層隨機抽樣的方法從三個年級中抽取m人參加表演，若高二年級被抽取的人數(shù)為20，則m＝（）A．50 B．60 C．64 D．754．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n B．若m∥n，n?α，則m∥α C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β D．若m⊥α，m⊥n，則n⊥α5．為激發(fā)中學(xué)生對天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識競賽”，并隨機抽取了200名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A．直方圖中x的值為0.035 B．估計全校學(xué)生的平均成績不低于80分 C．估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分 D．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為106．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，“既有正面向上，也有反面向上”的概率為（）A． B． C． D．7．如圖，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（）A． B． C． D．9．從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（）A．“至少有1個紅球”與“都是黑球” B．“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球” C．“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球” D．“都是紅球”與“都是黑球”10．若數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均數(shù)是10，標準差是s，則下列結(jié)論正確的是（）A．m＝2，s＝6 B．m＝2，s＝36 C．m＝4，s＝6 D．m＝4，s＝3611．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中不正確的是（）A．a(chǎn)＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是2 B．在銳角△ABC中，一定有sinA＞cosB C．若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰直角三角形 D．若sinBcosA＞sinC，則△ABC一定是鈍角三角形12．已知正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)棱長為2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值為，則它的外接球表面積為（）A． B．6π C．8π D．二．多選題（共1小題）（多選）13．在棱長為1正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P為線段CC1上異于端點的動點，（）A．三角形D1BP面積的最小值為 B．直線D1B與DP所成角的余弦值的取值范圍為 C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范圍為 D．過點P作平面α，使得正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的取值范圍為三．填空題（共7小題）14．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則b＝．15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為a，b，則事件“|a﹣b|≤1”的概率為．16．某射擊運動員在一次射擊測試中，射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，記這組數(shù)的眾數(shù)為M，第75百分位數(shù)為N，則M+N＝．17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E為AD中點，若，則λ+μ＝．18．已知三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且三個側(cè)面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為；此三棱錐的內(nèi)切球的表面積為．19．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長為1，底面ABC為直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．則二面角B1﹣AC﹣B的大小為；點A到平面BCC1B1的距離等于．20．已知非零向量與滿足，且，點D是△ABC的邊AB上的動點，則的最小值為．四．解答題（共4小題）21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．（Ⅰ）求|++|的值；（Ⅱ）設(shè)向量＝+2，＝﹣2，求向量與夾角的余弦值．22．經(jīng)調(diào)查某市三個地區(qū)存在嚴重的環(huán)境污染，嚴重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強環(huán)境治理，通過三個地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對三個地區(qū)進行分層抽樣，共抽取40名市民進行詢問打分，將最終得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分數(shù)的中位數(shù)；（2）若分數(shù)在區(qū)間[60，70）的市民視為對環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機抽出兩位市民做進一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．23．如圖，四邊形ABCD是矩形，AD＝2，DC＝1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC＝1．點F為線段BE的中點．（I）求證：CE⊥平面ABE；（Ⅱ）求證：DE∥平面ACF；（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．24．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB﹣bcosC＝ccosB，點D在線段BC上．（Ⅰ）若∠ADC＝，求AD的長；（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面積為，求的值．參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，則復(fù)數(shù)z1?z2的虛部為（）A．﹣i B．﹣1 C．﹣3i D．﹣3【解答】解：如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，則Z1＝1+2i，Z2＝﹣2+i，∴復(fù)數(shù)z1?z2＝（1+2i）（﹣2+i）＝﹣2﹣4i+i+2i2＝﹣4﹣3i，∴復(fù)數(shù)z1?z2的虛部為﹣3．故選：D．2．采用簡單隨機抽樣的方法，從含有5個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，某個個體被抽到的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)抽樣原理知，每個個體被抽到的概率是相等的，所以所求的概率值為P＝．故選：D．3．某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生1000人，高三年級有學(xué)生800人，現(xiàn)在要用分層隨機抽樣的方法從三個年級中抽取m人參加表演，若高二年級被抽取的人數(shù)為20，則m＝（）A．50 B．60 C．64 D．75【解答】解：根據(jù)分層隨機抽樣中抽取比例相同，得＝，解得m＝60．故選：B．4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n B．若m∥n，n?α，則m∥α C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β D．若m⊥α，m⊥n，則n⊥α【解答】解：對于A，若m∥α，m∥β，過m作平面與α，β分別交于直線a，b，由線面平行的性質(zhì)得m∥a，m∥b，所以a∥b，又b?β，a?β，所以a∥β，又n?α，α∩β＝n，所以a∥n，所以m∥n．故A正確；對于B，若m∥n，n?α，則m∥α或m?a，故B錯誤；對于C，由面面垂直的性質(zhì)定理得當(dāng)m?a時，m⊥β，否則可能不成立，故C錯誤；對于D，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故D錯誤．故選：A．5．為激發(fā)中學(xué)生對天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識競賽”，并隨機抽取了200名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A．直方圖中x的值為0.035 B．估計全校學(xué)生的平均成績不低于80分 C．估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分 D．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為10【解答】解：對于A，因為（0.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，所以x＝0.03，故A錯誤；對于B，估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?5×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4＝84＞80，故B正確；對于C，因為0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6，所以估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為90分，故C錯誤；對于D，在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為0.010×10×200＝20，故D錯誤．故選：B．6．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，“既有正面向上，也有反面向上”的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8種不同的結(jié)果，既有正面向上，也有反面向上情況：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6種不同的結(jié)果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率為．故選：D．7．如圖，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：取BD中點E，連接ED1，AE，直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P為B1D1的中點，∴PD1∥BE，PD1＝BE，∴四邊形BED1P是平行四邊形，∴PB∥D1E，∴∠AD1E是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補角），令A(yù)B＝AD＝AA1＝2，則∠ADB＝45°，且AE⊥BD，∴AE＝，∵AD1＝2，D1E＝，∴cos∠AD1E＝＝，∵∠AD1E∈（0，π），∴∠AD1E＝，∴直線PB與AD1所成的角為．故選：A．8．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（）A． B． C． D．【解答】解：因為向量，所以向量在向量方向上的投影向量是．故選：A．9．從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（）A．“至少有1個紅球”與“都是黑球” B．“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球” C．“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球” D．“都是紅球”與“都是黑球”【解答】解：從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，對于A，“至少有1個紅球”與“都是黑球”是對立事件，故A錯誤；對于B，恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”，能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，“都是紅球”與“都是黑球”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故D正確．故選：D．10．若數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均數(shù)是10，標準差是s，則下列結(jié)論正確的是（）A．m＝2，s＝6 B．m＝2，s＝36 C．m＝4，s＝6 D．m＝4，s＝36【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)x1、x2、?、xn的平均數(shù)為，標準差為σ，數(shù)據(jù)3x1+1、3x2+1、?、3xn+1的平均數(shù)是10，則，可得，而數(shù)據(jù)x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數(shù)是5，則有，可得m＝2，由方差公式可得＝，＝，解得s＝6．故選：A．11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中不正確的是（）A．a(chǎn)＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是2 B．在銳角△ABC中，一定有sinA＞cosB C．若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰直角三角形 D．若sinBcosA＞sinC，則△ABC一定是鈍角三角形【解答】解：對于A，在△ABC中，設(shè)△ABC的外接圓半徑是R，則根據(jù)正弦定理可得，故A正確；對于B，若△ABC為銳角三角形，可得且，可得，且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以sinA＞cosB，故B正確；對于C：因為acosA＝bcosB，由正弦定理得：sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，因為A，B為△ABC的內(nèi)角，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，若sinBcosA＞sinC，則sinBcosA＞sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB＜0，又sinA＞0，所以cosB＜0，則△ABC一定是鈍角三角形，故D正確．故選：C．12．已知正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)棱長為2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值為，則它的外接球表面積為（）A． B．6π C．8π D．【解答】解：設(shè)正方形ABCD中心為O，取AB中點H，連接PO、PH、OH，則PH⊥AB，OH⊥AB，PO⊥平面ABCD，所以∠PHO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，即，設(shè)正方形ABCD的邊長為a（a＞0），則，又，PA＝2，所以PO2+AO2＝PA2，即，解得或a＝﹣（負值舍去），則，AO＝1，設(shè)球心為G，則球心在直線PO上，設(shè)球的半徑為R，則，解得，所以外接球的表面積．故選：A．二．多選題（共1小題）（多選）13．在棱長為1正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P為線段CC1上異于端點的動點，（）A．三角形D1BP面積的最小值為 B．直線D1B與DP所成角的余弦值的取值范圍為 C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范圍為 D．過點P作平面α，使得正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的取值范圍為【解答】解：對于A，要使三角形D1BP面積的最小，即要使得P到直線BD1距離最小，這最小距離就是異面直線CC1和BD1的距離，也就是直線CC1到平面BDD1B1的距離，等于C到BD的距離為．由于，∴三角形D1BP面積的最小值為，故A正確；對于B，先證明一個引理：直線a在平面M中的射影直線為b，平面M中的直線c，直線a，b，c所成的角的余弦值滿足三余弦定理，直線a，b的角為α，直線b，c的角為β，直線a，c的角為γ，則cosγ＝cosαcosβ．證明：如上圖，在平面M內(nèi)任意取一點O為原點，取兩條射線分別為x，y軸，得到坐標平面xOy，然后從O作與平面M垂直的射線作為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)直線a的方向向量為（x1，y1，z1），則（x1，y1，0）為射影直線b的方向向量，設(shè)直線c的方向向量坐標為（x2，y2，0），則，，∴，＝，引理得證．如上圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知BD1在平面DC1中的射影為CD1，設(shè)BD1與CD1所成的角為，設(shè)直線DP與直線CD1所成的角為．設(shè)直線D1B與DP所成角為γ，根據(jù)上面的引理，可得，故B正確；對于C，如上圖所示，設(shè)AC、BD交點為M，連接A1M，PM，由正方體性質(zhì)易知BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面ACC1A1∴BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥A1M，BD⊥MP，∠A1MP為二面角A1﹣BD﹣P的平面角，當(dāng)P與C1重合時，∠A1MC1＝π﹣2∠A1MA，，∴，∴，P在C1C上從下往上移動時，∠A1MC1逐漸變大，∠A1MC1是可以是直角，其正弦值為1，故C錯誤；對于D，因為過正方體頂點與各棱所成的角都相等的直線是體對角線所在的直線，∴過點P的平面與各棱所成的角相等必須且只需與某一條體對角線垂直，過P與對角線BD1垂直的截面中，當(dāng)P為CC1中點時取得最大值，是一個邊長為的正六邊形，如圖所示，面積為，不在區(qū)間內(nèi)，故D不正確．故選：AB．三．填空題（共7小題）14．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則b＝．【解答】解：由正弦定理，即，解得．故答案為：．15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為a，b，則事件“|a﹣b|≤1”的概率為．【解答】解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點數(shù)分別記為a，b，基本事件總數(shù)n＝6×6＝36，事件“|a﹣b|≤1”包含的基本事件（a，b）有15個，分別為：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），則事件“|a﹣b|≤1”的概率為P＝＝．故答案為：．16．某射擊運動員在一次射擊測試中，射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，記這組數(shù)的眾數(shù)為M，第75百分位數(shù)為N，則M+N＝16．【解答】解：由已知數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為7，即M＝7，將10個數(shù)據(jù)按從小到大排列可得4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因為10×75%＝7.5，所以第75百分位數(shù)為從小到大排列的第8個數(shù)，所以N＝9，所以M+N＝7+9＝16，故答案為：16．17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E為AD中點，若，則λ+μ＝．【解答】解：因為AB∥DC，DC＝2AB，E為AD中點，所以＝＝（+）＝﹣＝若，則λ＝﹣，μ＝﹣2，所以λ+μ＝﹣．故答案為：．18．已知三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且三個側(cè)面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為；此三棱錐的內(nèi)切球的表面積為．【解答】解：①已知三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且三個側(cè)面的面積分別是，，1，如圖所示：即，S△BOC＝1，故AO，BO，CO兩兩垂直；所以BO＝CO，故，整理得CO＝BO＝，所以，解得AO＝，所以三棱錐的外接球的半徑滿足，解得，即R＝，故．②首先利用OC＝OB＝，OA＝，利用勾股定理，BC＝2，所以，利用等體積轉(zhuǎn)換法，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，所以，解得，故．19．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱長為1，底面ABC為直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．則二面角B1﹣AC﹣B的大小為45°；點A到平面BCC1B1的距離等于．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠BAC＝90°，∴CA⊥平面ABB1A1，∴∠B1AB就是二面角B1﹣AC﹣B的平面角．Rt△B1AB中，tan∠B1AB＝＝＝1，∴∠B1AB＝45°．取等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點D，則AD⊥平面BCC1B1，故AD即為所求．故AD＝＝＝，故答案為45°，．20．已知非零向量與滿足，且，點D是△ABC的邊AB上的動點，則的最小值為．【解答】解：分別表示與方向的單位向量，故所在直線為∠BAC的平分線所在直線，又，故∠BAC的平分線與BC垂直，由三線合一得到AB＝AC，取BC的中點E，因為，故，以E為坐標原點，BC所在直線為x軸，EA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，設(shè)，，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．故答案為：．四．解答題（共4小題）21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．（Ⅰ）求|++|的值；（Ⅱ）設(shè)向量＝+2，＝﹣2，求向量與夾角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．∴，∴（Ⅱ）設(shè)向量與的夾角為θ，∵，，∴，，∴cosθ＝＝22．經(jīng)調(diào)查某市三個地區(qū)存在嚴重的環(huán)境污染，嚴重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強環(huán)境治理，通過三個地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對三個地區(qū)進行分層抽樣，共抽取40名市民進行詢問打分，將最終得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分數(shù)的中位數(shù)；（2）若分數(shù)在區(qū)間[60，70）的市民視為對環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機抽出兩位市民做進一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．【解答】解：（1）由題意，5×（0.010