新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題13利用導(dǎo)數(shù)證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（教師版）

專題13利用導(dǎo)數(shù)證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一、多選題1．已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列有關(guān)數(shù)列的敘述正確的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A．計(jì)算出的值，與比較大小并判斷是否正確；B．利用導(dǎo)數(shù)分析的最小值，由此判斷出是否正確；C．根據(jù)與的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；D．構(gòu)造函數(shù)，分析其單調(diào)性和最值，由此確定出，將變形可得，再將變形可判斷結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以單增，所以，因?yàn)?，所以，所以，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以，即，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：（1）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；（2）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.2．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A． B．是的極值點(diǎn)C．存在零點(diǎn) D．在單調(diào)遞增【答案】AD【分析】求出定義域，再求導(dǎo)，計(jì)算即可判斷A，由導(dǎo)函數(shù)，即可判斷選項(xiàng)B、D，由，即可判斷選項(xiàng)C，從而可得結(jié)論．【詳解】由題可知的定義域?yàn)?，?duì)于A，，則，故A正確；對(duì)于B、D，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于C，，故函數(shù)不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．故選：AD．3．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．若，則C．在區(qū)間上的值域?yàn)镈．若函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析解答即可，對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，可得，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，可得，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，最后作出判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：由在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，可得，進(jìn)而作出判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：由三角函數(shù)線可知，所以，，進(jìn)而作出判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：，可得，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得，進(jìn)而可得出函數(shù)在上的單調(diào)性，最后作出判斷.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，由三角函數(shù)線可知，所以，即，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)，，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由三角函數(shù)線可知，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)可得：所以有，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，從而，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)，可先求出其導(dǎo)數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)線的知識(shí)確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最后作出判斷，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.4．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A．曲線在處的切線方程為B．恰有2個(gè)零點(diǎn)C．既有最大值，又有最小值D．若且，則【答案】BD【分析】本題首先可根據(jù)以及判斷出A錯(cuò)誤，然后根據(jù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)性、當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)性、以及判斷出B正確和C錯(cuò)誤，最后根據(jù)得出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可證得，D正確.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，A項(xiàng)：，，則曲線在處的切線方程為，即，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，因?yàn)?，，所以函?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，B正確；C項(xiàng)：由函數(shù)的單調(diào)性易知，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：當(dāng)、時(shí)，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，，同理可證得當(dāng)、時(shí)命題也成立，D正確，故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在某點(diǎn)處的切線求法以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線以及函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)值即切線斜率，若導(dǎo)函數(shù)值大于，則函數(shù)是增函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)值小于，則函數(shù)是減函數(shù)，考查函數(shù)方程思想，考查運(yùn)算能力，是難題.5．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，在處的切線為軸C．當(dāng)時(shí)，在存在唯一極小值點(diǎn)，且D．對(duì)任意，在一定存在零點(diǎn)【答案】AC【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及零點(diǎn)，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)闀r(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，則，，即切點(diǎn)為，切線斜率為，故切線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，因?yàn)?，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在存在唯一極小值點(diǎn)，由，可得，因?yàn)?，所以，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，，令，得，，，則，令，得，則，令，得，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得極小值，極小值為，在的極小值中，最小，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)與無交點(diǎn)，即在不存在零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點(diǎn)、最值，及切線方程的求法，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力，屬于難題.二、單選題6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且，，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件得到，構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件得到函數(shù)為奇函數(shù)且函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇偶性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，得到，利用單調(diào)性求解即可.【詳解】依題意，，故，令，可知，函數(shù)為奇函數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇偶性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，故，故，故?shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.7．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，,,求出此時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)選項(xiàng)的圖象，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.根據(jù)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)C滿足故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.8．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造，由，可得為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】，令，且，則在上單調(diào)遞減.又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.，且代入得，轉(zhuǎn)化為，即由于在上遞減，則，解得：故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用進(jìn)行抽象函數(shù)構(gòu)造，常見類型：（1）利用與的構(gòu)造，常用構(gòu)造形式有：出現(xiàn)“”用，出現(xiàn)“”用；（2）利用與的構(gòu)造，常用構(gòu)造形式有：出現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)；出現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)；9．函數(shù)，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，可得在的單調(diào)性，利用單調(diào)性，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則在為減函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故選：B10．已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求不等式，解不等式即可的答案.【詳解】由，函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，得或（舍去）所以單調(diào)增區(qū)間是故選：A.11．某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)形如的某三次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，得出如下四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論一定是（）A．函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，1)B．函數(shù)在x＝0處有極值C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，2]D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱【答案】D【分析】首先假設(shè)4個(gè)選項(xiàng)都正確，依題意只有一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，即可得到BC都正確，從而求出、的值，【詳解】解：題意對(duì)于A選項(xiàng)，；對(duì)于B選項(xiàng)，；對(duì)于C選項(xiàng)，由遞減區(qū)間可得；因?yàn)橛星覂H有一個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以B、C正確，所以，對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，則有，可賦值得到：當(dāng)x=0時(shí)，，當(dāng)x=1時(shí)，，即可得到解得與解得，顯然有兩個(gè)取值，故D錯(cuò)誤；所以A正確，解得，所以，所以，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，故ABC均正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，若，則關(guān)于成中心對(duì)稱；12．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．

C． D．

【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以排除A、D；令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故排除C，故選：B【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.13．已知偶函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：令,因,故由題設(shè)可得,即函數(shù)在,故,即,所以,故應(yīng)選D.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性方面的運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題將導(dǎo)數(shù)的知識(shí)和函數(shù)的單調(diào)性及不等式的解法等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來,綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題解決問題的能力.求解時(shí),先將巧妙地構(gòu)造函數(shù),再運(yùn)用求導(dǎo)法則求得,故由題設(shè)可得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù).再運(yùn)用檢驗(yàn)的方法逐一驗(yàn)證四個(gè)答案的真?zhèn)?從而使得問題獲解.14．已知函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，且，當(dāng)在上與在上的單調(diào)性相同時(shí)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，可知為上的單調(diào)函數(shù)，設(shè)，利用換元法即可得，進(jìn)而可得為增函數(shù)，即可知也為增函數(shù)，先求得，并令，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定k的取值范圍.【詳解】由函數(shù)沒有零點(diǎn)，即方程無解，則或恒成立，所以為上的單調(diào)函數(shù)，都有，則為定值，設(shè)，則，易知為上的增函數(shù)，∵，∴，又與的單調(diào)性相同，∴在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，∴.所以，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，換元法求函數(shù)解析式，正弦函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.15．函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調(diào)遞增；③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線斜率．【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②正確；則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故①正確；∵在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故③不正確；∵函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于，切線的斜率大于零，故④不正確.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性的步驟為：1.先求出原函數(shù)的定義域；2.對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)；3.令導(dǎo)數(shù)大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間；同理令導(dǎo)數(shù)小于零，得到減區(qū)間；4.若定義域在增區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)單增；若定義域在減區(qū)間內(nèi)則函數(shù)單減，若以上都不滿足，則函數(shù)不單調(diào)．16．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2）＝1，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞1，則不等式的解集為（）A．(-∞，2)∪(2，+∞) B．(-∞，2)∪(0，2)C．(-2，0)∪(2，+∞) D．(-2，0)∪(0，2)【答案】B【分析】設(shè)由奇偶性的定義可判斷該函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出不等式的解集.【詳解】解：設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠟榕己瘮?shù)，即，則，，由，得在上為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；綜上所述，的解集為，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造新函數(shù).17．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)任意，總存在，使得成立，等價(jià)于的值域是值域的子集，只要求出兩函數(shù)在上的值域，列出不等式組可求得答案【詳解】依題意，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．18．若定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則滿足的值（）A．恒小于0 B．恒等于0 C．恒大于0 D．無法判斷【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)恒小于零，得出在內(nèi)是增函數(shù).再由得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而得在內(nèi)是減函數(shù)，由此可得選項(xiàng)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)是增函數(shù).由得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴在內(nèi)是減函數(shù)，.∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，以及由函數(shù)的單調(diào)性比較其函數(shù)的大小關(guān)系，屬于中檔題．19．下列區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，在給定的區(qū)間判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)排除可得答案.【詳解】由已知得，A.當(dāng)時(shí)，，所以，是單調(diào)遞增函數(shù)，錯(cuò)誤；B.時(shí)，，，是單調(diào)遞減函數(shù)，正確；C.時(shí)，，所以，是單調(diào)遞增函數(shù)，錯(cuò)誤；D.時(shí)，，所以，是單調(diào)遞增函數(shù)，錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.20．已知為偶函數(shù)，且，令，若時(shí)，，關(guān)于的不等式的解集為（）A．或 B．C． D．或【答案】C【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，判定時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)奇偶性，得到在上單調(diào)遞減；結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，即可求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)椋?，則不等式可化為，則，即，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查由導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，考查由函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，屬于?？碱}型.21．已知，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，對(duì)求導(dǎo)得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，得出恒成立，從而得出在上恒成立，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系，即可求出的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】解：由題可知，，且的定義域?yàn)椋瑒t，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最大值為：，故恒成立，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，還涉及利用構(gòu)造函數(shù)法解決恒成立問題，考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想.22．若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)一側(cè)的單調(diào)性，確定另一側(cè)的單調(diào)性，再比較分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以時(shí)，也是增函數(shù)，所以，即，并且在分界點(diǎn)處需滿足當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.23．已知f(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)-f(-x)+4x=0.若當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>-2，則不等式f(x-2)-f(x)>4的解集為（）A．(-∞，-1) B．(-∞，1) C．(-1，+∞) D．(1，+∞)【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)，根據(jù)條件得出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再由條件可得，根據(jù)單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)解出不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，由，可得即，所以為偶函數(shù).又，所以在上單調(diào)遞增.由，可得即，即所以，即，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.24．已知函數(shù)，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，再利用函數(shù)奇偶性的定義得到函數(shù)是偶函數(shù)，所以，，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到．【詳解】解：函數(shù)，設(shè)，，則在恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，又，函數(shù)是偶函數(shù)，，，，，而，，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的奇偶性，是中檔題．三、解答題25．函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）2.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，分和兩種情況，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時(shí)，恒成立，可求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，由，可得恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，而，所以恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，可得；由，可得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)楹愠闪?，所以，即，所?設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，故在單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，，所以存在，使得，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)榍覟檎麛?shù)，所以的最大值為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法：（1）討論最值法：先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出含參函數(shù)的最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式的參數(shù)的范圍；（2）分離參數(shù)：先分離參數(shù)變量，再構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最值，從而求出參數(shù)的取值范圍.26．函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，證明：.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】（1）由得到求導(dǎo)由，求解.（2）求導(dǎo)，分，討論求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?①當(dāng)，時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，而，所以恒成立；②，時(shí)，由可得；由可得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，故，所以，從而.綜上，當(dāng)，時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常構(gòu)造函數(shù)φ(x)，將不等式轉(zhuǎn)化為φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的單調(diào)性、最值，判定φ(x)與0的關(guān)系，從而證明不等式.27．函數(shù).（1）若，求的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，并可得的零點(diǎn)，即可求出的單調(diào)性；（2）由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即有兩個(gè)不等實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，結(jié)合題意可得，求出的范圍，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，（），所?設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，則.設(shè)，則由可知，而的對(duì)稱軸方程為，且，所以存在使得，即，且當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增.因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等實(shí)根，所以必有，即.將，代入整理可得.設(shè)，則易得在上單調(diào)遞減，又，所以，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞增可知，即成立，命題得證.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷正負(fù)時(shí)，可構(gòu)造新函數(shù)，并繼續(xù)求導(dǎo)，即可求出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即原函數(shù)的單調(diào)性，考查分析理解，化簡求值的能力，屬中檔題.28．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，得到，為使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，首先，解得，再判斷和時(shí)，函數(shù)都有零點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則首先，即，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，令，，則，，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因此在上單調(diào)遞增，因此，即在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，可得；取且知，故滿足在和各有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：1.直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖像，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想；2.構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問題；3.分離參變量法：即由分離參變量，得，研究直線與的圖像的交點(diǎn)問題.29．已知函數(shù).（1）若a=-2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】（1）由a=-2，求導(dǎo)，再由，求解即可,（2）求導(dǎo)，根據(jù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，得到x1，x2為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，然后結(jié)合韋達(dá)定理得到，再令，用導(dǎo)數(shù)法證明即可.【詳解】（1）f(x)的定義域是.當(dāng)a=-2時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），因?yàn)閒(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，故x1，x2為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，.,令，則，在單調(diào)遞增，故.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常構(gòu)造函數(shù)φ(x)，將不等式轉(zhuǎn)化為φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的單調(diào)性、最值，判定φ(x)與0的關(guān)系，從而證明不等式．30．設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求得，然后可得答案；（2）分、、三種情況討論，每種情況下利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立..若，，不符合條件.若，，.令，得或，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合條件.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，即當(dāng)時(shí)，.綜上所述，的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，一般是利用函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值解決.31．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為.（i）求證：；（ii）當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值.【答案】（1）的增區(qū)間為和；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）求導(dǎo)，令，再利用導(dǎo)數(shù)法研究其正負(fù)即可.（2）（i）設(shè)，(其中)，則的面積，即，由，得到，然后再由及，利用斜率公式得到求解；（ii）由（1）得到為增函數(shù)，則最小最小最小，令，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則.因?yàn)?；，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即.所以當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間和上都是增函數(shù).因此的增區(qū)間為和，沒有減區(qū)間.（2）（i）證明：，設(shè)(其中)，由題意，得的面積，即.由，得，由及，得，所以，故成立.（ii）由（1），得為增函數(shù)，于是最小最小最小.令，則，再令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，，所以存在唯一的，使得，即.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以是的極小值點(diǎn)，也的最小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，等價(jià)于最小，此時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題.32．已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，求的最大?【答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為、；單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）3.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）令和分別可得單調(diào)遞減和遞增區(qū)間；（3）根據(jù)在上的單調(diào)性，結(jié)合；；；以及值域?yàn)榭傻?，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，所以所以切線方程為，即：（2）令，得，令，得或，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為、；單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，且；；；.所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?所以的最大值等于.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第3問根據(jù)在上的單調(diào)性，利用；；；以及值域?yàn)榻忸}是關(guān)鍵.33．如圖，點(diǎn)為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點(diǎn)，與平行，設(shè).（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減??；（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的倍.當(dāng)取何值時(shí)，觀光專線的修建總成本最低？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）時(shí)，觀光專線的修建總成本最低，理由見解析.【分析】（1）先由題意得到，所以，得出觀光專線的總長度，再由導(dǎo)數(shù)的方法判定其單調(diào)性，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)翻新道