湖南省部分學(xué)校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：小題考查集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量，大題考查高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知命題，，則p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}，，則其否定為，.故選：A2.定義集合．已知集合，，則元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中條件，直接進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故的元素的個(gè)數(shù)為4．故選：3.已知函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為，則（）A.的最小值為6 B.的最大值為6C.的最小值為4 D.的最大值為4【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4．故選：C4.已知某公司第1年的銷售額為a萬元，假設(shè)該公司從第2年開始每年的銷售額為上一年的倍，則該公司從第1年到第11年（含第11年）的銷售總額為（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢.萬元 B.萬元 C.萬元 D.萬元【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)第年的銷售額為萬元，依題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，則該公司從第1年到第11年的銷售總額為萬元．故選：D5.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則．又是偶函數(shù)，所以，所以．故選：C.6.設(shè)，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式對(duì)題中條件進(jìn)行化簡，即可求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：7.已知函數(shù)，，則“曲線關(guān)于直線對(duì)稱”是“曲線關(guān)于直線對(duì)稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸的集合，利用兩個(gè)集合的關(guān)系即可判斷.【詳解】令，得，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱．令，得，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱．因?yàn)樗浴扒€關(guān)于直線對(duì)稱”是“曲線關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件．故選：8.對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱都能給人以美感，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．如圖，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A. B.3 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】就和分類討論，后者可根據(jù)對(duì)稱性只需考慮在對(duì)應(yīng)的半圓弧上，前者，后者，而后者可建系處理.【詳解】連接.若，則，若不為零，則，這與題設(shè)矛盾，若為零，則與重合.若，則，設(shè)，故，且三點(diǎn)共線.由對(duì)稱可知只需考慮在對(duì)應(yīng)的半圓弧上.當(dāng)在對(duì)應(yīng)的半圓弧上（除外）時(shí)，總在的延長線上，故此時(shí).當(dāng)在對(duì)應(yīng)的半圓弧上，總在之間，故此時(shí)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí).當(dāng)時(shí)，則，由可得，故.，當(dāng)時(shí)，.綜上，故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與向量的線性表示有關(guān)的最值問題中，如果考慮基底向量前系數(shù)的和的最值，則可利用三點(diǎn)共線構(gòu)造系數(shù)和的幾何意義，這樣便于求最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.最小值為1 B.，C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解AB，由二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解CD.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值1，A正確．因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為1，所以，所以，B錯(cuò)誤．因?yàn)椋?，又，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C正確．因?yàn)椋?，所以，D正確．故選：ACD10.若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.的取值范圍是C.當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29 D.公差d的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于根據(jù)等差數(shù)列的定義求出公差的值，即可求出；又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，根據(jù)，及，即可求出公差的取值范圍，繼而可以判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，公差，，A正確．因?yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，D錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以的取值范圍是，B正確．，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29，C正確．故選：11.若函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則稱為“A函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)是“A函數(shù)”B.已知函數(shù)，的定義域相同，若是“A函數(shù)”，則也是“A函數(shù)”C.已知，都是“A函數(shù)”，且定義域相同，則也是“A函數(shù)”D.已知，若，是“A函數(shù)”，則【答案】BD【解析】【分析】題干給出了“A函數(shù)”的定義，按照定義，判斷函數(shù)是否是“A函數(shù)”，其中一定注意在定義域中恒成立，選項(xiàng)中不正確的舉出反例，正確的嚴(yán)格按照“A函數(shù)”的定義證明即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使得．A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，的定義域相同，若是“A函數(shù)”，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函數(shù)”．B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，不妨取，，，令，則，故不是“A函數(shù)”．C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，是“A函數(shù)”，所以在上恒成立．又，所以，且，即對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，因?yàn)?，所以，即由解得．D正確．故選：BD12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（）A.B.，函數(shù)有極值C.D.，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】法一：構(gòu)造函數(shù)，考查其單調(diào)性，可判斷;利用其單調(diào)性知的大小關(guān)系可判斷；法二：取，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】解法一：設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，D正確．從而，即，因?yàn)?，所以，，所以，故C錯(cuò)誤，A正確．解法二：取，滿足且，則，，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)．故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)向量在向量上的投影向量為，則________．【答案】1【解析】【分析】利用向量在向量上的投影向量計(jì)算公式建立方程，解出即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，則，解得．故答案為：14.若，，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及二倍角公式，和差角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以．故答案為?5.若關(guān)于x的不等式的解集恰有50個(gè)整數(shù)元素，則a的取值范圍是________，這50個(gè)整數(shù)元素之和為________．【答案】①.②.或1625【解析】【分析】討論的范圍，解出不等式，結(jié)合題意確定的范圍及解集中的整數(shù)解，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】不等式等價(jià)于不等式．當(dāng)時(shí)，的解集為，不合題意；當(dāng)時(shí)，的解集為，則50個(gè)整數(shù)解為，，…，5，6，所以，這50個(gè)整數(shù)元素之和為；當(dāng)時(shí)，的解集為，則50個(gè)整數(shù)解為8，9，…，56，57，所以，這50個(gè)整數(shù)元素之和．綜上，a的取值范圍是，這50個(gè)整數(shù)元素之和為或1625．故答案為：；或162516.如圖，已知平面五邊形的周長為12，若四邊形為正方形，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)，則，∵，∴，則，由，得．在中，．記的面積為，則．設(shè)函數(shù)，則，令，得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，取得最大值，則取得最大值，此時(shí)．故答案為：.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法就是先求出函數(shù)的極值，若極值有多個(gè)，則需要比較各極值與端點(diǎn)值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；若函數(shù)只有一個(gè)極大（小）值，則這個(gè)極大（小）值就是函數(shù)的最大（?。┲?四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得，從而求得；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理即可求得的周長.【小問1詳解】因?yàn)?，所以．又，所以．因?yàn)?，所以．又，所以，．【小?詳解】的面積，則．由，得，所以，故的周長為．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為正方形，，E，F(xiàn)，M分別是PB，CD，PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAD．（2）求平面AMF與平面EMF的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PA的中點(diǎn)N，證明后可得線面平行；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【小問1詳解】證明：取PA的中點(diǎn)N，連接EN，DN，因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以，．又底面ABCD為正方形，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形ENDF為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD．【小問2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，．從而，，．設(shè)平面AMF的法向量為，則，令，得．設(shè)平面EMF的法向量為，則，令，得．．故平面AMF與平面EMF的夾角的余弦值為．19.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系作差即可求解，（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．當(dāng)時(shí)，也符合，所以．【小問2詳解】由（1）知．，，則，所以．20.某商場在6月20日開展開業(yè)酬賓活動(dòng)．顧客憑購物小票從6~20這15個(gè)號(hào)碼中依次不放回地抽取2個(gè)號(hào)碼，第1個(gè)號(hào)碼為a，第2個(gè)號(hào)碼為b．設(shè)X是不超過的最大整數(shù)，顧客將獲得購物金額X倍的商場代金券（若，則沒有代金券），代金券可以在活動(dòng)結(jié)束后使用．（1）已知某顧客抽到的a是偶數(shù)，求該顧客能獲得代金券的概率；（2）求X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，再由數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，該顧客能獲得代金券．設(shè)“a是偶數(shù)”為事件A，“”為事件B，則，，所以，所以當(dāng)顧客抽到a是偶數(shù)時(shí)，該顧客能獲得代金券的概率為．【小問2詳解】X可能的取值為0，1，2，3．當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，，若，則．對(duì)每一個(gè)a，b有種不同的取值，則共有種可能的取值．若，對(duì)每一個(gè)a，b有種不同的取值，則共有種可能的取值，所以．當(dāng)時(shí)，．若，則．對(duì)每一個(gè)a，b有種不同的取值，則共有種情況．若，則，共有6種可能的取值．所以．當(dāng)時(shí)，，只有，，這3種情況，所以．所以．21.以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法求解即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量共線探討出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，并確定的坐標(biāo)，再計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，則，由，得，而，于是，，同理，而，于是，則，，令，而是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，得，于是，所以存在和，使得是定值，且定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．22.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1