廣東省培正中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

廣東省培正中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某人射擊一次，設(shè)事件A：“擊中環(huán)數(shù)小于4”；事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于4”；事件C：“擊中環(huán)數(shù)不小于4”；事件D：“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是A．A和B為對(duì)立事件 B．B和C為互斥事件C．C與D是對(duì)立事件 D．B與D為互斥事件2．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為()A． B． C． D．4．已知實(shí)心鐵球的半徑為，將鐵球熔成一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱，則()A． B． C． D．5．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的最長(zhǎng)弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．6．已知中，，，，則B等于（）A． B．或 C． D．或7．已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立,則的取值范圍是()A． B．C． D．8．關(guān)于的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．9．在中，，，，則（）A． B．或 C．或 D．10．《張丘建算經(jīng)》中女子織布問(wèn)題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計(jì)）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.12．據(jù)監(jiān)測(cè)，在海濱某城市附近的海面有一臺(tái)風(fēng)，臺(tái)風(fēng)中心位于城市的南偏東30°方向，距離城市的海面處，并以的速度向北偏西60°方向移動(dòng)（如圖示）.如果臺(tái)風(fēng)侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向與速度不變，那么該城市受臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)______小時(shí).13．已知為鈍角，且，則__________.14．下圖中的幾何體是由兩個(gè)有共同底面的圓錐組成．已知兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）．下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結(jié)論有___________.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）15．弧度制是數(shù)學(xué)上一種度量角的單位制，數(shù)學(xué)家歐拉在他的著作《無(wú)窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長(zhǎng)的度量單位.已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于其半徑長(zhǎng)，則該扇形圓心角的弧度數(shù)是__________．16．已知向量，，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．為迎接世博會(huì)，要設(shè)計(jì)如圖的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左中右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為60000，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸（單位：cm），能使整個(gè)矩形廣告面積最小.18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線截以原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，若直線分別交軸于點(diǎn)和，問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求的面積.20．足球，有“世界第一運(yùn)動(dòng)的美譽(yù)，是全球體育界最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)之一．足球傳球是足球運(yùn)動(dòng)技術(shù)之一，是比賽中組織進(jìn)攻、組織戰(zhàn)術(shù)配合和進(jìn)行射門的主要手段．足球截球也是足球運(yùn)動(dòng)技術(shù)的一種，是將對(duì)方控制或傳出的球占為己有，或破壞對(duì)方對(duì)球的控制的技術(shù)，是比賽中由守轉(zhuǎn)攻的主要手段．這兩種運(yùn)動(dòng)技術(shù)都需要球運(yùn)動(dòng)員的正確判斷和選擇．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球友誼賽，A、B兩名運(yùn)動(dòng)員是甲隊(duì)隊(duì)員，C是乙隊(duì)隊(duì)員，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．現(xiàn)A沿北偏西60°方向水平傳球，球速為10m/s，同時(shí)B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同時(shí)也以10m/s的速度前去截球．假設(shè)球與B、C都在同一平面運(yùn)動(dòng)，且均保持勻速直線運(yùn)動(dòng)．（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，試判斷B能否接到球？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若C改變（1）的方向前去截球，試判斷C能否球成功？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念，進(jìn)行判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，A項(xiàng)中，事件“擊中環(huán)數(shù)等于4環(huán)”可能發(fā)生，所以事件A和B為不是對(duì)立事件；B項(xiàng)中，事件B和C可能同時(shí)發(fā)生，所以事件B和C不是互斥事件；C項(xiàng)中，事件“擊中環(huán)數(shù)等于0環(huán)”可能發(fā)生，所以事件C和D為不是對(duì)立事件；D項(xiàng)中，事件B：“擊中環(huán)數(shù)大于4”與事件D：“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，不可能同時(shí)發(fā)生，所以B與D為互斥事件，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件和對(duì)立事件的概念及判定，其中解答中熟記互斥事件和對(duì)立事件的概念，準(zhǔn)確判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosθ的值，據(jù)此分析可得答案．【詳解】設(shè)與的夾角為θ，由、的坐標(biāo)可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

結(jié)合函數(shù)圖像，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，再由求出的值.【詳解】由圖像可知：,故，又，所以又，故：.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了利用圖像求三角函數(shù)的解析式，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)變化前后體積相同計(jì)算得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了球體積，圓柱體積，抓住變化前后體積不變是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長(zhǎng)弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計(jì)算斜率，并求和.【詳解】由題意得，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和圓的圓心弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.6、D【解析】

根據(jù)題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關(guān)系、內(nèi)角的范圍、特殊角的三角函數(shù)值求出B．【詳解】由題意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sinB，又b＞a，0°＜B＜180°，則B＝60°或B＝120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，以及邊角關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

分別討論和兩種情況下,恒成立的條件,即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),不等式可化為,其恒成立當(dāng)時(shí),要滿足關(guān)于的不等式任意恒成立,只需解得:.綜上所述,的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了含參數(shù)一元二次不等式恒成立問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握含有參數(shù)的不等式的求解,首先需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論,注意分類討論思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，滿足題意，所以可排除選項(xiàng)B、C、A，故選D【點(diǎn)睛】不等式恒成立問(wèn)題有兩個(gè)思路：求最值，說(shuō)明恒成立參變分離，再求最值。9、B【解析】

利用正弦定理求出，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可求出.【詳解】由正弦定理得，得，，，則或.當(dāng)時(shí)，由三角形的內(nèi)角和定理得；當(dāng)時(shí)，由三角形的內(nèi)角和定理得.因此，或.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理求角，解題時(shí)要注意大邊對(duì)大角定理來(lái)判斷出角的大小關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由題可知每天織的布的多少構(gòu)成等差數(shù)列,其中第一天為首項(xiàng),一月按30天計(jì)可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、100【解析】

根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】得【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵．12、1【解析】

設(shè)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)M處的時(shí)間為th，則|PM|＝20t，利用余弦定理求得AM，而該城市受臺(tái)風(fēng)侵襲等價(jià)于AM≤60，解此不等式可得．【詳解】如圖：設(shè)臺(tái)風(fēng)移動(dòng)M處的時(shí)間為th，則|PM|＝20t，依題意可得，在三角形APM中，由余弦定理可得：依題意該城市受臺(tái)風(fēng)侵襲等價(jià)于AM≤60，即AM2≤602，化簡(jiǎn)得：，所以該城市受臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)間為6﹣1＝1小時(shí)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、.【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】由為鈍角，且，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同時(shí)考查了象限角的三角函數(shù)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.14、①③【解析】

由①可知只需求點(diǎn)A到面的最大值對(duì)于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉(zhuǎn)化為到軸截面距離的最大值問(wèn)題進(jìn)行求解對(duì)于③④，可采用建系法進(jìn)行分析【詳解】選項(xiàng)①如圖所示，當(dāng)時(shí)，四棱錐體積最大，選項(xiàng)②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項(xiàng)③和④，如圖所示：以垂直于方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，其中設(shè),.,設(shè)直線BQ與AP所成角為，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，，此時(shí)，由于，，，所以取不到答案選①、③【點(diǎn)睛】幾何體的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題需要結(jié)合動(dòng)態(tài)圖形和立體幾何基本知識(shí)進(jìn)行求解，需找臨界點(diǎn)是正確解題的關(guān)鍵，遇到難以把握的最值問(wèn)題，可采用建系法進(jìn)行求解.15、1【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)和半徑長(zhǎng)為，由弧度制的定義可得，該扇形圓心角的弧度數(shù)是.16、【解析】

根據(jù)的坐標(biāo)表示，即可得出，解出即可．【詳解】，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行向量的坐標(biāo)關(guān)系應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、高200，寬100【解析】

設(shè)廣告矩形欄目高與寬分別為acm,cm整個(gè)矩形廣告面積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)18、（1）；（1）；（3）定值為.【解析】試題分析：（1）求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可求圓的半徑，即可得到圓的方程；（1）設(shè)直線的方程，利用直線與圓相切，及基本不等式，可求長(zhǎng)最小時(shí)，直線的方程；（3）設(shè)，則，求出直線，分別與軸交點(diǎn)，進(jìn)而可求的值．試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為．（1）設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，所以當(dāng)長(zhǎng)最小進(jìn)，直線的方程為．（3）設(shè)點(diǎn)，則，直線與軸交點(diǎn)為，則，直線與軸交點(diǎn)為，則，所以，故為定值1．考點(diǎn)：1.直線和圓的方程的應(yīng)用；1.直線與圓相交的性質(zhì)．19、(1)；(2)【解析】

（1）首先利用正弦定理的邊角互化，可將等式化簡(jiǎn)為，再利用，可知，最后化簡(jiǎn)求值；（2）利用余弦定理可求得，代入求面積.【詳解】（1）由已知以及余弦定理得：所以,（2）由題知，【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查了正弦定理，第二問(wèn)考查了余弦定理和面積公式，當(dāng)一個(gè)式子有邊也有角時(shí)，一般可通過(guò)正弦定理邊角互化轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)恒等變形問(wèn)題，而對(duì)于余弦定理與三角形面積的關(guān)系時(shí)，需重視的變形使用.20、（1）能接到；（2）不能接到【解析】

（1）在中由條件可得，，進(jìn)一步可得為等邊三角形，然后計(jì)算運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間即可判斷；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，作于，求出直線的方程，然后計(jì)算到直線的距離即可判斷．【詳解】（1）如圖所示，在中，，，,,，由題意可知，如果不運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)，可以接到球，在上取點(diǎn)，使得,,為等邊三角形，,，隊(duì)員運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)要，此時(shí)球運(yùn)動(dòng)了.所以能接到球．（2）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，作于，所以直線的方程為：，經(jīng)過(guò)，運(yùn)動(dòng)了．點(diǎn)到直線的距離，所以以為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓與直線相離．故改變（1）的方向前去截球，不能截到球．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的實(shí)際應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，考查了推理與運(yùn)算能力，屬中檔題．21、（1）見(jiàn)解析；（2）.