八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形解答題練習(xí)

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形解答題練習(xí)

一.解答題(共30小題)

1.如圖，已知AC=BD,求證：△ABg/\DCB.

2.如圖，已知△ABC也△FEO,和/尸是對(duì)應(yīng)角，C8和力E是對(duì)應(yīng)邊，AF=8,BE=2.

(1)寫出其他對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角；

(2)判斷4c與。尸的位置關(guān)系，并說明理由.

(3)求AB的長(zhǎng).

3.如圖，在四邊形ABCD中，E為A8的中點(diǎn)，DE//BC,NADE=NECB,

(1)求證：△/1￡：￡)也△EBC；

(2)當(dāng)A8=6時(shí)，求CQ的長(zhǎng).

4.如圖，已知：PA=PB,AC=BD,PC=PD,△P49和△PBC全等嗎？請(qǐng)說明理由.

6.仔細(xì)閱讀下面的解題過程，并完成填空:

如圖，4。為△ABC的中線，已知AO=4a”，試確定4B+AC的取值范圍.

解：延長(zhǎng)AO到E,使。E=4O,連接BE.

因?yàn)锳。為aABC的中線，

所以，

在△ACC和△EBD中，因?yàn)?D=Z)E,NADC=NEDB,CD=BD,所以(SAS).

所以BE=AC().

因?yàn)锳B+BQAE(),

所以AB+AOAE.

因?yàn)锳E=2A￡)=8cvn,所以AB+AC>cm.

E

7.如圖，AABC中，D,E分別是邊AB,AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AP平分NBAC,BP平分N

CBD,求證：CP平分/BCE.

證：過P分別作尸F(xiàn)J_A。，PGLAE,PHA.BC,

；AP平分/BAC(),

JiPFLAD,PGLAE,

(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)，

??"2平分/制。，

且,

：.PF=PH,

：.(),

XVPG1AE,PH1,BC,

:.CP平分NBCE.

E.

AB

8.如圖，。是A6上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)、E,DE=FE,ZB+ZBCF=180°，若AB=4,

CF=2.4,求BO的長(zhǎng).

9.如圖，已知AB=AC,AD=AE,BE=CD.寫出Nl,N2,Z3之間的數(shù)量關(guān)系，并予

以證明.

10.如圖，ZB=10°，NAE￡)=20°，AB=4cm,C為A￡>的中點(diǎn).

(1)求AE的長(zhǎng);

(2)求/BAE的度數(shù).

11.如圖，RtZVICB中，NACB=90°,△ABC的角平分線4。、BE相交于點(diǎn)P,過P作

PP_LAO交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡交AC于點(diǎn)H.

(1)求NAP8的度數(shù)為

(2)證明：AH+BD=AB.

12.如圖，在四邊形A8CC中，/ABC=/AQC=90°,AB^AD.

(1)求證：NEBD=NEDB.

(2)E是AC的中點(diǎn)，若/8芯。=120°,試判斷△BOC的形狀并說明理由.

13.已知，如圖，AC平分NBA。，CELAB,CFA.AD,且CB=C￡>,求證：DF=EB.

(1)若BC=3,CD=5,求AE的長(zhǎng)；

(2)判斷AB與。E所在直線的位置關(guān)系，并說明理由.

15.如圖，在四邊形ABC。中，連接對(duì)角線AC,AF既是△ABC的高又是△ABC的中線,

BE=CD,連接AE,AD=AE.

(1)求證：ZDAC=ZEAB；

(2)若BE平分NC84,NBAC=36°,求NOCA的度數(shù).

16.如圖，已知：AB^CD,AD=BC,EF過8。的上一點(diǎn)。與ZM、BC的延長(zhǎng)線交于E、

F兩點(diǎn).

求證：ZE=ZF.

17.已知：如圖，。是△ABC邊8C上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，ERLA。于尸，且EF

平分/AEB,ZB=ZEAC.求證：

(1)ED=EA；

(2)4。是△48C的角平分線.

18.如圖，已知AQ〃BC,NPAB的平分線與/C8A的平分線相交于E,CE的連線交AP

于D求證：AD+BC=AB.

19.如圖，AO是aABC的高，E為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)8E交AQ于F,且。C=F￡>.AC=BF.

(1)證明：△BFD絲△ACD.

(2)若求AO的長(zhǎng).

A

20.如圖，已知點(diǎn)C是NM4N的平分線上一點(diǎn)，CELAB于E,B、。分別在AM、AN上,

且2AE=AZ)+A8.問：/I和N2有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

21.如圖，點(diǎn)E在C。上，8C與AE交于點(diǎn)尸，AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

(1)求證：AE=CD；

(2)若/2=58°,求/3的度數(shù).

22.如圖，在RlZiABC和RlZ\AOE中，ZABC=ZADE=90°,8c與OE相交于點(diǎn)凡且

AB=AD,AC=AE,連接CQ,EB.

(1)求證：ZCAD^ZEAB；

(2)試判斷CF與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

23.如圖，4,B,。依次在同一條直線上，在AO的同側(cè)作NA=NO=Rf/,AC=BD,Z

ABC=/BED.

(1)求證：CB=BE.

(2)若AC=2,AD=f>,求CE的長(zhǎng).

24.在△ABC中，4B=AC,點(diǎn)。是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，以AD為

一邊在AO的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，且/BAC=90°時(shí)，判斷BO和CE的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系，并說明理由；

(2)設(shè)NB4C=a,ZDC￡=p.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上,NBACN90°時(shí)，請(qǐng)你探究a與。之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

圖2

25.如圖1,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，連接交

BC于F,DF=EF.

(1)求證：BD=CE；

(2)如圖2,連接CD,若NDFB=45°,BC=6,求△BCD的面積.

A

A

圖1圖2

26.如圖1,△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。、E分別在A3、AC上，且B￡>=CE,連接BE、CD

相交于點(diǎn)0.

(1)求證：08=0C；

(2)如圖2,若NA=36°,BE平分/ABC,過點(diǎn)A作4/〃CO交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

直接寫出圖中與EF相等的線段.

圖1圖2

27.如圖，CALAB,垂足為點(diǎn)4,AB=12米，AC=6米，射線垂足為點(diǎn)B,動(dòng)

點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2米/秒沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。為射線3M上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而

運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED=C5,當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過多少秒時(shí)，由點(diǎn)。、E、2組成的三角形與△8C4

全等？

28.已知在平面直角坐標(biāo)系中A(0,2),P(3,3),且PALPB.

(1)如圖1,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Ai位置，8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置，仍保持P4LP81，求。與

-OAi的值.

29.如圖，點(diǎn)。為AABC外一點(diǎn)，連接BD,E為8。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接C。交A8于點(diǎn)F,

過點(diǎn)4作8c的垂線交BC于點(diǎn)O,已知O8=OC,ZABD=ZACD,AML8E于點(diǎn)M,

AN_LC￡>于點(diǎn)N.

(1)求證：△ABM絲△4CN；

(2)求證：D4為/EQC的平分線；

(3)求證：CN=DN+BD.

30.以△ABC的A3、AC為邊作△A3。和△ACE,且AE=AB,AC=AD,CE與BO相交于

M,ZEAB=ZCAD=a.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：△AEC四△ABD；

(2)在圖1中，連接AM,則NEMB=,ZAMC=；(都用含a的代數(shù)

式表示)

(3)如圖2,若a=50°,G、H分別是EC、8力的中點(diǎn)，求N4HG的度數(shù).

參考答案

解答題(共30小題)

1.如圖，已知NAC8=NOBC,AC=BD,求證：△ABC*4DCB.

證明：在△ABC與△OCB中，

'AC=BD

-ZACB=ZDBC-

BC=CB

:AABgADCB(SAS).

2.如圖，已知△ABC絲△FED,NA和NF是對(duì)應(yīng)角，C8和OE是對(duì)應(yīng)邊，AF=8,BE=2.

(1)寫出其他對(duì)應(yīng)邊及對(duì)應(yīng)角；

(2)判斷AC與。F的位置關(guān)系，并說明理由.

(3)求43的長(zhǎng).

解：(1)：△ABC絲△FED,

和/￡是對(duì)應(yīng)角，/C和/。是對(duì)應(yīng)角，AC和FO是對(duì)應(yīng)邊，A8和EE是對(duì)應(yīng)邊;

(2)AC//DF,理由如下：

△AB84FED,

：./4=/尸，

：.AC//DF；

(3)VAABC^AFED,

：.AB=FE,

：.AB-BE=FE-BE,

BPAE=BF,

；AF=8,BE=2,

：.AE+BF=AF-BE=6,

：.AE=3,

：.AB=AE+BE=5.

3.如圖，在四邊形ABC。中，E為AB的中點(diǎn)，DE//BC,NADE=NECB,

(1)求證：△/1￡：￡)也△EBC；

(2)當(dāng)4B=6時(shí)，求CD的長(zhǎng).

(1)證明：:E為AB的中點(diǎn),

：.AE=BE,

'：DE//BC,

：.NAED=NB,

在與△EBC中，

，ZADE=ZECB

-ZAED=ZB，

AE=BE

:.MAED^lXEBC(AAS)；

(2)解：\'DE//BC,

：.ZDEC=ABCE,

?：/\AED^/\EBC,

：.ED=BC,

在△OEC和ABCE中，

'DE=BC

<ZDEC=ZECB)

EC=CE

:.ADEgABCE(SAS),

:.CD=BE,

?.?點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

：.BE=—AB=3,

2

：.CD=BE=3.

4.如圖，已知：PA=PB,AC=BD,PC=PD,△PAO和△PBC全等嗎？請(qǐng)說明理由.

解：理由如下：

'：AC=BD,

：.AC+CD=BD+CD,

BPAD=BC,

在△PA。和△P8C中，

，PA=PB

<AD=BC

PD=PC

:./\PAD空/XPBC(SSS).

5.如圖，Z1=Z2,AB=AE,AC=AD.求證：BC=ED.

證明：；N1=N2,

；.Nl+/EAC=/2+/EAC,

即NBAC=NE4O,

在△ABC和△AE￡)中，

<AB=AE

<ZBAC=ZEAD，

AC=AD

A/\ABC^/\AED(SAS),

：.BC=ED.

6.仔細(xì)閱讀下面的解題過程，并完成填空：

如圖，AO為AABC的中線，已知A￡>=4a〃，試確定AB+AC的取值范圍.

解：延長(zhǎng)AZ)到E,使。E=AQ,連接BE.

因?yàn)?。為AABC的中線，

所以BD=CD,

在△AC。和△EBO中，因?yàn)锳O=￡>E,ZADC=ZEDB,CD=BD,所以MACD9M

EBD（SAS）.

所以BE=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

因?yàn)锳8+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）,

所以4B+4OAE.

因?yàn)锳E=2AO=8C7H,所以A8+4O8cm.

V

E

解：延長(zhǎng)AD到E,使。E=AO,連接BE,

因?yàn)锳O為AABC的中線，

所以

在△ACO和△￡'8。中，AD=DE,ZADC=ZEDB,CD=BD,

所以△AC。9/XEB。（SAS）.

所以BE=AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），

因?yàn)?B+BEA4E（三角形兩邊之和大于第三邊），

所以48+4O4E,

因?yàn)锳E=2AO=8c7n,

所以AB+AC>8cm,

故答案為：BD=CD；△48嶺△E8Z）；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；三角形兩邊之和大于

第三邊；8.

7.如圖，ZVABC中，D,E分別是邊AB,AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AP平分/BAC,BP平分N

CBD,求證：CP平分4BCE.

證：過P分別作PFJ_AO,PGLAE,PH±BC,

；AP平分NBAC（己知）,

J.PFLAD,PGLAE,

PG=PF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），

平分/CB￡）,

且尸一LAD,PH工BC,

；.PF=PH,

：.PG=PH（等量代換）,

PGLAE,PHA.BC,

；.CP平分/BCE.

證明：過P分別作PF_LA￡>,PGLAE,PHVBC,

平分/BAC（已知），

JaPFVAD,PGVAE,

:.PG=PF（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）,

■:BP平分NC2。，

且PFVAD,PHLBC,

：.PF=PH,

：.PG=PH（等量代換），

又：PG_LAE,PHYBC,

，CP平分N8CE.

故答案為：已知；PG=PF；PFYAD,PHLBC；PG=PH；等量代換.

8.如圖，。是AB上一點(diǎn)，。尸交AC于點(diǎn)E,DE=FE,NB+NBCF=180°,若AB=4,

CF=2.4,求BO的長(zhǎng).

解：?.?/8+NBC尸=180°,

：.AB//CF,

：.ZA^ZECF,NADE=4F,

在和中，

'NA=NECF

<ZADE=ZF>

DE=FE

AAAED^ACfF(4AS),

：.AD=CF^2A,

'：AB=4,

：.BD=AB-AO=4-2.4=1.6,

；.B。的長(zhǎng)是1.6.

9.如圖，已知AB=4C,AD=AE,BE=CD.寫出/I,Z2,/3之間的數(shù)量關(guān)系，并予

以證明.

解：Z3=Z1+Z2,

證明：在△ABE和△AC￡>中,

rAB=AC

<AE=AD>

BE=CD

.'.△ABE絲△ACO(SSS),

：.ZBAE=Zl,NABE=N2,

：.Z3=ZBAE+ZABE=ZI+Z2.

10.如圖，XAB8XADE、/B=10°,ZAED=20°,4B=4cvn,C為A。的中點(diǎn).

(1)求AE的長(zhǎng)：

(2)求/54E的度數(shù).

解：(1)△ABC絲△4￡>￡；,ZB=10°,AB=4cm,

：.ZADE=ZB=\O°,ZEAD=ZCAB,AD=AB=4cm,

?點(diǎn)C為A。中點(diǎn)，

.'.AC——AD——X4=2(cm),

22

,,.AE=2cm,

(2)VZAED=20°,ZADE=W°,

...NEAD=180°-ZEAD-ZAED=180°-10°-20°=150°,

...NCAB=150°,

AZBA￡=360°-150°-150°=60°.

11.如圖，RtZ\AC8中，ZACB=90°,AABC的角平分線A。、BE相交于點(diǎn)P,過P作

PFLAO交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡交4c于點(diǎn)H.

(1)求NAPB的度數(shù)為135。；

(2)證明：AH+BD=AB.

⑴解:VZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA^90°,

「△ABC的角平分線A。、2E相交于點(diǎn)尸，

：.ZPAB=—ZCAB,ZPBA=—ACBA,

22

：.ZPAB+ZPBA=—CZCAB+ZCBA}=Z45°,

2

...NAPB=180°-45°=135°,

故答案為：135°；

(2)證明：VZAPB=135",

.?.ZBPD=45°,

\'PF±AD,

：.ZBPF=900+45°=135°,

；尸8平分/ABC,

NABP=NFBP,

在AAPB和△FP3中，

'/ABP=/FBP

-BP=BP，

ZAPB=ZFPB

/\APB^^FPB(SAS),

AP=FP,AB=FB,

YAP平分N8AC,

；.NBAP=NCAP,

：.ZF^ZCAP,

'：PF±AD,

：.NAPH=NFPD,

在和△FP￡>中，

'/APH=/FPD

<AP=FP，

ZCAP=ZF

:.△APHgAFPD(ASA),

：.AH=^FD,

；.AH+BD=FD+BD=BF=AB.

12.如圖，在四邊形A8CQ中，/ABC=/AOC=90°,AB^AD.

(1)求證：ZEBD=ZEDB.

(2)E是AC的中點(diǎn)，若NBEO=120°,試判斷△BZX?的形狀并說明理由.

B

(1)證明：在RtaABC和RtAWC中,

fAC=AC

lAB=AD，

ARtAABC^RtAADC(HL),

：.CB=CD,

.?.點(diǎn)A、點(diǎn)C都在線段8。的垂直平分線上，

直線AC是線段BD的垂直平分線，

:.BE=DE,

：.ZEBD=ZEDB.

(2)解：△BOC是等邊三角形，

理由：'；BE=DE,EA1,BD,NBED=120°,

NAEB=ZAED^—ZBED=60°,

2

VZABC=ZADC=90°,E是AC的中點(diǎn)，

：.BE=DE=AE=—AC,

2

：./\ABE.△AOE都是等邊三角形，

：.ZEAB=ZEAD=60°,

：.ZDAB^ZEAB+ZEAD^]20Q,

：.ZBCD=360°-ZABC-ZADC-ZDAB=60a,

?：CB=CD,

.?.△BDC是等邊三角形.

13.已知，如圖，AC平分NBA。，CELAB,CFVAD,且CB=C力，求證：DF=EB.

證明：「AC平分/B4O,CELAB,CF±AD,

：.CF=CE9NCFD=NCEB=90°,

在RtACFD和RtACEB中，

fCF=CE

1CD=CB，

Z.RtACFD^RtACEB(HL),

：.DF=EB.

14.如圖，AABC且ADEC,點(diǎn)B,C,。在同一直線上，點(diǎn)E在AC上.

(1)若BC=3,CD=5,求AE的長(zhǎng)；

(2)判斷48與OE所在直線的位置關(guān)系，并說明理由.

???BC=CE=3,AC=DC=59

???點(diǎn)E在AC上,

：.AE=AC-EC=5-3=2；

(3)A3與OE所在直線的位置關(guān)系A(chǔ)B，。區(qū)

理由：延長(zhǎng)OE交48于凡

ZVIBC絲△DEC,

=/ACB=NDCE,

：.ZACB+ZDCE=180°,

AZDCE=—XI800=90。,

2

???ZAED=ZA+ZAFE=ZD+ZDCE,

：.ZAFE=ZDCE=90°,

：.AB_LDE,

A

/E

B

15.如圖，在四邊形ABC。中，連接對(duì)角線AC,AF既是aABC的高又是△ABC的中線,

BE=CD,連接4E,AD=AE.

(1)求證：NDAC=NEAB；

(2)若BE平分NC8A,ZBAC=36°,求NOCA的度數(shù).

(1)證明：；AF既是AABC的高又是AABC的中線，

AZAFB=ZAFC=90°,CF=BF,

在△AFC與△AFB中，

'CF=BF

<ZAFB=ZAFC-

AF=AF

AAAFC^AAFB(SAS),

：.AC=AB,

在△ADC與△AEB中，

，AC=AB

?BE=CD)

AD=AE

A/XADC^/XAEB(SSS),

：.ZDAC=ZEAB；

(2)解：?.?NCA8+NACB+NABC=180°,NBAC=36°,

NACB+N4BC=144°,

；△AOCdAEB,

AZACB=ZABC,NDCA=NEBA,

/ABC=N4CB=72°,

平分NC8A,

，/ABE=/NABC=36。，

...NOC4=NA8E=36°.

16.如圖，已知：AB=CD,AD=BC,EF過BD的上一點(diǎn)O與D4、BC的延長(zhǎng)線交于E、

F兩點(diǎn).

求證：NE=NF.

E

證明：在△48。和△C￡(8中

'AB=CD

-AD=BC，

BD=DB

:AABDq/XCDB(SSS),

Z.ZADB=ZDBC,

：.DE//BF.

：.4E=4F.

17.已知：如圖，。是△ABC邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EFLAQ于F,且EF

平分NAEB,NB=NEAC.求證：

(1)ED=EA；

(2)A。是△ABC的角平分線.

NAEF=/DEF,

"：EF±AD,

:.NAFE=NDFE=90°,

在和△/)￡'/中，

'NAEF=NDEF

<EF=EF，

ZAFE=ZDFE

:.△AEFg/\DEF(ASA),

：.EA=ED；

(2)VAAEF^AD￡F,

NADE=NDAE,

?：ZADE=ZB+ZBAD,ZDAE=ZDAC+ZEAC,

：.NB+NBAD=NDAC+NEAC,

'：NB=ZEAC,

：.NBAD=ZDAC,

是△ABC的角平分線.

18.如圖，已知AD〃BC,NPA8的平分線與NC8A的平分線相交于E,CE的連線交AP

于D求證：AD+BC=AB.

證明：如圖，延長(zhǎng)8E交4尸于點(diǎn)F,

'：AD//BC,

：.NAFE=NCBE,

■：ZPAB的平分線與/CBA的平分線相交于E,

ZFAE=ZBAE,ZCBE=NABE,

：.NAFE=NABE,

在△APE和△ABE中，

，ZAFE=ZABE

,ZFAE=ZBAE-

AE=AE

AAAFE^AABE(AAS),

：.FE=BE,AF^AB,

在△￡)￡：/和△CEB中，

'NDFE=NCBE

<FE=BE>

ZFED=ZBEC

：./\DEF^/\CEB(ASA),

:.DF=BC,

：.AD+BC=AD+DF=AF=AB.

19.如圖，AO是△ABC的高，E為AC上一煎，點(diǎn)BE交AD于F,且DC=FD.AC=BF.

(1)證明：/\BFD妥/\ACD.

(2)若求的長(zhǎng).

(1)證明:是ABC的高,

:.NADC=/BDF=90°,

在RtAACD和RtABFD中，

[AC=BF

.,.RtAACD^RtAfiFD(HL)；

(2)解：VRtAACD^RtABFD,

：.AD=BD,

在Rtz^ACQ中，根據(jù)勾股定理得:

AD2+BD2=AB2,

：.2AD2^AB2=(A/14)2,

:.AD=ypj.

20.如圖，已知點(diǎn)C是/MAN的平分線上一點(diǎn)，CEJ_AB于E,B、。分別在AM、AN上,

且2AE=AZ)+AB.問：N1和N2有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

N

_______入

AEBM

解：Z1與N2互補(bǔ).

理由：作CF_LAN于F(如圖)，

VZ3=Z4,CE1.AM,

：.CF=CE,ZCFA=ZCEA=90°,

在RtAACF和RtA/lCE中，

rCF=CE

lAC=AC，

.".RtAACF^RtAACE(HL),

：.AF=AE.

?：AE=—(AD+AB)=—CAF-DF+AE+EB)=AE+—(BE-DF),

222

：.BE=DF,

在△￡>&7和△BEC中，

'CF=CE

<ZCFD=ZCEB，

DF=BE

.?.△OFC絲△BEC(SAS),

；.N5=N2,

VZ1+Z5=18O0,

.,.Zl+Z2=180°.

21.如圖，點(diǎn)E在C。上，8c與AE交于點(diǎn)F,AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

(1)求證：AE=CD；

(2)若N2=58°,求N3的度數(shù).

4

\冰

3\/\

-------￡------、D

(1)證明：VZ1=Z2,

.".ZABE=ZCBD,

在△ABE和△C8O中，

'AB=CB

-ZABE=ZCBD?

BE=BD

:.AABE出ACBD(SAS),

."E=C￡>；

(2)解：由(1)知，AABE注4CBD,

：.ZA=ZC,

"：ZAFB=ZCFE,

；.N1=N3.

.,.N3=/2=58°.

22.如圖，在RtZ\A8C和RtAADE中，ZABC=ZADE=90a,8c與DE■相交于點(diǎn)F,且

AB=AD,AC=AE,連接C￡>,EB.

(1)求證：ZCAD^ZEAB^

(2)試判斷CF與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(1)證明：在RCA8C和RtZXADE中,

AB=AD

AC=AE'

,.RlAABC^RtAADf(HL),

J.ZCAB^ZEAD,

???ACAB-NBAD=ZEAD-/BAD,

：.ZCAD=ZEAB；

(2)解：CF=EF,

理由：連接CE,

??.ZACE=ZAEC,

???RtAABC^RtAADE,

??.ZACB=ZAED1

：.AACE-ZACB=ZAEC-NAED,

：.ZFCE=ZFECf

:.CF=EF.

23.如圖，A,B,。依次在同一條直線上，在AQ的同側(cè)作NA=NO=RfN,AC=BD,Z

ABC=NBED.

(1)求證：CB=BE.

(2)若AC=2,AD=6,求CE的長(zhǎng).

(1)證明：在△ABC和△QE3中，

'/ABONDEB

,NA=ND，

AC=DB

A^ABC^^DEB(AAS),

:.CB=BE；

(2)解：Y△ABg/XDEB,AC=2,

：.AC=BD=29

：.AB=AD-BD=4f

VZA=90°,

BC=VAC2+AB2―V22+42―2V5,

；NABC+NDBE=NDEB+NDBE=90°,

/.ZCB￡=90°,

C￡=VCB2+BE2=V(2V5)2+(2V5)2=2^>

即CE的長(zhǎng)為2m.

24.在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是射線C8上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，以AO為

一邊在的右側(cè)作△4￡)￡使AO=4E,NDAE=/BAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，且NBAC=90°時(shí)，判斷8。和CE的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系，并說明理由；

(2)設(shè)/B4C=a,ZDCE=^.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，/BACW90。時(shí)，請(qǐng)你探究a與0之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

圖2

解：(1)BD=CE,BDLCE,

理由：'：ZDAE=ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZACB=ZB=45°,NBAO=NC4E=90°-ZCAD,

在△A3。和△ACE中,

AB=AC

ZBAD=ZCAE?

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

:.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

AZBCE=ZACB^-ZACE=90°,

：.BDLCE,

(2)a+p=180°,

證明：???ND4E=N84C=a,

AZDAE-ZCAD=ZBAC-ZCAD,

：.ZCAE=ZBAD.

在△CAE和△84。中，

<AE=AD

,NCAE二NBAE，

AC=AB

：.ACAE^ABAD(SAS),

??.ZACE=ZB,

VZB=ZACB,

???ZACE=ZACB.

：.ZB+ZACB=ZACE+ZACB=/DCE=B，

VZBAC+ZB+ZACB=180°,

.\a+p=180°.

25.如圖1,在△ABC中，AB=ACf點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，連接交

BC于F,DF=EF.

(1)求證：BD=CE；

(2)如圖2,連接CO,若NDFB=45°,BC=6,求△5CQ的面積.

A

A

圖1圖2

(1)證明：如圖I,過點(diǎn)。作。G〃AE,交BC于點(diǎn)G,

：./FDG=/E,

在△OG/和中，

<ZDFG=ZEFC

,DF=EF，

ZFDG=ZE

:?4DGF之4ECF(ASA),

:,DG=CE,

9

\AB=ACf

：.ZB=ZACBf

■:DGIIXE,

:?NDGB=NACB,

:?/DBG=/DGB,

:?DG=BD,

:.BD=CE；

A

A

圖2

（2）解：如圖2,過點(diǎn)。作￡>G〃AE,交8c于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作于點(diǎn)兒

,:DB=DG,

:.BH=GH,

由（1）知△OGF絲凡

:.GF=CF,

：.HF^—BC^3,

2

'：DHA_BC,NQF8=45°,

...ADHF是等腰直角三角形,

:.DH=HF=3,

.,.SACOB=/XBC-DH=^-X6X3=9.

26.如圖1,△4BC中，AB=AC,點(diǎn)。、E分別在AB、AC上，且8O=CE,連接BE、CD

相交于點(diǎn)0.

（1）求證：OB=OC；

（2）如圖2,若/A=36°,BE平分NABC,過點(diǎn)A作A尸〃CO交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)片

直接寫出圖中與E/相等的線段.

AA

9

(1)證明：：AB=AC9

：.4ECB=4DBC,

在△Q8C與△ECB中，

'BD=CE

<NDBONECB，

BC=CB

AADBC^AECB(SAS),

???/DCB=NEBC,

：.OB=OC；

(2)與E/相等的線段有：CE,CO,BO,BD,

理由如下：

,.?A5=AC,ZA=36°,

/.ZACB=ZABC=12°,

〈BE平分NA8C,

；?NCBE=NABE=36°,

??.NABE=NBAE=36°,

：.EA=EB,

,:OB=OC,

：.ZOCB=ZCBE=36°,

???NBOC=180°-36°-36°=108°,

：.ZBOD=ZCOE=12°,

VZ0CE=72°-36°=36°,

AZBE0=ZC￡0=180°-72°-36°=72°,

:.BO=BD,CO=CE,

TA尸〃CD,

:./F=4B0D=TT,

VZAEF=ZCEO=72°,

AZF=ZAEF=12°,

在△8CE1和AAE/中，

<ZBEC=ZAEF

,ZBCE=ZF，

期二EA

AABCE^AAEF（A4S）,

：.EC=EF,

:.BO=BD=CO=CE=EF.

???與EF相等的線段有：CE,CO,BO,BD,

27.如圖，CA1.AB,垂足為點(diǎn)A,AB=12米，AC=6米，射線BM_LA5,垂足為點(diǎn)8,動(dòng)

點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2米/秒沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。為射線8M上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而

運(yùn)動(dòng)，且始終保持EO=C&當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過多少秒時(shí)，由點(diǎn)。、E、8組成的三角形與△8C4

解：①當(dāng)E在線段A8上，AC=8E時(shí)，4ACB義MED,

VAC=6,

：?BE=6,

.\AE=2-6=6,

二點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6+2=3（秒）；

②當(dāng)E在BN上,AC=8E時(shí)，

AC=12+6=18,

點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為18+2=9（秒）；

③當(dāng)E在線段A8上，A5=EB時(shí)，/\ACB^/\BDE,

這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為0秒；

④當(dāng)E在BN上，A8=E8時(shí)，△ACB好△8OE,

AE=12+12=24,

點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為24+2=12(秒)，

故當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過0秒或3秒或9秒或12秒時(shí)，由點(diǎn)。、E、B組成的三角形與全等.

28.已知在平面直角坐標(biāo)系中A(0,2),P(3,3),且

(1)如圖1,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到4位置，8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置，仍保持P4LP81，求。與

-OAi的值.

解：(1)如圖，過點(diǎn)P作PMLO8于扭，PNJ_y軸于N,

.?.則四邊形網(wǎng)WON是正方形,

VA(0,2),

；.OA=2,

則四邊形PMON是正方形，

；.NANP=NBMP=/MPN=90°,PN=PM=ON=OM=3,

：.AN=ON-0A=3-2=1,NAPN+NAPM=ZBPM+ZAPM,

ZAPN=ZBPM,

在△PAN和△P8M中，

，ZANP=ZBMP

<PN=PM，

ZAPN=ZBPM

.'.△PAN絲△P8M(ASA),

：.PA=PB,BM=AN=1,

OB=OM+BM=3+1=4,

:.B(4,0)；

(2)由(1)得PA=PB,

又?.?/APB=/AiP8i=90°,

：.NAPAi=NBPBi，

VZPAO+ZPBO=36G0-ZAOB-ZAPB=360°-90°-90°=180°,ZPBBx+Z

PBO=180°,