初中數(shù)學(xué)競賽專家講座：數(shù)與代數(shù)式

目錄

第1講數(shù)軸與絕對值....................................................................2

第2講有理數(shù)計(jì)算.......................................................................7

第3講實(shí)數(shù)的性質(zhì)......................................................................11

第4講進(jìn)位制與新定義運(yùn)算..............................................................14

第5講代數(shù)式化簡與求值................................................................18

第6講整式乘除........................................................................22

第7講乘法公式........................................................................25

第8講綜合除法、余數(shù)定理.............................................................29

第9講因式分解技巧....................................................................33

第10講因式分解應(yīng)用...................................................................37

第11講分式化簡、求值...............................................................40

第12講分式運(yùn)算.......................................................................44

第13講二次根式.......................................................................48

第1講數(shù)軸與絕對值

范例精講

[例1]下列選項(xiàng)，()的解集如圖1-1所示。

-7—1

圖1-1

A.|x-4|<3B.|x-4|>3.|x+4|<3D.|x+4]>3

【例2】如果|m-3|+(〃+2)2=0,則方程3〃?x+l=x+〃的解是o

【例3】|x+l|+|x—2|+|x—3|的最小值時(shí)是多少?

1

【例4】(1)已知|"—2|+|〃—2|=0,求’+——!-----F——+------------

b。(他@3b+(〃四部b+

的值。

(2)設(shè)a,b,c為整數(shù)，且|a-b|+|c-a|=l,求|c一〃|+|。一。|+|〃一。|的值。

【例5]閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：

x(x>0),

我們知道|x|=0(x=0),,現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化

-x(x<0).

筒代數(shù)式|x+l|+|x-2|時(shí)，可令x+1=0和元-2=0,分別求得％=-1和x=2(稱-1,2分別

為|x+l|與|工-2|的零點(diǎn)值)。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x=-1和x=2可將全體有理數(shù)分成不重

復(fù)且不遺漏的如下三種情況：①元<-1;②(3)x>2o從而化簡代數(shù)式|x+l|+|x-2|

可分以下三種情況：

(1)當(dāng)x<—1時(shí)，原式=—(x+1)—(x—2)=-2x+1；

(2)當(dāng)-lWx<2時(shí)，原式=%+1—*-2)=3；

(3)當(dāng)xN2時(shí)，原式=1+1+工一2=21一1。

2

—2.x+1(x<—1),

綜上討論，原式=<3(-l<x<2),

2x-\(x>2).

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

(1)分別求出|x+2|和|x-4|的零點(diǎn)值;

(2)化簡代數(shù)式|x+2|+|x-4|。

【例6】(1)閱讀下面材料：

點(diǎn)A,3在數(shù)軸上分別表示數(shù)a,瓦且A,2兩點(diǎn)之間的距離表示為|A8|。當(dāng)A,8兩點(diǎn)

中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)4在原點(diǎn)，如圖1-2(1)所示，|A8|=|08R"=|4-6|。當(dāng)4,B兩

點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：

①圖1-2(2)所示，點(diǎn)A,B都在原點(diǎn)的右邊，|A8|=|O8|-|OA|=|/——。=|“一勿；

②如圖1-(3)所示，點(diǎn)4,B都在原點(diǎn)的左邊，\AB\^OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-(ra)^a-h\；

③如圖1-2(4)所示，點(diǎn)A,B在原點(diǎn)的兩邊，|48|=|。4|+|08|=|。1+1。1=。+(-。)=1。一。1。

綜上，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)之間的距離|AB|=|a-〃|。

D/082

把Ao

-??0

TA"O力

0(3(

圖1-2

(2)回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是

,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；

②數(shù)軸上表示x和-1的A和B兩點(diǎn)之間的距離是,如果|AB|=2,那么x為；

③當(dāng)代數(shù)式|x+11+1x-21取最小值時(shí)，相應(yīng)的x取值范圍是；

④試求|x-l|+|x-2|+|x-3|++1工-1997|的最小值。

賽題訓(xùn)練

1.|x+l|+|x-l|的最小值是()

3

A.2B.0C.1D.-1

2.如果實(shí)數(shù)mb,c在數(shù)軸上的位置如圖1-6所示，那么代數(shù)式+而彳+l〃+c|可

以化簡為（）

1?____?____??

ba0c

圖1-6

A.2c-aB.2a-2bC.-aD.a

3.如圖1-7所示，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位、點(diǎn)A,B,C,。對應(yīng)的數(shù)分別

是要數(shù)a,h,c,d,且d-2a=10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（）

ABCD

圖1-7

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)、C.C點(diǎn)D.。點(diǎn)

4.如圖1-8所示，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE=EF,則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近

的整數(shù)是（）

ABCDEF

1I_________I_________111一

-5II

圖1-8

A.-1B.0C.1D.2

5.一滴墨水灑在一個(gè)數(shù)軸上，根據(jù)圖1-9中標(biāo)出的數(shù)值，可以確定墨跡蓋住的整數(shù)有（）

圖1-9

A.285個(gè)B.285個(gè)C.287個(gè)D.288個(gè)

6.某足球?qū)W校有3位教練帶著學(xué)員一起胞步，如果學(xué)員每2人一行，那么最后一行只有1人；如果

學(xué)員每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教練和學(xué)員合解來部5人一行，那么剛好可以路成

一個(gè)方陣，已知學(xué)員人數(shù)均為250,那么跑步的人有（）

A.230人B.250人C.260人D.280人

7.已知S=|x-2|-4|x|+|x+2|,且-14x42,則S的最大值與最小值的差是。

2

8.已知a,b,c,d都是整數(shù)，且|a+b|+|/2+c|+|c+d|+|d+a|=2,則|a+d|=（,

9.己知y=|x-b|+|x-20|+|x-6-20],其中0<8<20,h<x<20,那么y的最小值為。

10.（1）整數(shù)a,b,c,d滿足a=2b+8,b=3c-18,c=5J+10,則|d+7al的最小值為。

4

(2)設(shè)由1到8的自然數(shù)寫成的序列4外,,為，貝I

&一生1+1%-。31+143-441+1%-“51+145-a61+14-/1+1%-%l+lg+4I的最大值為

________O

11.(1)已知|x|=5,|y|=l,那么||x-y|-|x+y||=。

(2)非零整數(shù)神，“滿足|川+|川-5=0,所有這樣的整數(shù)組(m,n)共有組。

12.(1)數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是-2,且A,B兩點(diǎn)的距離為3,那么點(diǎn)3對應(yīng)的

數(shù)是o

(2)點(diǎn)A,B分別是數(shù)-3,-1在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)，使線段48沿?cái)?shù)軸向右移動到次夕，且線段4c

2

的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是3,則點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)A移動的距離是0

13.已知數(shù)軸上有A,2兩點(diǎn)，A,8之間距離為1,A與原點(diǎn)。的距離為3,求所有滿足條件的點(diǎn)8

與原點(diǎn)。的距離的和。

14.如圖1-10所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對應(yīng)的數(shù)a,b,c都不為0,且C是AB的中點(diǎn)，如

果|a+。|-1a-2c,|+1-2c,|-1a+/?-2cl=0,試確定原點(diǎn)O的大致位置。

ACB

111?

acb

圖i-io

15.在數(shù)軸上把坐標(biāo)為1,2,3,…，2006的點(diǎn)稱為標(biāo)點(diǎn)。一只青蛙從點(diǎn)1出發(fā)，經(jīng)過2006次跳動

后回到出發(fā)點(diǎn)，那么該青蛙所跳過的全部路徑的最大長度是多少？說明理由。

16.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某一點(diǎn)K。,第一步從K。向左跳1個(gè)單位到&,第二步由風(fēng)向右跳2個(gè)

單位到(，第三步由(向左跳3個(gè)單位到K、，第四步由(向右跳4個(gè)單位到…，按以上規(guī)

律跳了100步后，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)K“,0所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤的初始位置(

點(diǎn)所表示的數(shù)。

17.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+，+c=2,abc=4o

5

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求la求|以+?的最小值。

6

第2講有理數(shù)計(jì)算

范例精講

【例1】方程|X-2|+|X-3|=1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.多于3個(gè)

r111—\—?jiǎng)t與A最接近的正整數(shù)是（

【例2】設(shè)A=48x2+2)

|^3-44-41002-4j

A.18B.20C.24D.25

13￡-4-5+6—7

d弓一嗎卜（35）1123A2-I

【例3】4710子—x—x[(-4.)2+41=

1322311

3--9-+13-

275

【例4】計(jì)算：(-0.25)4X(-83)+卜3；)--J1X(-6.5)+(-2)4^(-6)

【例5】化簡999x999+1999。

“個(gè)〃個(gè)〃個(gè)

賽題訓(xùn)練

1.將。=3?2,h=4'4,c=9'°,d=8">由大到小的排列順序是（）

A.a>c>d>bB.a>c>b>dC.c>d>b>aD.a>b>c>d

2.在以2,3,5,10,…開始的數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前面各項(xiàng)之和。這一數(shù)列的第10

項(xiàng)是（）

A.47B.170C.640D.1280

3.算式13X2=26中的各數(shù)字重新排列后可形成16X2=32和31X2=62兩個(gè)算式。下列算式，不能

再重排而得到另外的正確算式的是（）

A.12x3=36B.12x7=84C.26x3=78D.16x3=48

4.張阿姨準(zhǔn)備在某商場購買一件衣服、一雙鞋和一套化妝品，這三件物品的原價(jià)和優(yōu)惠方式下表所

示：

7

欲購買的衣服原價(jià)（元）優(yōu)惠方式

一件衣服420每付現(xiàn)金200元，返購物券200元，且付款時(shí)可以使用購物券

一雙鞋280每付現(xiàn)金200元，返購物券200元，但付款時(shí)不可以使用購物券

一套化妝品300付款時(shí)可以使用購物券，但不返購物券

請幫張阿姨分析一下，選擇一個(gè)最省錢的購買方案，此時(shí)，張阿姨購買這三件物品實(shí)際所付出

的錢的總數(shù)為（）

A.500元B.600元C.700元D.800元

設(shè)S-2491222

5.H-----=--+-+-4-H---則S-T等于（

1x33x55x797x9935799

8.乒乓球比賽結(jié)束后，將若干個(gè)兵乓球發(fā)給優(yōu)勝者。取其中的一半加半個(gè)發(fā)給第一名；取余下的一

半加半個(gè)發(fā)給第二名；又取余下的一半加半個(gè)發(fā)給第三名；再取余下的一半加半個(gè)發(fā)給第四名；最

后取余下的一半加半個(gè)發(fā)給第五名，兵乓球正好全部發(fā)完。這些乒乓球共有。

9.按如圖2-1所示的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x"到''結(jié)果是否＞487?”為

一次操作，如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是。

圖2-1

10.如圖2-2所示，在3X3的方格表中填入九個(gè)不同的正整數(shù)：1,2,3,4,5,6,7,8和x,使

得各行、各列所填的三個(gè)數(shù)的和都相等，請確定x的值，并給出一種填數(shù)法。

圖2-2

11.出租車司機(jī)小李某天下午的營運(yùn)全是在東西走向的人民大道上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向

8

西為負(fù)，他這天下午的需運(yùn)情況依次為(單位:千米):+15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,-15,+16,

-18。

(1)將最后一名乘客送到目的地時(shí)，小李距離下午出車地點(diǎn)的距離是千米;

(2)若汽車耗油量為a升/千米，則這天下午汽車共耗油升。

12.請你閱讀“龜兔賽跑新傳”比需規(guī)程，解答問題。

賽程：全程5.2千米；

限速：兔子每小時(shí)跑20千米，烏龜每小時(shí)跑3千米；

跑法：烏龜不停地跑；但兔子卻邊跑邊玩，它先跑了1分鐘然后玩15分鐘，又跑2分鐘然后玩15

分鐘，又跑了3分鐘然后玩15分鐘，再跑4分鐘然后玩15分鐘……

通過計(jì)算說明：

(1)它倆誰光到達(dá)終點(diǎn)？

(2)先到達(dá)終點(diǎn)的比后到終點(diǎn)的要快多少分鐘？

13.“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)?！边@是有理數(shù)的減法法則，在生活中應(yīng)用這個(gè)法則還

有一定的教育意義呢！請你編一個(gè)與此有關(guān)的富有教育意義的情景對話。

說明：答案不唯一。(只要情景對話積極、健康、能將法則嵌人得比較自然，又有教育意義即可。)

14.在正整數(shù)A的右邊添上3個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)新數(shù)，這個(gè)新數(shù)等于從1到A的所有正整數(shù)之和,

求Ao

15.沿圓周按順序依次寫下從1至N(N>2)的正整數(shù)，同時(shí)每對相鄰的兩個(gè)數(shù)，按十進(jìn)制數(shù)表示法,

它們至少有1個(gè)數(shù)字相同，求N的最小值。

9

16.計(jì)算:

(1)5.7xO.(X)O36-(0.19x0.006-5700x0.000000164)o

「7-2-37哈礙-5

(2)17——+27----11——

271739

1

(3)1+—+4-d-----------------------------------

1+21+2+31+2+3++100

17.有人編了一程序：從1開始，交錯(cuò)地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次

加法將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3；每次乘法將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3。例如，30可以這樣得

至1J：1458510-301—.

請你按上述要求，求證：

(1)可以得到22。

(2)可以得到2'°°+2"-2o

10

第3講實(shí)數(shù)的性質(zhì)

范例精講

【例1】己知a=5/2—1,Z?=G-夜,c=\/6—2,那么a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<h<cB,a<c<bC.h<a<cD.b<c<a

【例2】若a,6滿足3G+5|勿=7,則S=2&-3|勿的取值范圍是。

【例3】(1)已知mb為有理數(shù),x,y分別表示5-S的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足叼，+⑥？=1,

求4+Z?的值。

(2)設(shè)X為一實(shí)數(shù)，［X］表示不大于X的最大整數(shù)，求滿足［-77.66力=［-77.66］無+1的整數(shù)X的值。

【例4】已知在等式竺心=5中，a,b,c,d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答:

cx+d

(1)當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；

(2)當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí)，s是無理數(shù)。

【例5］［x］表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，令{x}=x-［x］。

(1)找出一個(gè)實(shí)數(shù)x,滿足&}+(，=1；

(2)求證：滿足上述等式的x,都不是有理數(shù)。

賽題訓(xùn)練

1.如果”=-2+夜，那么1+―的值為()

2+—

3+a

A.-&B.A/2C.2D.2后

2.化簡,+2夜—J一夜的結(jié)果是(

)

V17+12>/2J17-12夜

11

A.72B.-應(yīng)C.2D.-2

..…J3+J5—vl3+，48,,,.to1-.z、

3.化簡VVY-----的結(jié)果是（）

V6+V2

A.&B.—C.2D.-

22

4.下面有3個(gè)結(jié)論：

①存在兩個(gè)不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)；

②存在兩個(gè)不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)；

③存在兩個(gè)不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù)。

其中，正確的結(jié)論有（）

A.0B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.設(shè)尤，y都是有理數(shù)，且滿足方程[；+q[x+（g+]]y-4-i=0,那么，x—y的值是

6.如果實(shí)數(shù)a,6滿足條件/+/=1,|l-2a+b|+2a+l=b2-則“+。=。

7.A/7X2+9x+13+V7X2-5X+13=lx,則苫=。

8.以[x]表示不大于x的最大實(shí)數(shù)，又設(shè){x}=x-[x],當(dāng)。=[>/6-91],匕=c={ViO},

d=時(shí)，求浦+cd的值。

9.已知9+屈與9-J河的小數(shù)部分分別是“和6,求ab-3a+4b+8的值。

10.計(jì)算11-222的值。

V2n^”個(gè)2

11.已知〃個(gè)正整數(shù)網(wǎng)，x2,-??,工〃滿足%+々++怎=2008,求這〃個(gè)正整數(shù)乘積玉w七的

最大值。

12

12.已知b為正數(shù)，a為。的小數(shù)部分，SLa2+h2=21,求a+6的值。

13.若實(shí)數(shù)a,h,c滿足關(guān)系式，Ia-199+6，199-a-b=，3a+56-2-c+J%+39-c,試確定

c的值。

14.求|x+V5|+|2x+4月|的最小值的整數(shù)部分。

15.已知三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c滿足a-b+c=3,方程V+ar+1=0和f+〃x+c=O有一個(gè)相同

的實(shí)根，方程x?+x+a=0和W+cx+%=0也有一個(gè)相同的實(shí)根。求〃，b,c的值。

16.已知x=2,a,匕為互質(zhì)的正整數(shù)，且a<8,^2-l<x<y/3-1.

a

(1)試寫出一個(gè)滿足條件的X；

(2)求所有滿足條件的X。

17.若兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)小〃使得/+8和。+/都是有理數(shù)，則稱數(shù)對(小b)是“和諧”的。

(1)試找出一對無理數(shù)a,h,使得(a,b)是“和諧”的；

(2)求證：若(a,b)是“和諧”的，且a+b是不等于1的有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；

(3)求證：若(a,b)是“和諧”的，且人都是有理數(shù)，則小人都是有理數(shù)。

13

第4講進(jìn)位制與新定義運(yùn)算

范例精講

【例1］對于任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,定義有序?qū)崝?shù)對（a,b）與（c,d）之間的運(yùn)算為（a,

b）△（c,d）=（ac+bd,ad+bc）?如果對于任意實(shí)數(shù)u,v,都有（"，v）△（x,y）=（〃，v）,

那么（x,y）為（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（-1,0）D.（0,-1）

【例2】設(shè)x*y定義為x*y=（x+l）x（y+l）,尤*?定義為x*?=》*X，貝lj多項(xiàng)式3*（x*2）-2*x+1在廣2

時(shí)的值為（）

A.19B.27C.32D.38

【例3】化（27九為二進(jìn)制數(shù)。

21_27

213........1（右起第一位數(shù)字）

26........1（右起第二位數(shù)字）

23........0（右起第三位數(shù)字）

21.......1（右起第四位數(shù)字）

0........1（右起第五位數(shù)字）

所以（27篇=（11011）2。

【例4】化八進(jìn)制數(shù)（1532%為四進(jìn)制數(shù)。

【例5】計(jì)算:(1)(1110110)2x(10111)2；

(2)(110110)24-(110)2；

(3)(101101),^-(111)2；

(4)[(1110)2+(1010)2]+(1()0001)24-(1011)2。

【例6】用一個(gè)盡可能小但比1大的整數(shù)乘以1997,使其乘積中出現(xiàn)5個(gè)連續(xù)的9,求這個(gè)乘積。

14

賽題訓(xùn)練

1.整數(shù)〃小于10,并且滿足等式］+］+《=〃，其中卜［表示不超過X的最大整數(shù)，這樣的正

整數(shù)〃為()

A.2B.3C.12D.16

2.對于任意實(shí)數(shù)x,y,z,定義運(yùn)算"X”為x※產(chǎn)3心+產(chǎn)y+X，+45。且丫※丫※%小※歷※z,

(x+l)+(y+1)-60

則2013X2012※…※3X2的值為()

A607D1821心5463C16387

A?---D.----------C?-----------l_z?-------------

967967967967

3.定義新運(yùn)算“*”為a*b=a+b-二幺那么20*20*2005*5*5等于()

4

A.0B.25C.15625D.2005

4.定義新運(yùn)算“△”為4△b=a+(a+l)+(a+2)+…+3+F1),其中b為正整數(shù)，如果(xZ\3)Z\(2x)=13,

則x等于()

A.1或，B.1或0C.—D.1

88

5.在甲組圖形的四個(gè)圖中，每個(gè)圖是由四種圖形A,B,C,D(不同的線段或圓)中的某兩個(gè)圖形

組成的，例如由A,8組成的圖形記為A%。在乙組圖形的(a),(b),(c),(d)四個(gè)圖形中，表示

“A*￡>”和“A*C”的是()

A*BB^CC*DB*D

(a)(b)(c)(d)

A.(a),(b)B.(b),(c)C.(c),(J)D.(4),Ca)

6.在二進(jìn)制數(shù)中，M表示1；(IO))表示2；(11%表示3；(IO。%表示4；(lol%表示5；…;那么

在六進(jìn)制數(shù)中，(1111%所表示的十進(jìn)制數(shù)為。

7.規(guī)定：a十b=標(biāo)+b,a?b={a+b\a-b),若切是最小的質(zhì)數(shù)，〃是大于100的最小的合數(shù)，

則，〃<8)(m-")=,m十(〃？?n)=。

8.當(dāng)"是正整數(shù)時(shí)，規(guī)定〃!=〃x(〃-l)xx2xl,稱為"的階乘(例如

15

10!=10x9xx2xl=3628800)o那么，在2010!中，末尾共含有零的個(gè)數(shù)是。

9.對于實(shí)數(shù)“，v,定義一種運(yùn)算“*”為〃*v=w+v。若關(guān)于x的方程x*(a*x)=-工有兩個(gè)不同

的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)〃的取值范圍是。

10.規(guī)定運(yùn)算a*b滿足："*a=l(ax0),a*(b*c)=(a*b)c,其中〃，cWO,a,b,c為實(shí)數(shù),則

方程V*19=99x的解x=。

11.規(guī)定AOB表示A,B中較大的數(shù),表示A,B中較小的數(shù)。若(AO5+B43)><(BO5+4a3)=96,

且A,B均為大于0的自然數(shù)，AX8的所有取值為o

12.化(0.78125端為二進(jìn)制小數(shù)。

13.化(53.84375均為二進(jìn)制小數(shù)。

14.求證：2'5-2|4+2,3-2|2+2"-2|0++2-1能被5整除。

15.在一種游戲中，魔術(shù)師請一個(gè)人隨意想一個(gè)三位數(shù)帥c(a,b,c依次是這個(gè)數(shù)的百位、十位、

個(gè)位數(shù)字)，并請這個(gè)人算出5個(gè)數(shù)abc,bac,bca,ca匕與仍。的和N,把N告訴魔術(shù)師。于是魔

術(shù)師就可以說出這個(gè)人所想的數(shù)詼，現(xiàn)在設(shè)N=3194。請你做魔術(shù)師，求出數(shù)次來。

16.計(jì)算：

(1)(11011010)2+(1011011)2；

(2)(1101101)2-(1010110),；

(3)(1000000)2-(10011)2-(101101)2,.

16

17.計(jì)算：

(1)(lll)2x(101)2；

(2)(100011),4-(101)2?

17

第5講代數(shù)式化簡與求值

范例精講

【例1】若例=3/一8孫+9y2-4x+6y+13(x,y是實(shí)數(shù))，則用的值一定是()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.整數(shù)

【例2】設(shè)”>0>6>c,a+/?+c=Ltn=p=絲惚，貝!|，小”，p之間的關(guān)系是()

abc

A.m>n>pB.n>p>mC.p>m>nD.m>p>n

【例3］已知實(shí)數(shù)a,6,x,y滿足a+6=x+y=2,ax+by=5,則(〃+b2)xy+ab(x2+y2)=。

【例4】五位數(shù)”滿足以下四個(gè)條件：

(1)”是回文數(shù)，(數(shù)字反向排列仍等于自身的正整數(shù)稱為回文數(shù)，例如33,252,1060k)

(2)〃是完全平方數(shù)。

(3)〃的各位數(shù)字之和《也是完全平方數(shù)。

(4)A是兩位數(shù)，A的兩位數(shù)字之和，也是完全平方數(shù)。

那么，n=o

【例5】己知f=3-2x,解題的關(guān)鍵是通過變形，把待求式中小,一兩項(xiàng)用f=3-2x表示，降次

整體代人。

［例6］在一次數(shù)學(xué)競賽中，組委會決定用NS公司的贊助款購買一一批獎(jiǎng)品，若以1臺NS計(jì)算器和

3本《數(shù)學(xué)競賽講座》書為一份獎(jiǎng)品，則可買100份獎(jiǎng)品，若以I臺NS計(jì)算器和5本《數(shù)學(xué)競賽講

座》書為一份獎(jiǎng)品，則可購買80份獎(jiǎng)品，問：這筆錢全部用來購買計(jì)算器或《數(shù)學(xué)競賽講座》書，

可各買多少？

賽題訓(xùn)練

1.用min(a⑼表示。方兩數(shù)中的較小者。用max(〃⑼表示a,b兩數(shù)中的較大者。例如：min(3,5)=3,

max(3,5)=5；min(3,3)=3,max(5,5)=5o設(shè)〃，b,c,d是互不相等的自然數(shù),min(a,6)=p,

min(c,d)=q,max(p,q)=x,max(a,Z?)=m,max(g〃)=〃，min(/??,?)=y,貝ij()

A.x>yB.x<yC.x=yD.x>y和都有可能

18

2.教師報(bào)出一個(gè)五位數(shù)，同學(xué)們將它的順序倒排后得到的五位數(shù)減去原數(shù)，學(xué)生甲、乙、丙、丁的

結(jié)果分別是34567,34056,23456,34956,教師判定4個(gè)結(jié)果中只有1個(gè)正確，答對的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.已知有理數(shù)A,B,x,y滿足A+BwO,且(A+B):(A-B)=(2x+y):(x-y),那么A:(A+B)為

()

A.3x:(2x+y)B.3x:(4x+2y)C.x:(x+y)D.2x:(2x+y)

4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足@_2008)(y-抄-2008)=2008,貝ij3x2-2y2+3x-3y-2007的值為

)

A.-2008B.2008C.-1D.1

5.設(shè)n（〃》2）個(gè)正整數(shù)q,%，6，任意改變它們的順序后，記作2，仇，…，b…若

)

P=(4—4)(%一%)(%3一％)U也),則（

A.P一定是奇數(shù)B.P一定是偶數(shù)

C.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí),P是偶數(shù)D.當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，P是奇數(shù)

,.11111111

6.已知—I--------=一,—I--------=—-4-—?則--1--H----的值為（）

xy+z2yz+x3Zx+y4xyz

A.1B-1C.2D-1

7.已知實(shí)數(shù)小b,x,y滿足a+〃=x+y=2,cvc+by=5f則（c『+〃）孫+^仇/卡＞2）=o

8.若代數(shù)式同時(shí)滿足條件：①含字母。，/7;②含有關(guān)于字母4,2的加、減、乘、除和乘方運(yùn)算；

③當(dāng)。=_1,b=3時(shí)，該代數(shù)式的值為-7。

請寫出一個(gè)這樣的代數(shù)式o

9.已知a,b,c為整數(shù)，且Q+6=2006,C-Q=2005。若貝!JQ+/?+C的最大值為。

10.已知a+A+c=O,6Z2+Z?2+c2=4,那么/+"+/的值等于。

11.設(shè)正實(shí)數(shù)小b,c滿足a+6+c=9及」一+二一+」一=W,則，-+上+，的的值為

a+bb+cc+a9b+cc+aa+b

,T+2，+1V24+34+l，99'+1004+l

的值為.

F+22-1+2?+32-l992+1002-1

13.小明在黑板上寫有若干個(gè)有理數(shù)。

（1）若他第一次擦去。個(gè)，從第二次起，每次都比前一次多擦去1個(gè)，則6次剛好擦完。請你用代

數(shù)式表示小明在黑板上所寫的有理數(shù)的個(gè)數(shù)。（結(jié)果要求化簡。）

（2）若他每次都擦去a個(gè)，則9次剛好擦完。請你求出小明在黑板上共寫了多少個(gè)有理數(shù)。

19

14.如圖5-1所示，每個(gè)圓周上的數(shù)是按下述規(guī)則逐次標(biāo)出的：

第一次先在圓周上標(biāo)出上，白兩個(gè)數(shù)(如圖5-1(1)所示)；第二次又在第一次標(biāo)出的兩個(gè)數(shù)之

99

間的圓周上，分別標(biāo)出這相鄰兩數(shù)的和(如圖5-1(2)所示)；第三次再在第二次標(biāo)出的所有相鄰兩

數(shù)之間的圓周上，分別標(biāo)出這相鄰兩數(shù)的和(如圖5-1(3)所示)；按照此規(guī)則，以此類推，一直標(biāo)

下去。

(1)(2)(3)

圖5-1

(1)設(shè)〃是大于1的自然數(shù)，第次標(biāo)完數(shù)字后，圓周上所有數(shù)字的和記為第〃次標(biāo)

完數(shù)字后，圓周上所有數(shù)字和記為豬想并寫出5“與S,I的等量關(guān)系；

(2)請你求出S心的值。

15.現(xiàn)看“根長度相同的火柴褲，按如圖5-2(1)所示握放可擺成膽個(gè)正方形，按如圖5-2(2)所

示擺放可擺成2n個(gè)正方形。

(1)用含"的代數(shù)式表示，小

(2)當(dāng)這。根火柴棒還能擺成如圖5-2(3)所示的形狀時(shí)，求“

mn

(2)

圖5-2

16.(1)已知5|x+9y(x,y為整數(shù))，求證：5|8x+7y；

20

(2)求證：每個(gè)大于6的自然數(shù)〃都可表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。

17.有一張紙，第1次把它分制成4張，第2次把其中的1張分割成4張，以后每一次都把前面所

得的其中一張分割成4張，如此進(jìn)行下去，試問：

(1)經(jīng)5次分割后，共得到多少張紙片？

(2)經(jīng)〃次分割后，共得到多少張紙片？

(3)能否經(jīng)若干次分割后共得到2093張紙片，為什么？

21

第6講整式乘除

范例精講

【例1】若實(shí)數(shù)x，y使得x+y,x-y,孫這四個(gè)數(shù)中的三個(gè)數(shù)相等，則|y|-|x|的值等于（）

y

113

A.――B.0C.-D.-

222

【例2】已知m=1+夜，n=,且（7加一14m+a）（3〃2-6〃-7）=8,則a的值等于（）

A.-5B.5C.-9D.9

【例3】（1）如果/+%一1=0,貝1］丁+2爐+3=；

2

（2）把（V+尤一1）6展開后得q2M2+4然"++a2x+ayX+a（）,則

出+4（）+%+4+&+%+4）=。

［例4］已知實(shí)數(shù)a,b9x,y滿足a+b=x+y=2,ar+by=5,則（cJ必2》詆（），+）=o

【例5】已知（x+l）?*?-7）3=%+4。+2）+4（*+2）2++4（x+2）8,則

4一%/一4+%-4+%=c

【例6】設(shè)小b,c,d都是自然數(shù)，且〃5=/,03=1，a—c=i7,求的值。

賽題訓(xùn)練

1.化簡2「（2"港+3二）」得（）

77

B,-2,,+IC.-D.-