初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)中考知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)總結(jié)

專(zhuān)題一數(shù)與式

考點(diǎn)1.1、實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)

1、實(shí)數(shù)的分類(lèi)

有理數(shù)：整數(shù)（包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（包括：有限小數(shù)和無(wú)限環(huán)循小數(shù)）都是有

理數(shù).如：-3,,0.231,0.737373...

無(wú)理數(shù)：無(wú)限不環(huán)循小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)如：n,0.1010010001...（兩個(gè)1之間依次多

1個(gè)0）.

實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).

2、無(wú)理數(shù)

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住"無(wú)限不循環(huán)"這一時(shí)之，它包含兩層意思：一是無(wú)限小數(shù)；

二是不循環(huán).二者缺一不可.歸納起來(lái)有四類(lèi)：

（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率n,或化簡(jiǎn)后含有n的數(shù)，如+8等；

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001...等；

（4）某些三角函數(shù)，如5in60。等

注意：判斷一個(gè)實(shí)數(shù)的屬性（如有理數(shù)、無(wú)理數(shù)），應(yīng)遵循：一化簡(jiǎn)，二辨析，三判斷.要

注意："神似"或"形似"都不能作為判斷的標(biāo)準(zhǔn).

3、非負(fù)數(shù)：正實(shí)數(shù)與零的統(tǒng)稱(chēng)。（表為：x>0）

常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有：

性質(zhì)：若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。

4、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸（畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)

定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

領(lǐng)一條水平直線(xiàn)，在直線(xiàn)上取一點(diǎn)表示0（原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直

線(xiàn)上向右的方向?yàn)檎较?，就得到?shù)軸（"三要素"）

蜜何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。

③n果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱(chēng)其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱(chēng)這兩

個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。

作用：A.直觀(guān)地比較實(shí)數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對(duì)值意義；C.建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)

應(yīng)關(guān)系。

5、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果a與b互為相反數(shù)，則

有a+b=O,a=-b,反之亦成立。即：（1）實(shí)數(shù)的相反數(shù)是.（2）和互為相反數(shù).

6、絕對(duì)值

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，匕|20。零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可看

成它的相反數(shù)，若|a|=a,則a*0；若|a|=-a,則正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)

大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

（1）一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.即：

（另有兩種寫(xiě)法）

（2）實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的

點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

☆（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零，例如：若，貝U，,?

注意：|a|*0,符號(hào)是"非負(fù)數(shù)”的標(biāo)志；數(shù)a的絕對(duì)值只有一個(gè)；處理任何類(lèi)型的題目，

只要其中有出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉符號(hào)。

7、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒

數(shù)。

即（1）實(shí)數(shù)（#0）的倒數(shù)是.

（2）和互為倒數(shù)。

（3）注意0沒(méi)有倒數(shù).

8、有效數(shù)字

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)

字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

9、科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)寫(xiě)做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

（1）確定：是只有一位整數(shù)數(shù)位的數(shù).

（2）確定n：當(dāng)原數(shù)*1時(shí)，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；；當(dāng)原數(shù)＜1時(shí)，是負(fù)整數(shù)，它的

絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)（含整數(shù)位上的零）。

例如：一40700=—4.07x105,0.000043=4.3xl0-5.

(3).近似值的精確度：一般地，一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確

到哪一位

(4)按精確度或有效數(shù)字取近似值，一定要與科學(xué)計(jì)數(shù)法有機(jī)結(jié)合起來(lái).

10、實(shí)數(shù)大小的比較

知識(shí)1、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸(畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素

缺一不可)。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

知識(shí)2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，

(4)絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，貝h

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，貝！］。

11、實(shí)數(shù)的運(yùn)算(做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大)

1、加法交換律

2、加法結(jié)合律

3、乘法交換律

4、乘法結(jié)合律

5、乘法對(duì)加法的分配律

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

1.先算乘方開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

2.(同級(jí)運(yùn)算)從"左"到"右"(如5+*5);(有括號(hào)時(shí))由"小"到"中"到"大"。

12、有理數(shù)的運(yùn)算：

加法：竄號(hào)相加，取相同的符號(hào)，把絕對(duì)值相加。竊號(hào)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0;絕對(duì)

值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。?個(gè)數(shù)與0

相加不變。

減法：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

乘法：領(lǐng)數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。蜜何數(shù)與0相乘得0。頜積為1

的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：Q除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。③不能作除數(shù)。

乘方：求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫哥，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

考點(diǎn)1.2、實(shí)數(shù)與二次根式

1、平方根

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

正數(shù)a的平方根記做

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

（0）

;注意的雙重非負(fù)性：

-（＜0）0

注意：算術(shù)平方根與絕對(duì)值

①聯(lián)系：都是非負(fù)數(shù)，=|a|

事別：|a|中，a為一切實(shí)數(shù)；中，a為非負(fù)數(shù)。

3、算術(shù)平方根的估算方法：兩端逼近法.

例如：估算.（精確到0.1）又:

又言更靠近5.76,.，?4、立方根

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

二次根式

5、二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必須滿(mǎn)足：含有二次根號(hào)心；被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

6、最簡(jiǎn)二次根式

若二次根式滿(mǎn)足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的

因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法和步驟：

（1）如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫(xiě)

成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（2）如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開(kāi)得盡方的因

數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。

7、同類(lèi)二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二

次根式。

8、二次根式的性質(zhì)

（1）

（2）

（3）

（4）注：

9、根式運(yùn)算法則：

（加法法則（合并同類(lèi)二次根式）；

（泰、除法法則；

（盼母有理化：A.;B.;C..

10.指數(shù)

（1）（-累，乘方運(yùn)算）

①a＞0時(shí)，＞0;②＜0時(shí)，＞0（n是偶數(shù)），＜0（n是奇數(shù)）

（變指數(shù)：=1（a豐0）

負(fù)整指數(shù)：=1/（a豐0,p是正整數(shù)）

11、二次根式混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的

先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）。

考點(diǎn)1.3、代數(shù)式與整式

1、代數(shù)式

用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母

也是代數(shù)式。

表示方根的代數(shù)式叫做根式。

含有關(guān)于字母開(kāi)方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無(wú)理式。注意：皺外形上判斷；事別：、

是根式，但不是無(wú)理式（是無(wú)理數(shù)）。

2、單項(xiàng)式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，

這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

如是6次單項(xiàng)式。

注意：系數(shù)與指數(shù)：區(qū)別與聯(lián)系：O位置上看；（我表示的意義上看

其含義有：

杯含有加、減運(yùn)算符號(hào).

小母不出現(xiàn)在分母里.

國(guó)獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者字母也是單項(xiàng)式.

@含"符號(hào)多項(xiàng)式3、多項(xiàng)式

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母

的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再將字母的取值代入。

（2）求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體”代入。

4、同類(lèi)項(xiàng)

所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)

項(xiàng)。

條件：密母相同；篌同字母的指數(shù)相同

合并依據(jù)：乘法分配律

5、去括號(hào)法則

（1）括號(hào)前是"+把括號(hào)和它前面的"+”號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào)。

（2）括號(hào)前是"-",把括號(hào)和它前面的"-"號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變號(hào)。

6、整式的運(yùn)算法則

整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類(lèi)項(xiàng)。

整式的乘法：整式的除法：

注意：（1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

(3)計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式

的符號(hào)。

(4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中，有同類(lèi)項(xiàng)的要合并同類(lèi)項(xiàng)。

(5)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(6)(7)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)

式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不

能這么計(jì)算的。

考點(diǎn)1.4、整式的乘除同上

考點(diǎn)1.5、因式分解

1、因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多

項(xiàng)式分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：

(2)運(yùn)用公式法：①

擴(kuò)展：

②擴(kuò)展：或

同理：或

③a+b)(a2—ab+b2)=a3+b3.@a-b)(a2+ab+b2)=a3—b3；a2+b2=(a+

b)2—2ab,(a-b)2=(a+b)2—4ab.

公式拓展：⑥

旗⑨

⑩

(11)

(3)分組分解法：

(4)十字相乘法：

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀(guān)察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式

可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式

及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

考點(diǎn)1.6、分式

1、分式的概念

一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A+B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子

就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱(chēng)為有理式。

2、分式的性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。

基本性質(zhì)：=(m/0)

(2)分式的變號(hào)法則：

分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

符號(hào)法則：

3、分式的運(yùn)算法則技巧：

4、繁分式：③義:分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式.②L簡(jiǎn)方法(兩種)通

常把繁分式寫(xiě)成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn).

專(zhuān)題二方程與不等式

方程的分類(lèi)

考點(diǎn)2.1一元一次方程及可以化為一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

1、方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3、等式的性質(zhì)

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式。

a=b<->a+c=b+c

(2)等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是等式。

a=b->ac=bc(c/0)

4、一元一次方程

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中

方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。

注意：解法

一元一次方程的解法：去分母-去括號(hào)-移項(xiàng)-合并同類(lèi)項(xiàng)-

系數(shù)化成1-解。驗(yàn)根

說(shuō)明：對(duì)于以為未知數(shù)的最簡(jiǎn)方程，若沒(méi)有給出字母a和b的取值范圍，其解有下面三種

情況：

⑨一元一次方程，有唯一解.

②時(shí)，方程無(wú)解.

③時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.

分式方程

5、分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

6、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程"轉(zhuǎn)化為"整式方程"。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于

零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特

殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。

注意.方程的增根與遺根

（1）在方程變形時(shí)，能產(chǎn)生不適合原方程的根叫做方程的增根.

（2）在方程變形時(shí)，由于盲目變形，在方程的兩邊同除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而導(dǎo)致方

程遺根.

8、常用的相等關(guān)系

1.行程問(wèn)題（勻速運(yùn)動(dòng)）

基本關(guān)系：s=vt

（麻遇問(wèn)題（同時(shí)出發(fā)）：+=;（旗及問(wèn)題（同時(shí)出發(fā)）：若甲出發(fā)t

小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則（冰中航行：；

（翦己料問(wèn)題：溶質(zhì)=溶液x濃度

溶液=溶質(zhì)+溶劑

（5）增長(zhǎng)率問(wèn)題：

（C）工程問(wèn)題：基本關(guān)系：工作量=工作效率x工作時(shí)間（常把工作量看著單位"1"）。

（7.）幾何問(wèn)題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。

注意語(yǔ)言與解析式的互化

如，"多"、"少"、"增加了"、"增加為（到）"同時(shí)"、"擴(kuò)大為（到）”擴(kuò)大了

又如，一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個(gè)位數(shù)字為c,則這個(gè)三位數(shù)為：

100a+10b+c,而不是abc。

注意從語(yǔ)言敘述中寫(xiě)出相等關(guān)系。

如，x比y大3,貝！Ix-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3,則x-y=3。㈤

注意單位換算

如，"小時(shí)""分鐘”的換算；s、v、t單位的一致等。

列方程（組）解應(yīng)用題

是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：

（1審題。理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等

關(guān)系是什么。

（徵元（未知數(shù)）。遇接未知數(shù)蜜接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越

多，方程越易列，但越難解。

（麻含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

（年找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。

一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。

（解方程及檢驗(yàn)。

（皤案。

綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），

在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程

起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

考點(diǎn)2.2二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一

般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解。

3、二元一次方程組

兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。一般形式：（不

全為0）

4二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方

程組的解。

5、二元一次方程組的解法

基本思想："消元"

解法：（1）代入法（2）加減法（3T元一次方程組一元一次方程組.

6、三元一次方程

把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

（1）一般形式：

（2）解法：

三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組.

考點(diǎn)2.3一元一次不等式〔組）

1、不等式

用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。a>b、a<b、a2b、a〈b、a豐b。

2、不等式的解集

對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不

等式的解。

對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)這

個(gè)不等式的解集。

求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

4、不等式基本性質(zhì)

（10不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

（公不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

（0不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

不等式的性質(zhì)：（15>b->a+c>b+c

（2^>b<-?ac>bc（c>0）

（3為〉—>ac<bc（c<0）

⑷（傳遞性）a>b,b>c-a>c

O>b,c>d^a+c>b+d.

5、一元一次不等式

（10一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，

這樣的不等式叫做一元一次不等式。ax>b、ax<b、ax?b、ax〈b、ax^b（a^O）0

（幻一元一次不等式的解法（在數(shù)軸上表示解集）

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類(lèi)項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1

即通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，把不等式化為（或）（）的形式，再把系數(shù)化為1

得出不等式的解集.

說(shuō)明：在去分母和化系數(shù)為1時(shí)，需特別注意不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，要

將不等號(hào)改變方向，其解集情況如下：

O時(shí)，（或）.

儂時(shí)，（或）.

儂時(shí)，若，不等式無(wú)解（或不等式的解集為一切實(shí)數(shù)）.

④i時(shí)，若，不等式的解為一切實(shí)數(shù)（或不等式無(wú)解）.

6、一元一次不等式組

（10一元一次不等式組的概念

幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)X都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集。

（幻一元一次不等式組的解法（在數(shù)軸上表示解集）

（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

即先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分,

即為不等式組的解集.

兩個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組的解集的一般情況可見(jiàn)下表（其中）.口訣不等式組

解集在數(shù)軸上表示

同小取小

同大取大

大小取中

兩背為空

不等式組無(wú)解

考點(diǎn)2.4一元二次方程

1、一元二次方程

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

,它的特征是：等式左邊十一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫

做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

3、一元二次方程的解法

@直接開(kāi)平方法

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平

方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

②配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其

他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x,

并用x代替，則有。

③公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：@因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解

一元二次方程最常用的方法。

4、一元二次方程根的判別式

根的判別式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用"”來(lái)表示，即

⑨程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

②程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

領(lǐng)程無(wú)實(shí)數(shù)根.

0?程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。反之：e元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根

砂元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根

?元二次方程無(wú)實(shí)根

畬元二次方程有兩個(gè)實(shí)根

結(jié)論：（1）若二次三項(xiàng)式是完全平方式，則方程的判別式=0。

（2）方程有實(shí)數(shù)根，包括兩種情況：崩兩個(gè)實(shí)數(shù)根，②只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

說(shuō)明：根的判別式最常見(jiàn)的用法有：

⑨解方程判別一元二次方程根的情況。

事方程根的情況確定某些字母的值或范圍.

5、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程,

兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除

以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

注意（睡定理：若，則以為根的一元二次方程是：。

（常用等式：⑶⑷

6、一元二次方程的應(yīng)用題

（1）商品利潤(rùn)問(wèn)題：每件商品利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)

漲價(jià)時(shí)：

商品總利潤(rùn)=每件商品利潤(rùn)*商品件數(shù)=（原來(lái)利潤(rùn)+漲價(jià)）x（原來(lái)件數(shù)-減少件數(shù)）

降價(jià)時(shí)：

商品總利潤(rùn)=每件商品利潤(rùn)X商品件數(shù)=（原來(lái)利潤(rùn)-降價(jià)）X（原來(lái)件數(shù)+增加件數(shù)）

（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：

QX其中是原來(lái)數(shù)量，是增長(zhǎng)次數(shù)，是次增長(zhǎng)后到達(dá)數(shù)）②

（3）矩形內(nèi)修路問(wèn)題的常用思路是用平移集中法。

列方程（組）解應(yīng)用題，千萬(wàn)不要死記硬背例題的類(lèi)型及其解法，要具體問(wèn)題具體分析，一

般來(lái)講，應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：

1.審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能找出能夠表示應(yīng)用問(wèn)題的全部含義的

等量關(guān)系.

2.設(shè)未知數(shù)：選擇一個(gè)或幾個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗?，用字母表示，并根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系，用含

未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的未知量.

3.列方程（組）：根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）.

4.解方程（組）：其過(guò)程可以省略，但要注意技巧和方法。

5.檢驗(yàn)：首先檢查所列方程（組）是否正確，然后檢驗(yàn)所得方程的解是否符合題意.

6.寫(xiě)答：不要忘記單位名稱(chēng).

7、分式方程的解法

合般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母.

麟殊解法：換元法.

（2）驗(yàn)根：由于在去分母過(guò)程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大而有可能產(chǎn)生增根.因此，驗(yàn)根

是解分式方程必不可少的步驟,一般把整式方程的根的值代人最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零,

使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去.

說(shuō)明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法.

8.二元二次方程組

（1）由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.

（2）由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程組成的方程組.

基本解法是：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；降次，轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.

專(zhuān)題三函數(shù)

考點(diǎn)3.1位置與坐標(biāo)

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，

取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)。（即公共的原點(diǎn)）叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)

系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，

分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限。

2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

點(diǎn)的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有"，"分開(kāi)，橫、

縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)，(a,b)和(b,a)是兩

個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)

點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點(diǎn)，由點(diǎn)P向軸作垂線(xiàn)，垂足對(duì)應(yīng)著軸上的一個(gè)實(shí)

數(shù)；由點(diǎn)P向軸作垂線(xiàn)，垂足對(duì)應(yīng)著軸上一個(gè)實(shí)數(shù)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)就是()，其中叫點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo).

說(shuō)明：點(diǎn)的坐標(biāo)的定義實(shí)際上給出了求點(diǎn)的坐標(biāo)的一種非常重要的方法，要注意橫坐標(biāo)與縱

坐標(biāo)的順序不能顛倒.

3、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

(1)、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一象限

點(diǎn)P(x,y)在第二象限

點(diǎn)P(x,y)在第三象限

點(diǎn)P(x,y)在第四象限

(2)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x(chóng),y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)

(3)、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(xiàn)上x(chóng)與y相等

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線(xiàn)上x(chóng)與y互為相反數(shù)

(4)、和坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線(xiàn)上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線(xiàn)上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

(5)、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是.

點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是.

點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是.

(6)、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于

點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離等于

點(diǎn)P（x,y）到原點(diǎn)的距離等于

☆（7）⑴若PQ久軸，則.

.（2）若PQ的軸，貝九

☆（8）.若，，當(dāng)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)時(shí)

*（9）.若，，則

（10）.坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）之間建立了--對(duì)應(yīng)關(guān)系.

考點(diǎn)3.2函數(shù)的表示

函數(shù)的概念

1.常量與變量：在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；在某一變化過(guò)程中保

持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量.

2.函數(shù)：在某一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的

值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做X的函數(shù)，其中X做自變量，y是因變

量.

（1）自變量取值范圍的確定

O式函數(shù)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

■式函數(shù)自變量的取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù).

③:次根式函數(shù)自變量的取值范嗣是使被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)，若涉及實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)，

除滿(mǎn)足上述要求外還要使實(shí)際問(wèn)題有意義.

（2）函數(shù)值：對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求得的函數(shù)的對(duì)應(yīng)值.

3.函數(shù)常用的表示方法：解析法、列表法、圖象法.由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖象，一般

步驟是：列表、描點(diǎn)、連線(xiàn).

考點(diǎn)3.3一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果（k,b是常數(shù)，kO）,那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為。時(shí)，（k為常數(shù)，kO）o這時(shí)，y叫做x的正比例函

數(shù)。

☆說(shuō)明：直線(xiàn)位置與常數(shù)的關(guān)系

（1）決定直線(xiàn)的傾斜角（直線(xiàn)向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角的大?。?

頷斜角為銳角.

O線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0,b）且平行于x軸的直線(xiàn).

<1?斜角為鈍角.

(2)b決定直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置.

?>0直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在x軸的上方.

@=0直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn).

③<0直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在x軸的下方；

(3)如圖1,

(4)如圖2,

(5)設(shè)直線(xiàn)上有兩點(diǎn)，，則

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線(xiàn)函數(shù)解析式

自變量取值范圍圖象增減性

正比例函數(shù)

全體實(shí)數(shù)

①I(mǎi)k>0時(shí)，y隨x增大而增大；

磔k><0時(shí)，y隨x增大而減小。

一次函數(shù)

全體實(shí)數(shù)

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,b)的直線(xiàn)；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的

直線(xiàn)。k的符號(hào)b的符號(hào)

函數(shù)圖像

圖像特征k>0b>0y0x

圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y

0x

圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0b>0y0x

圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y

0x

圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨X的增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大

(2)當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式(kO)中的常數(shù)k。確定一個(gè)一次

函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式(kO)中的常數(shù)k和b。解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系

數(shù)法。

斜率：b為直線(xiàn)在y軸上的截距

0線(xiàn)的斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式：y=kx+b(k#0)

庭直線(xiàn)上兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式：

③3直線(xiàn)在軸和軸上的截距確定的直線(xiàn)的截距

式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式：

?兩條直線(xiàn)分別為，：：若，則有且。若

⑤P(xO,yO)到直線(xiàn)y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距離：

考點(diǎn)3.4、反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)(k是常數(shù)，kO)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成的

形式。自變量x的取值范圍是xO的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線(xiàn)，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第

二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。由于反比例函數(shù)中自變量xO,函數(shù)yO,所以，它的圖像

與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖像yOxyOx性質(zhì)0

的取值范圍是xO,

y的取值范圍是yO；

舉k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別

在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y

隨X的增大而減小。

0的取值范圍是xO,

y的取值范圍是yO；

磔k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別

在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y

隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及諛是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只

需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、的幾何意義

設(shè)是反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸、軸的垂線(xiàn)，垂足為A,則

(1)ZX)PA的面積.

(2)矩形OAPB的面積。這就是系數(shù)的幾何意義.并且無(wú)論P(yáng)怎樣移動(dòng)，&PA的面積和

矩形OAPB的面積都保持不變。

矩形PCEF面積=，平行四邊形PDEA面積=考點(diǎn)3.5、二次

函數(shù)

二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。

叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，這條曲線(xiàn)叫拋物線(xiàn)。

拋物線(xiàn)的主要特征：

開(kāi)口方向；頸對(duì)稱(chēng)軸；繳頂點(diǎn)。

3、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法

五點(diǎn)法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線(xiàn)

畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸

(2)求拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

當(dāng)拋物線(xiàn)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)C,再找

到點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二

次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Do

由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出

一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、B,然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像。

4、二次函數(shù)的解析式(10~16分)

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：

(2)頂點(diǎn)式：

(3)當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式

的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

注意：拋物線(xiàn)位置由決定.

(1)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向

O口向上.

頸口向下.

(2)決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置.

Q圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方.

雷象過(guò)原點(diǎn).

雷象與y軸交點(diǎn)在x軸下方.

(3)決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置(對(duì)稱(chēng)軸：)

Q鬧號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在v軸左側(cè).

(W稱(chēng)軸是y軸.

號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在v軸右側(cè).

(4)頂點(diǎn)坐標(biāo).

(5)決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況.、

8>0拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

②與0拋物線(xiàn)與x軸有唯一的公共點(diǎn)(相切).

(W0拋物線(xiàn)與x軸無(wú)公共點(diǎn).

(6)二次函數(shù)是否具有最大、最小值由a判斷.

Oa>0時(shí)，拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值.

舉a<0時(shí)，拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值.

(7)的符號(hào)的判定：

表達(dá)式，請(qǐng)代值，對(duì)應(yīng)y值定正負(fù)；

對(duì)稱(chēng)軸，用處多，三種式子相約；

軸兩側(cè)判，左同右異中為0;

1的兩側(cè)判，左同右異中為0;

-1兩側(cè)判，左異右同中為0.

(8)函數(shù)圖象的平移：左右平移變x,左+右一；上下平移變常數(shù)項(xiàng)，上+下平移結(jié)

果先知道，反向平移是訣竅；平移方式不知道，通過(guò)頂點(diǎn)來(lái)尋找。

(9)對(duì)稱(chēng)：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式為，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的解析式為，關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)的解

析式為，在頂點(diǎn)處翻折后的解析式為(a相反，定點(diǎn)坐標(biāo)不變)。

(10)結(jié)論：。匚次函數(shù)(與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次函數(shù)的頂點(diǎn)在x軸上△=?；

②1次函數(shù)(的頂點(diǎn)在y軸上二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

③:次函數(shù)(經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，貝人

(11)二次函數(shù)的解析式：

?般式：(，用于已知三點(diǎn)。

頷點(diǎn)式：，用于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或最值或?qū)ΨQ(chēng)軸。

(3)交點(diǎn)式：，其中、是二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若已知對(duì)稱(chēng)軸和在x軸上

的截距，也可用此式。

5、二次函數(shù)的最值(10分)

如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)

時(shí)，。

如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，

則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y

隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，。

6、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y

0xyOx性質(zhì)(1)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；

(2)對(duì)稱(chēng)軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,);

(3)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)x〈時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞時(shí)，

y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；

(4)拋物線(xiàn)有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，

(1)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；

(2)對(duì)稱(chēng)軸是x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，);

(3)在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)x〈時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞時(shí)，

y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；

(4)拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，當(dāng)乂=時(shí)，y有最大值，

7、二次函數(shù)中，的含義：

表示開(kāi)口方向：＞0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上

＜0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下

與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)：對(duì)稱(chēng)軸為x=

表示拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：(0,)

8、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。

當(dāng)＞0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)＜0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

補(bǔ)充：

1、兩點(diǎn)間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法)

y

如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為(xl,yl)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2)

則AB間的距離，即線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為A0xl

B2、函數(shù)平移規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提

高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間)

左加右減、上加下減

開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸直線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)()增減性

當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大;

當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨著x的增大而減少;

最值當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，求用代入法考點(diǎn)3.6、二次函數(shù)的應(yīng)用題

考點(diǎn)3.7、用函數(shù)觀(guān)念看方程與不等式

方程思想

數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想

轉(zhuǎn)化思想

數(shù)形結(jié)合

分類(lèi)討論

y=0一元一次方程kx+b=0直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)

y>0kx+b>0x軸上方部分

y<0一元一次不等式kx+b<0x軸下方部分

二元一次方程組解是坐標(biāo)坐標(biāo)是解

y=0一元二次方程=0與x軸交點(diǎn)

y>0>0x軸上方部分

y<0一元二次不等式<0x軸下方部分

解是橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)是解

專(zhuān)題四空間圖形與證明

考點(diǎn)4.1點(diǎn)線(xiàn)面相交線(xiàn)平行線(xiàn)和視圖

直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段

1、幾何圖形

從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2、點(diǎn)、線(xiàn)、面、體

(1)幾何圖形的組成

點(diǎn)：線(xiàn)和線(xiàn)相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線(xiàn)：面和面相交的地方是線(xiàn)，分為直線(xiàn)和曲線(xiàn)。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡(jiǎn)稱(chēng)體。

(2)點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

3、直線(xiàn)的概念

一根拉得很緊的線(xiàn)，就給我們以直線(xiàn)的形象，直線(xiàn)是直的，并且是向兩方無(wú)限延伸的。

4、射線(xiàn)的概念

直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線(xiàn)。這個(gè)點(diǎn)叫做射線(xiàn)的端點(diǎn)。

5、線(xiàn)段的概念

直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段。這兩個(gè)點(diǎn)叫做線(xiàn)段的端點(diǎn)。

6、點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示。

一條直線(xiàn)可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示。

一條射線(xiàn)可以用端點(diǎn)和射線(xiàn)上另一點(diǎn)來(lái)表示。

一條線(xiàn)段可用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示。

注意：

(1)表示點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段時(shí)，都要在字母前面注明點(diǎn)、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段。

(2)直線(xiàn)和射線(xiàn)無(wú)長(zhǎng)度，線(xiàn)段有長(zhǎng)度。

(3)直線(xiàn)無(wú)端點(diǎn)，射線(xiàn)有一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)。

(4)點(diǎn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系有線(xiàn)面兩種：

砥在直線(xiàn)上，或者說(shuō)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

母在直線(xiàn)外，或者說(shuō)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

7、直線(xiàn)的性質(zhì)

(1)直線(xiàn)公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)。它可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：過(guò)

兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)。

(2)過(guò)一點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條。

(3)直線(xiàn)是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。

(4)直線(xiàn)上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。

(5)兩條不同的直線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)。

8、線(xiàn)段的性質(zhì)

(1)線(xiàn)段公理：所有連接兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短。也可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。

(2)連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離。

(3)線(xiàn)段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

(4)線(xiàn)段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。

9、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

角

10、角的相關(guān)概念

有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)叫

做角的邊。

當(dāng)角的兩邊在一條直線(xiàn)上時(shí)，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的

余角。

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的

補(bǔ)角。

11、角的表示

角可以用大寫(xiě)英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方

法：

?數(shù)字表示單獨(dú)的角，如4,N,等。

②1小寫(xiě)的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如4,4，々，&等。

③1一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如4,4：等。

03三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任一個(gè)角，如&AD,ZfeAE,4AE等。

注意：用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩

側(cè)。

12、角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用

表示，1度記作"1°”,n度記作"n°"。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1，”。

把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1""。

1°=60'=60"

13、角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線(xiàn)的幅度大小有關(guān)。

(2)角的大小可以度量，可以比較

(3)角可以參與運(yùn)算。

15、角的平分線(xiàn)及其性質(zhì)

一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。

角的平分線(xiàn)有下面的性質(zhì)定理：

(1)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

(2)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。

相交線(xiàn)

16、相交線(xiàn)中的角

兩條直線(xiàn)相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)

但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。我們把兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且

有一條公共邊的兩個(gè)角叫做臨補(bǔ)角。

臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等。

直線(xiàn)AB,CD與EF相交(或者說(shuō)兩條直線(xiàn)AB,CD被第三條直線(xiàn)EF所截)，構(gòu)成八

個(gè)角。其中?與*這兩個(gè)角分別在A(yíng)B,CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同

的一對(duì)角叫做同位角；4與Z5這兩個(gè)角都在A(yíng)B,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位

置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；4與4在直線(xiàn)AB,CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的

兩個(gè)角叫做同旁?xún)?nèi)角。

17、垂線(xiàn)

兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直。其中一

條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

直線(xiàn)AB,CD互相垂直，記作"AB_1CD"(或"CDJAB"),讀作"AB垂直于CD"(或"CD

垂直于A(yíng)B")o

垂線(xiàn)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。

性質(zhì)2:直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線(xiàn)段最短。

平行線(xiàn)(3~8分)

18、平行線(xiàn)的概念

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。平行用符號(hào)"〃，表示，如"AB/tD",

讀作"AB平行于CD"o

同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)