初中數(shù)學(xué)知識點

數(shù)學(xué)中考知識點系統(tǒng)總結(jié)

專題一數(shù)與式

考點1.1、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類

有理數(shù)：整數(shù)（包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù)）都是有

理數(shù).如：-3,,0.231,0.737373...

無理數(shù)：無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)如：n,0.1010010001...（兩個1之間依次多

1個0）.

實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

2、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住"無限不循環(huán)"這一時之，它包含兩層意思：一是無限小數(shù)；

二是不循環(huán).二者缺一不可.歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數(shù)，如等；

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率n,或化簡后含有n的數(shù)，如+8等；

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001...等；

（4）某些三角函數(shù)，如5in60。等

注意：判斷一個實數(shù)的屬性（如有理數(shù)、無理數(shù)），應(yīng)遵循：一化簡，二辨析，三判斷.要

注意："神似"或"形似"都不能作為判斷的標(biāo)準(zhǔn).

3、非負(fù)數(shù)：正實數(shù)與零的統(tǒng)稱。（表為：x>0）

常見的非負(fù)數(shù)有：

性質(zhì)：若干個非負(fù)數(shù)的和為0,則每個非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。

4、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)

定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

領(lǐng)一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直

線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸（"三要素"）

蜜何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。

③n果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩

個數(shù)互為相反數(shù)。

作用：A.直觀地比較實數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對值意義；C.建立點與實數(shù)的一一對

應(yīng)關(guān)系。

5、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則

有a+b=O,a=-b,反之亦成立。即：（1）實數(shù)的相反數(shù)是.（2）和互為相反數(shù).

6、絕對值

一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，匕|20。零的絕對值時它本身，也可看

成它的相反數(shù)，若|a|=a,則a*0；若|a|=-a,則正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)

大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

（1）一個正實數(shù)的絕對值是它本身;一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.即：

（另有兩種寫法）

（2）實數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的

點到原點的距離.

☆（3）幾個非負(fù)數(shù)的和等于零則每個非負(fù)數(shù)都等于零，例如：若，貝U，,?

注意：|a|*0,符號是"非負(fù)數(shù)”的標(biāo)志；數(shù)a的絕對值只有一個；處理任何類型的題目，

只要其中有出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉符號。

7、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒

數(shù)。

即（1）實數(shù)（#0）的倒數(shù)是.

（2）和互為倒數(shù)。

（3）注意0沒有倒數(shù).

8、有效數(shù)字

一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)

字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

9、科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)寫做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

（1）確定：是只有一位整數(shù)數(shù)位的數(shù).

（2）確定n：當(dāng)原數(shù)*1時，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；；當(dāng)原數(shù)＜1時，是負(fù)整數(shù)，它的

絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)（含整數(shù)位上的零）。

例如：一40700=—4.07x105,0.000043=4.3xl0-5.

(3).近似值的精確度：一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確

到哪一位

(4)按精確度或有效數(shù)字取近似值，一定要與科學(xué)計數(shù)法有機(jī)結(jié)合起來.

10、實數(shù)大小的比較

知識1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素

缺一不可)。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

知識2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，貝h

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，貝?。?。

11、實數(shù)的運算(做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大)

1、加法交換律

2、加法結(jié)合律

3、乘法交換律

4、乘法結(jié)合律

5、乘法對加法的分配律

6、實數(shù)的運算順序

1.先算乘方開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

2.(同級運算)從"左"到"右"(如5+*5);(有括號時)由"小"到"中"到"大"。

12、有理數(shù)的運算：

加法：竄號相加，取相同的符號，把絕對值相加。竊號相加，絕對值相等時和為0;絕對

值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。?個數(shù)與0

相加不變。

減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

乘法：領(lǐng)數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。蜜何數(shù)與0相乘得0。頜積為1

的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：Q除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。③不能作除數(shù)。

乘方：求N個相同因數(shù)A的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫哥，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

考點1.2、實數(shù)與二次根式

1、平方根

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的平方根記做

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

（0）

;注意的雙重非負(fù)性：

-（＜0）0

注意：算術(shù)平方根與絕對值

①聯(lián)系：都是非負(fù)數(shù)，=|a|

事別：|a|中，a為一切實數(shù)；中，a為非負(fù)數(shù)。

3、算術(shù)平方根的估算方法：兩端逼近法.

例如：估算.（精確到0.1）又:

又言更靠近5.76,.，?4、立方根

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

二次根式

5、二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號心；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

6、最簡二次根式

若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的

因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：

（1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫

成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。

（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因

數(shù)或因式開出來。

7、同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二

次根式。

8、二次根式的性質(zhì)

（1）

（2）

（3）

（4）注：

9、根式運算法則：

（加法法則（合并同類二次根式）；

（泰、除法法則；

（盼母有理化：A.;B.;C..

10.指數(shù)

（1）（-累，乘方運算）

①a＞0時，＞0;②＜0時，＞0（n是偶數(shù)），＜0（n是奇數(shù)）

（變指數(shù)：=1（a豐0）

負(fù)整指數(shù)：=1/（a豐0,p是正整數(shù)）

11、二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的

先算括號里的（或先去括號）。

考點1.3、代數(shù)式與整式

1、代數(shù)式

用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母

也是代數(shù)式。

表示方根的代數(shù)式叫做根式。

含有關(guān)于字母開方運算的代數(shù)式叫做無理式。注意：皺外形上判斷；事別：、

是根式，但不是無理式（是無理數(shù)）。

2、單項式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，

這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成。一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。

如是6次單項式。

注意：系數(shù)與指數(shù)：區(qū)別與聯(lián)系：O位置上看；（我表示的意義上看

其含義有：

杯含有加、減運算符號.

小母不出現(xiàn)在分母里.

國獨的一個數(shù)或者字母也是單項式.

@含"符號多項式3、多項式

幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母

的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

注意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。

（2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體”代入。

4、同類項

所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類

項。

條件：密母相同；篌同字母的指數(shù)相同

合并依據(jù)：乘法分配律

5、去括號法則

（1）括號前是"+把括號和它前面的"+”號一起去掉，括號里各項都不變號。

（2）括號前是"-",把括號和它前面的"-"號一起去掉，括號里各項都變號。

6、整式的運算法則

整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。

整式的乘法：整式的除法：

注意：（1）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。

(2)單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。

(3)計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式

的符號。

(4)多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。

(5)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。(6)(7)多項式除以單項

式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除以多項式是不

能這么計算的。

考點1.4、整式的乘除同上

考點1.5、因式分解

1、因式分解

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多

項式分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：

(2)運用公式法：①

擴(kuò)展：

②擴(kuò)展：或

同理：或

③a+b)(a2—ab+b2)=a3+b3.@a-b)(a2+ab+b2)=a3—b3；a2+b2=(a+

b)2—2ab,(a-b)2=(a+b)2—4ab.

公式拓展：⑥

旗⑨

⑩

(11)

(3)分組分解法：

(4)十字相乘法：

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式

可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式

及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

考點1.6、分式

1、分式的概念

一般地，用A、B表示兩個整式，A+B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子

就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

2、分式的性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。

基本性質(zhì)：=(m/0)

(2)分式的變號法則：

分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。

符號法則：

3、分式的運算法則技巧：

4、繁分式：③義:分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式.②L簡方法(兩種)通

常把繁分式寫成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法則進(jìn)行化簡.

專題二方程與不等式

方程的分類

考點2.1一元一次方程及可以化為一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

1、方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3、等式的性質(zhì)

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。

a=b<->a+c=b+c

(2)等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是等式。

a=b->ac=bc(c/0)

4、一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中

方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。

注意：解法

一元一次方程的解法：去分母-去括號-移項-合并同類項-

系數(shù)化成1-解。驗根

說明：對于以為未知數(shù)的最簡方程，若沒有給出字母a和b的取值范圍，其解有下面三種

情況：

⑨一元一次方程，有唯一解.

②時，方程無解.

③時，方程有無數(shù)個解.

分式方程

5、分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

6、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程"轉(zhuǎn)化為"整式方程"。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于

零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特

殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

注意.方程的增根與遺根

（1）在方程變形時，能產(chǎn)生不適合原方程的根叫做方程的增根.

（2）在方程變形時，由于盲目變形，在方程的兩邊同除以含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而導(dǎo)致方

程遺根.

8、常用的相等關(guān)系

1.行程問題（勻速運動）

基本關(guān)系：s=vt

（麻遇問題（同時出發(fā)）：+=;（旗及問題（同時出發(fā)）：若甲出發(fā)t

小時后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則（冰中航行：；

（翦己料問題：溶質(zhì)=溶液x濃度

溶液=溶質(zhì)+溶劑

（5）增長率問題：

（C）工程問題：基本關(guān)系：工作量=工作效率x工作時間（常把工作量看著單位"1"）。

（7.）幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。

注意語言與解析式的互化

如，"多"、"少"、"增加了"、"增加為（到）"同時"、"擴(kuò)大為（到）”擴(kuò)大了

又如，一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字為c,則這個三位數(shù)為：

100a+10b+c,而不是abc。

注意從語言敘述中寫出相等關(guān)系。

如，x比y大3,貝！Ix-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3,則x-y=3。㈤

注意單位換算

如，"小時""分鐘”的換算；s、v、t單位的一致等。

列方程（組）解應(yīng)用題

是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

（1審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等

關(guān)系是什么。

（徵元（未知數(shù)）。遇接未知數(shù)蜜接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來說，未知數(shù)越

多，方程越易列，但越難解。

（麻含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

（年找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。

一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。

（解方程及檢驗。

（皤案。

綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)元、列方程），

在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程

起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

考點2.2二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一

般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。一般形式：（不

全為0）

4二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方

程組的解。

5、二元一次方程組的解法

基本思想："消元"

解法：（1）代入法（2）加減法（3T元一次方程組一元一次方程組.

6、三元一次方程

把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

（1）一般形式：

（2）解法：

三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組.

考點2.3一元一次不等式〔組）

1、不等式

用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。a>b、a<b、a2b、a〈b、a豐b。

2、不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不

等式的解。

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這

個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

4、不等式基本性質(zhì)

（10不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

（公不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

（0不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

不等式的性質(zhì)：（15>b->a+c>b+c

（2^>b<-?ac>bc（c>0）

（3為〉—>ac<bc（c<0）

⑷（傳遞性）a>b,b>c-a>c

O>b,c>d^a+c>b+d.

5、一元一次不等式

（10一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，

這樣的不等式叫做一元一次不等式。ax>b、ax<b、ax?b、ax〈b、ax^b（a^O）0

（幻一元一次不等式的解法（在數(shù)軸上表示解集）

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1

即通過去分母、去括號、移項合并同類項，把不等式化為（或）（）的形式，再把系數(shù)化為1

得出不等式的解集.

說明：在去分母和化系數(shù)為1時，需特別注意不等式兩邊同時乘以（或除以）一個負(fù)數(shù)，要

將不等號改變方向，其解集情況如下：

O時，（或）.

儂時，（或）.

儂時，若，不等式無解（或不等式的解集為一切實數(shù)）.

④i時，若，不等式的解為一切實數(shù)（或不等式無解）.

6、一元一次不等式組

（10一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)X都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

（幻一元一次不等式組的解法（在數(shù)軸上表示解集）

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

即先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分,

即為不等式組的解集.

兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的一般情況可見下表（其中）.口訣不等式組

解集在數(shù)軸上表示

同小取小

同大取大

大小取中

兩背為空

不等式組無解

考點2.4一元二次方程

1、一元二次方程

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

,它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫

做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

3、一元二次方程的解法

@直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平

方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時，，，

當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。

②配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其

他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x,

并用x代替，則有。

③公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：@因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解

一元二次方程最常用的方法。

4、一元二次方程根的判別式

根的判別式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用"”來表示，即

⑨程有兩個不相等的實數(shù)根.

②程有兩個相等的實數(shù)根.

領(lǐng)程無實數(shù)根.

0?程有兩個實數(shù)根。反之：e元二次方程有兩個不等實根

砂元二次方程有兩個相等實根

?元二次方程無實根

畬元二次方程有兩個實根

結(jié)論：（1）若二次三項式是完全平方式，則方程的判別式=0。

（2）方程有實數(shù)根，包括兩種情況：崩兩個實數(shù)根，②只有一個實數(shù)根。

說明：根的判別式最常見的用法有：

⑨解方程判別一元二次方程根的情況。

事方程根的情況確定某些字母的值或范圍.

5、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程,

兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除

以二次項系數(shù)所得的商。

注意（睡定理：若，則以為根的一元二次方程是：。

（常用等式：⑶⑷

6、一元二次方程的應(yīng)用題

（1）商品利潤問題：每件商品利潤=售價-進(jìn)價

漲價時：

商品總利潤=每件商品利潤*商品件數(shù)=（原來利潤+漲價）x（原來件數(shù)-減少件數(shù)）

降價時：

商品總利潤=每件商品利潤X商品件數(shù)=（原來利潤-降價）X（原來件數(shù)+增加件數(shù)）

（2）增長率問題：

QX其中是原來數(shù)量，是增長次數(shù)，是次增長后到達(dá)數(shù)）②

（3）矩形內(nèi)修路問題的常用思路是用平移集中法。

列方程（組）解應(yīng)用題，千萬不要死記硬背例題的類型及其解法，要具體問題具體分析，一

般來講，應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：

1.審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能找出能夠表示應(yīng)用問題的全部含義的

等量關(guān)系.

2.設(shè)未知數(shù)：選擇一個或幾個適當(dāng)?shù)奈粗?，用字母表示，并根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系，用含

未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的未知量.

3.列方程（組）：根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）.

4.解方程（組）：其過程可以省略，但要注意技巧和方法。

5.檢驗：首先檢查所列方程（組）是否正確，然后檢驗所得方程的解是否符合題意.

6.寫答：不要忘記單位名稱.

7、分式方程的解法

合般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡公分母.

麟殊解法：換元法.

（2）驗根：由于在去分母過程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大而有可能產(chǎn)生增根.因此，驗根

是解分式方程必不可少的步驟,一般把整式方程的根的值代人最簡公分母，看結(jié)果是不是零,

使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去.

說明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法.

8.二元二次方程組

（1）由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.

（2）由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組.

基本解法是：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；降次，轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.

專題三函數(shù)

考點3.1位置與坐標(biāo)

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，

取向上為正方向；兩軸的交點。（即公共的原點）叫做直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)

系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，

分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標(biāo)的概念

點的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有"，"分開，橫、

縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，(a,b)和(b,a)是兩

個不同點的坐標(biāo)

點的坐標(biāo)：設(shè)點P是坐標(biāo)平面內(nèi)的任一點，由點P向軸作垂線，垂足對應(yīng)著軸上的一個實

數(shù)；由點P向軸作垂線，垂足對應(yīng)著軸上一個實數(shù)，則點P的坐標(biāo)就是()，其中叫點P的

橫坐標(biāo)，叫做點P的縱坐標(biāo).

說明：點的坐標(biāo)的定義實際上給出了求點的坐標(biāo)的一種非常重要的方法，要注意橫坐標(biāo)與縱

坐標(biāo)的順序不能顛倒.

3、不同位置的點的坐標(biāo)的特征

(1)、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一象限

點P(x,y)在第二象限

點P(x,y)在第三象限

點P(x,y)在第四象限

(2)、坐標(biāo)軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x,y同時為零，即點P坐標(biāo)為(0,0)

(3)、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)

(4)、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。

(5)、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點對稱的點的坐標(biāo)的特征

點關(guān)于x軸的對稱點是.

點關(guān)于y軸的對稱點是.

點關(guān)于原點的對稱點是.

(6)、點到坐標(biāo)軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：

點P(x,y)到x軸的距離等于

點P（x,y）到y(tǒng)軸的距離等于

點P（x,y）到原點的距離等于

☆（7）⑴若PQ久軸，則.

.（2）若PQ的軸，貝九

☆（8）.若，，當(dāng)是線段AB的中點時

*（9）.若，，則

（10）.坐標(biāo)平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對（x,y）之間建立了--對應(yīng)關(guān)系.

考點3.2函數(shù)的表示

函數(shù)的概念

1.常量與變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；在某一變化過程中保

持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量.

2.函數(shù)：在某一變化過程中的兩個變量x和y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的

值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么y就叫做X的函數(shù)，其中X做自變量，y是因變

量.

（1）自變量取值范圍的確定

O式函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù).

■式函數(shù)自變量的取值范圍是使分母不為0的實數(shù).

③:次根式函數(shù)自變量的取值范嗣是使被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的實數(shù)，若涉及實際問題的函數(shù)，

除滿足上述要求外還要使實際問題有意義.

（2）函數(shù)值：對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應(yīng)值.

3.函數(shù)常用的表示方法：解析法、列表法、圖象法.由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖象，一般

步驟是：列表、描點、連線.

考點3.3一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果（k,b是常數(shù)，kO）,那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)中的b為。時，（k為常數(shù)，kO）o這時，y叫做x的正比例函

數(shù)。

☆說明：直線位置與常數(shù)的關(guān)系

（1）決定直線的傾斜角（直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角的大?。?

頷斜角為銳角.

O線過點（0,b）且平行于x軸的直線.

<1?斜角為鈍角.

(2)b決定直線與y軸交點的位置.

?>0直線與y軸交點在x軸的上方.

@=0直線過原點.

③<0直線與y軸交點在x軸的下方；

(3)如圖1,

(4)如圖2,

(5)設(shè)直線上有兩點，，則

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線函數(shù)解析式

自變量取值范圍圖象增減性

正比例函數(shù)

全體實數(shù)

①Ik>0時，y隨x增大而增大；

磔k><0時，y隨x增大而減小。

一次函數(shù)

全體實數(shù)

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點(0,b)的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點(0,0)的

直線。k的符號b的符號

函數(shù)圖像

圖像特征k>0b>0y0x

圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y

0x

圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0b>0y0x

圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y

0x

圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨X的增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式(kO)中的常數(shù)k。確定一個一次

函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式(kO)中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系

數(shù)法。

斜率：b為直線在y軸上的截距

0線的斜截式方程，簡稱斜截式：y=kx+b(k#0)

庭直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式：

③3直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距

式方程，簡稱截距式：

?兩條直線分別為，：：若，則有且。若

⑤P(xO,yO)到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距離：

考點3.4、反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)(k是常數(shù)，kO)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的

形式。自變量x的取值范圍是xO的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第

二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量xO,函數(shù)yO,所以，它的圖像

與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖像yOxyOx性質(zhì)0

的取值范圍是xO,

y的取值范圍是yO；

舉k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y

隨X的增大而減小。

0的取值范圍是xO,

y的取值范圍是yO；

磔k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及諛是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只

需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、的幾何意義

設(shè)是反比例函數(shù)圖象上任一點，過點P作軸、軸的垂線，垂足為A,則

(1)ZX)PA的面積.

(2)矩形OAPB的面積。這就是系數(shù)的幾何意義.并且無論P怎樣移動，&PA的面積和

矩形OAPB的面積都保持不變。

矩形PCEF面積=，平行四邊形PDEA面積=考點3.5、二次

函數(shù)

二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。

叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

拋物線的主要特征：

開口方向；頸對稱軸；繳頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線

畫出對稱軸

(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點:

當(dāng)拋物線與X軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找

到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二

次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點Do

由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出

一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

4、二次函數(shù)的解析式(10~16分)

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：

(2)頂點式：

(3)當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式

的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

注意：拋物線位置由決定.

(1)決定拋物線的開口方向

O口向上.

頸口向下.

(2)決定拋物線與y軸交點的位置.

Q圖象與y軸交點在x軸上方.

雷象過原點.

雷象與y軸交點在x軸下方.

(3)決定拋物線對稱軸的位置(對稱軸：)

Q鬧號對稱軸在v軸左側(cè).

(W稱軸是y軸.

號對稱軸在v軸右側(cè).

(4)頂點坐標(biāo).

(5)決定拋物線與x軸的交點情況.、

8>0拋物線與x軸有兩個不同交點.

②與0拋物線與x軸有唯一的公共點(相切).

(W0拋物線與x軸無公共點.

(6)二次函數(shù)是否具有最大、最小值由a判斷.

Oa>0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值.

舉a<0時，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值.

(7)的符號的判定：

表達(dá)式，請代值，對應(yīng)y值定正負(fù)；

對稱軸，用處多，三種式子相約；

軸兩側(cè)判，左同右異中為0;

1的兩側(cè)判，左同右異中為0;

-1兩側(cè)判，左異右同中為0.

(8)函數(shù)圖象的平移：左右平移變x,左+右一；上下平移變常數(shù)項，上+下平移結(jié)

果先知道，反向平移是訣竅；平移方式不知道，通過頂點來尋找。

(9)對稱：關(guān)于x軸對稱的解析式為，關(guān)于y軸對稱的解析式為，關(guān)于原點軸對稱的解

析式為，在頂點處翻折后的解析式為(a相反，定點坐標(biāo)不變)。

(10)結(jié)論：。匚次函數(shù)(與x軸只有一個交點二次函數(shù)的頂點在x軸上△=?；

②1次函數(shù)(的頂點在y軸上二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

③:次函數(shù)(經(jīng)過原點，貝人

(11)二次函數(shù)的解析式：

?般式：(，用于已知三點。

頷點式：，用于已知頂點坐標(biāo)或最值或?qū)ΨQ軸。

(3)交點式：，其中、是二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)。若已知對稱軸和在x軸上

的截距，也可用此式。

5、二次函數(shù)的最值(10分)

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)

時，。

如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，

則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y

隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，

當(dāng)時，。

6、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y

0xyOx性質(zhì)(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸；

(2)對稱軸是x=,頂點坐標(biāo)是(,);

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x〈時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞時，

y隨x的增大而增大，簡記左減右增；

(4)拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，

(1)拋物線開口向下，并向下無限延伸；

(2)對稱軸是x=,頂點坐標(biāo)是(，);

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x〈時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞時，

y隨x的增大而減小，簡記左增右減；

(4)拋物線有最高點，當(dāng)乂=時，y有最大值，

7、二次函數(shù)中，的含義：

表示開口方向：＞0時，拋物線開口向上

＜0時，拋物線開口向下

與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=

表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：(0,)

8、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。

當(dāng)＞0時，圖像與x軸有兩個交點；

當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點；

當(dāng)＜0時，圖像與x軸沒有交點。

補(bǔ)充：

1、兩點間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法)

y

如圖：點A坐標(biāo)為(xl,yl)點B坐標(biāo)為(x2,y2)

則AB間的距離，即線段AB的長度為A0xl

B2、函數(shù)平移規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提

高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間)

左加右減、上加下減

開口方向?qū)ΨQ軸直線直線直線

頂點坐標(biāo)()增減性

當(dāng)時，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大;

當(dāng)時，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減少;

最值當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，求用代入法考點3.6、二次函數(shù)的應(yīng)用題

考點3.7、用函數(shù)觀念看方程與不等式

方程思想

數(shù)學(xué)思想函數(shù)思想

轉(zhuǎn)化思想

數(shù)形結(jié)合

分類討論

y=0一元一次方程kx+b=0直線與x軸交點

y>0kx+b>0x軸上方部分

y<0一元一次不等式kx+b<0x軸下方部分

二元一次方程組解是坐標(biāo)坐標(biāo)是解

y=0一元二次方程=0與x軸交點

y>0>0x軸上方部分

y<0一元二次不等式<0x軸下方部分

解是橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)是解

專題四空間圖形與證明

考點4.1點線面相交線平行線和視圖

直線、射線和線段

1、幾何圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2、點、線、面、體

(1)幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

(2)點動成線，線動成面，面動成體。

3、直線的概念

一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。

4、射線的概念

直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。

5、線段的概念

直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。

6、點、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個點可以用一個大寫字母表示。

一條直線可以用一個小寫字母表示。

一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。

一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。

注意：

(1)表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。

(2)直線和射線無長度，線段有長度。

(3)直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。

(4)點和直線的位置關(guān)系有線面兩種：

砥在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。

母在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。

7、直線的性質(zhì)

(1)直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過

兩點有且只有一條直線。

(2)過一點的直線有無數(shù)條。

(3)直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

(4)直線上有無窮多個點。

(5)兩條不同的直線至多有一個公共點。

8、線段的性質(zhì)

(1)線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。

(2)連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。

(3)線段的中點到兩端點的距離相等。

(4)線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。

9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

角

10、角的相關(guān)概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫

做角的邊。

當(dāng)角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的

余角。

如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補(bǔ)角，其中一個角叫做另一個角的

補(bǔ)角。

11、角的表示

角可以用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方

法：

?數(shù)字表示單獨的角，如4,N,等。

②1小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如4,4，々，&等。

③1一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如4,4：等。

03三個大寫英文字母表示任一個角，如&AD,ZfeAE,4AE等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩

側(cè)。

12、角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用

表示，1度記作"1°”,n度記作"n°"。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1，”。

把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1""。

1°=60'=60"

13、角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

(2)角的大小可以度量，可以比較

(3)角可以參與運算。

15、角的平分線及其性質(zhì)

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

(1)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

(2)到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

相交線

16、相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點

但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且

有一條公共邊的兩個角叫做臨補(bǔ)角。

臨補(bǔ)角互補(bǔ)，對頂角相等。

直線AB,CD與EF相交(或者說兩條直線AB,CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)成八

個角。其中?與*這兩個角分別在AB,CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同

的一對角叫做同位角；4與Z5這兩個角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位

置的兩個角叫做內(nèi)錯角；4與4在直線AB,CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的

兩個角叫做同旁內(nèi)角。

17、垂線

兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一

條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

直線AB,CD互相垂直，記作"AB_1CD"(或"CDJAB"),讀作"AB垂直于CD"(或"CD

垂直于AB")o

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

平行線(3~8分)

18、平行線的概念

在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號"〃，表示，如"AB/tD",

讀作"AB平行于CD"o

同一平面內(nèi)，兩條直線