2.5等腰三角形的軸對稱性課件蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊

第2章軸對稱圖形2.5等腰三角形的軸對稱性等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定等邊三角形的定義及性質(zhì)等邊三角形的判定直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)看到下面三角形了嗎，它有何特點(diǎn)呢？我們今天來探討一下等腰三角形的性質(zhì).1.性質(zhì)1等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).幾何語言：如圖2.5-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.知識點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)12.性質(zhì)2等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(簡稱“三線合一”).如圖2.5-1，在△ABC中，(1)∵

AB＝AC，AD⊥BC，∴

AD平分∠BAC，BD＝DC.(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC，AD⊥BC．3.對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高線、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸．特別提醒作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.特別解讀(1)這里的“線”是一條線段，給出一線的名稱，可以得出其他兩線的名稱.(2)作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直等關(guān)系的重要方法.例1如圖2.5-2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC＝100°，求∠B、∠C的度數(shù)；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.

(3)若BC＝3cm，求BD的長.特別提醒(1)在等腰三角形中，運(yùn)用“三線合一”時，已知其中“一線”，就可以得到另外“兩線”.根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)可以得到等線段、等角以及兩條線段互相垂直．(2)“等邊對等角”的前提是在同一個三角形中.1.判定定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”)．幾何語言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知識點(diǎn)等腰三角形的判定22.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個三角形中”；不同點(diǎn)：由三角形的兩邊相等，得到它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即等腰三角形的性質(zhì)：兩邊相等→這兩邊所對的角相等；等腰三角形的判定：兩角相等→這兩角所對的邊相等.3.拓展根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆命題可得出等腰三角形的三個判定方法：(1)三角形中一邊上的中線和高線重合時，利用線段的垂直平分線定理可以判定該三角形為等腰三角形；(2)三角形中一邊上的中線和對角的平分線重合時，利用三角形全等可以判定該三角形為等腰三角形；(3)三角形中一邊上的高線和對角的平分線重合時，直接利用三角形全等可以判定該三角形為等腰三角形.特別提醒(1)“等角對等邊”不能敘述為“如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩條腰相等”，因?yàn)樵谖磁卸ǔ鏊堑妊切沃?，不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.特別提醒(2)“等角對等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經(jīng)常通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角之間的關(guān)系得到角相等，從而得到所對的邊相等.[期末·朝陽區(qū)]如圖2.5-3，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．求證：E為AB的中點(diǎn)．例2解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個內(nèi)角相等即可.證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE．∴∠BAD＝∠ADE．∴AE＝DE．∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°．∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE．∴BE＝DE＝AE.∴E為AB的中點(diǎn)．方法點(diǎn)撥本題包括兩個模型：(1)由“角平分線+平行線”推出“等腰三角形”，實(shí)際上由“①角平分線，②平行線，③等腰三角形”三個結(jié)論中兩個可以推出另一個成立；(2)由“直角三角形+等腰三角形”推出“斜邊中點(diǎn)”，實(shí)際上由“①直角三角形，②等腰三角形，③斜邊中點(diǎn)”三個結(jié)論中兩個可以推出另一個成立.1.定義三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.2.性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；知識點(diǎn)等邊三角形的定義及性質(zhì)3(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高線、中線、對應(yīng)的角平分線重合，且長度相等.特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：(1)任意兩邊都可以作為腰；(2)任意一個角都可以作為頂角；(3)任意一邊上都有“三線合一”.如圖2.5-4，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，且DE⊥AC、EF⊥BC、FD⊥AB，計(jì)算△DEF各個內(nèi)角的度數(shù).例3解題秘方：緊扣等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°，求角的度數(shù).解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴∠EDF＝180°－∠ADE－∠FDB＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.∴△DEF各個內(nèi)角的度數(shù)都是60°.解法提醒等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°，為三角形的內(nèi)角直接提供了角的條件.若同時要運(yùn)用三個內(nèi)角，只需以一個角為例計(jì)算，其余可同理得到.如圖2.5-5，等邊三角形ABC的邊長為3，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上.若DE＝DB，求CE的長.解題秘方：利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)將未知線段向已知線段轉(zhuǎn)化.例4

方法點(diǎn)撥等邊三角形的任何一邊上都有“三線合一”的性質(zhì)，有時要運(yùn)用的和已知的不一致，需要通過“三線合一”的性質(zhì)將未知線段向已知線段轉(zhuǎn)化.1.判定定理1三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖2.5-6，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形.知識點(diǎn)等邊三角形的判定42.判定定理2有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖2.5-6，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等邊三角形.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖：三角形思路1：三邊相等思路2：三角相等等邊三角形三角形等腰三角形的判定等腰三角形有一個角等于60°等邊三角形特別解讀(1)在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，判定定理2都成立.(2)等邊三角形的判定方法：①若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；②若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；③若已知三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.如圖2.5-7，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB、OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，連接OE、OF.求證：△OEF是等邊三角形.例5解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得到△OEF是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵CO、BO分別平分∠ACB、∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°.∵OB、OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，∴OE＝BE，OF＝CF，∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠OFE＝60°，∴△OEF是等邊三角形.教你一招(1)從角的角度證明三角形是等邊三角形的兩條思路：一是證明三角形的三個內(nèi)角相等；二是求出三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)都是60°.(2)在已知的等邊三角形內(nèi)部判定某個三角形是等邊三角形時，原等邊三角形的三個內(nèi)角為60°，為求新等邊三角形的內(nèi)角度數(shù)提供了條件.如圖2.5-8，C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM和△CBN都是等邊三角形，AN、MC相交于點(diǎn)E，BM、CN相交于點(diǎn)F.求證：例6(1)AN＝MB；解題秘方：要證AN＝MB，只需證△ACN≌△MCB；

(2)△CEF是等邊三角形.解題秘方：根據(jù)已知條件，易求∠

ECF＝60°，故證明△ECF為等腰三角形即可.

知識點(diǎn)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)5(1)在直角三角形中，有斜邊上的中點(diǎn)，通?？紤]運(yùn)用這一性質(zhì)解題.(2)根據(jù)性質(zhì)可知直角三角形斜邊上的中線將直角三角形分成兩個等腰三角形.特別提醒此性質(zhì)在填空和選擇題中可以直接應(yīng)用，在解答題中需要取斜邊上的中線，構(gòu)造等腰三角形證明線段的倍分關(guān)系和計(jì)算角的度數(shù).

特別警示應(yīng)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)是求線段長度和證明線段倍分關(guān)系的重要方法.[中考·淮安]如圖2.5-11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB＝10，則DE的長是()A.8

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