遼寧省朝陽市朝陽縣柳城高中2025屆數學高一下期末調研試題含解析

遼寧省朝陽市朝陽縣柳城高中2025屆數學高一下期末調研試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．2．已知，，則（）A．1 B．2 C． D．33．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形4．已知，，且，則實數等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．95．用數學歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數式是（）A． B．C． D．6．設，且，則下列各不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．8．已知點A(－1,1)和圓C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光線從A經x軸反射到圓C上的最短路程是A．6－2 B．8 C．4 D．109．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)10．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F且EF＝1，則當E，F移動時，下列結論中錯誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列，其中，若數列中，恒成立，則實數的取值范圍是_______.12．若角的終邊經過點，則的值為________13．設，其中，則的值為________.14．在中角所對的邊分別為，若則___________15．我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術”，即的，其中分別為內角的對邊.若，且則的面積的最大值為____．16．已知等比數列的前項和為，，則的值是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求；（2）求的值.18．某生產企業(yè)研發(fā)了一種新產品，該產品在試銷一個階段后得到銷售單價（單位：元）和銷售量（單位：萬件）之間的一組數據，如下表所示：銷售單價/元銷售量/萬件（1）根據表中數據，建立關于的線性回歸方程；（2）從反饋的信息來看，消費者對該產品的心理價（單位：元/件）在內，已知該產品的成本是元，那么在消費者對該產品的心理價的范圍內，銷售單價定為多少時，企業(yè)才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）參考數據：參考公式：19．設，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數列），則稱數列是一個長度為的“弱等差數列”.（1）判斷下列數列是否為“弱等差數列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數列為“弱等差數列”.（3）對任意給定的正整數，若，是否總存在正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由20．某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第1號車站（首發(fā)站）乘車，假設每人自第2號站開始，在每個車站下車是等可能的，約定用有序實數對表示“甲在號車站下車，乙在號車站下車”（Ⅰ）用有序實數對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來；（Ⅱ）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．21．已知直線與直線的交點為P，點Q是圓上的動點.（1）求點P的坐標；（2）求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由題得，設與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【詳解】由題可得：，設與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【點睛】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應用，考查計算能力，屬于較易題．2、A【解析】

根據向量的坐標運算法則直接求解.【詳解】因為,,所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算,屬于基礎題.3、D【解析】試題分析：因為,根據向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.4、C【解析】

由可知,再利用坐標公式求解.【詳解】因為,,且,所以,即,解得,故選:C.【點睛】本題考查向量的坐標運算,解題關鍵是明確.5、C【解析】

分別求出n＝k時左端的表達式，和n＝k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數式．【詳解】當n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數式是故選：C．【點睛】本題考查用數學歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達式和n＝k+1時左端的表達式，是解題的關鍵．6、D【解析】

根據不等式的性質，逐項檢驗，即可判斷結果.【詳解】對于選項A，若，顯然不成立；對于選項B，若，顯然不成立；對于選項C，若，顯然不成立；對于選項D，因為，所以，故正確.故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質，屬于基礎題.7、D【解析】

先化簡集合,再利用交集運算法則求.【詳解】,,,故選:D.【點睛】本題考查集合的運算,屬于基礎題.8、B【解析】

點A（﹣1，1）關于x軸的對稱點B（﹣1，﹣1）在反射光線上，當反射光線過圓心時，光線從點A經x軸反射到圓周C的路程最短，最短為|BC|﹣R．【詳解】由反射定律得點A（﹣1，1）關于x軸的對稱點B（﹣1，﹣1）在反射光線上，當反射光線過圓心時，最短距離為|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，故光線從點A經x軸反射到圓周C的最短路程為1．故選B．【點睛】本題考查光線的反射定律的應用，以及兩點間的距離公式的應用．9、D【解析】

仔細觀察圖象，尋找散點圖間的相互關系，主要觀察這些散點是否圍繞一條曲線附近排列著，由此能夠得到正確答案．【詳解】散點圖（1）中，所有的散點都在曲線上，所以（1）具有函數關系；

散點圖（2）中，所有的散點都分布在一條直線的附近，所以（2）具有相關關系；

散點圖（3）中，所有的散點都分布在一條曲線的附近，所以（3）具有相關關系，

散點圖（4）中，所有的散點雜亂無章，沒有分布在一條曲線的附近，所以（4）沒有相關關系．

故選D．【點睛】本題考查散點圖和相關關系，是基礎題．10、B【解析】

根據面面平行的性質定理，判斷A選項是否正確，根據錐體體積計算公式，判斷BCD選項是否正確.【詳解】對于A選項，易得平面與平面平行，所以平面成立，A選項結論正確.對于B選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以四面體體積為定值，故B選項結論錯誤.對于C選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以三棱錐體積為定值，故C選項結論正確.對于D選項，由于三角形面積為定值，到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.綜上所述，錯誤的結論為B選項.故選：B【點睛】本小題主要考查利用面面平行證明線面平行，考查三棱錐（四面體）體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由函數（數列）單調性確定的項，哪些項取，哪些項取，再由是最小項，得不等關系．【詳解】由題意數列是遞增數列，數列是遞減數列，存在，使得時，，當時，，∵數列中，是唯一的最小項，∴或，或，或，綜上．∴的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查數列的單調性與最值．解題時楞借助函數的單調性求解．但數列是特殊的函數，它的自變量只能取正整數，因此討論時與連續(xù)函數有一些區(qū)別．12、.【解析】

根據三角函數的定義求出的值，然后利用反三角函數的定義得出的值.【詳解】由三角函數的定義可得，，故答案為.【點睛】本題考查三角函數的定義以及反三角函數的定義，解本題的關鍵就是利用三角函數的定義求出的值，考查計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

由兩角差的正弦公式以及誘導公式，即可求出的值．【詳解】，所以，因為，故．【點睛】本題主要考查兩角差的正弦公式的逆用以及誘導公式的應用．14、【解析】,；由正弦定理，得，解得.考點：正弦定理.15、【解析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【詳解】因為，所以整理可得，由正弦定理得因為，所以所以當時，的面積的最大值為【點睛】本題用到的知識點有同角三角函數的基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學生分析問題的能力和計算整理能力．16、1【解析】

根據等比數列前項和公式，由可得，通過化簡可得，代入的值即可得結果.【詳解】∵，∴，顯然，∴，∴，∴，∴，故答案為1．【點睛】本題主要考查等比數列的前項和公式，本題解題的關鍵是看出數列的公比的值，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據三角函數的基本關系式，可得，再結合正切的倍角公式，即可求解；（2）由（1）知，結合三角函數的基本關系式，即可求解，得到答案.【詳解】（1）由，根據三角函數的基本關系式，可得，所以.（2）由（1）知，又由.【點睛】本題主要考查了三角函數的基本關系式和正切的倍角公式的化簡求值，其中解答中熟記三角函數的基本關系式和三角恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.18、（1）；（2）8.75元.【解析】

(1)根據最小二乘法求線性回歸方程；(2)利用線性回歸方程建立利潤的函數，再求此函數的最大值.【詳解】（1）關于的回歸方程為.（2）利潤該函數的對稱軸方程是，故銷售單價定為元時，企業(yè)才能獲得最大利潤.【點睛】本題考查線性回歸方程和求利潤的最值，屬于基礎題.19、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據題意找出符合條件的為等差數列即可；

（3）首先，根據，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發(fā)現不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發(fā)現多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結論得證.【詳解】解：（1）數列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數列②2，，，，不是“弱等差數列”

否則，若數列②為“弱等差數列”，則存在實數構成等差數列，設公差為，

，

，又與矛盾，所以數列②2，，，，不是“弱等差數列”；

（2）證明：設，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數列為“弱等差數列”；（3）若存在這樣的正整數，使得

成立．

因為，，

則，其中待定．

從而，

又，∴當時，總成立．

如果取適當的，使得，又有

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側展開為關于的多項式，最高次項為，其次數為，

故，對于任意給定正整數，當充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”.【點睛】本題要求學生能夠從已知分析出“弱等差數列”要想成立所應該具備的要求，進而進行推理，轉化，最后進行驗證，本題難度相當大.20、（Ⅰ）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】(Ⅰ)甲、乙兩人下車的所有可能的結果為(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4