2025年中考數(shù)學(xué)專題72 三角形中的新定義問題（原卷版）

例題精講例題精講【例1】．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°＝；（2）對(duì)于0°＜A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是；（3）如圖，已知cosA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．變式訓(xùn)練【變1-1】．定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，則△ABC的面積為．【變1-2】．定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“奇妙三角形”（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．【例2】．定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為120°的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知△ABC是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度數(shù)．【解決問題】（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，點(diǎn)D在AC邊上，若△BCD是“準(zhǔn)等邊三角形”，求BD的長．變式訓(xùn)練【變2-1】．新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△ABC中AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此時(shí)AC的長為．【變2-2】．【了解概念】定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱這個(gè)三角形為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線．【理解運(yùn)用】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線三角形，并說明理由；【拓展提升】（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB，MC，若△ABC和△MBC均為半線三角形，且AD和MD分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半線，求∠AMC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫出BM的長．1．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為．2．當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，其中α稱為“奇妙角”．如果一個(gè)“奇妙三角形”的一個(gè)內(nèi)角為60°，那么這個(gè)“奇妙三角形”的另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．3．新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，探究如下問題：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果準(zhǔn)外心P在BC邊上，那么PC的長為．4．定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱為垂足三角形．在銳角三角形ABC的每條邊上各取一點(diǎn)D，E，F(xiàn)，△DEF稱為△ABC的內(nèi)接三角形．垂足三角形的性質(zhì)：在銳角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝AC＝5，BC＝6，則△DEF周長的最小值為．5．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°＝．（2）sad90°＝．（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．6．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）如圖①，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫出，判斷△DAB與△EBC是否相似：（填“是”或“否”）；（2）如圖②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，則△ABC的三分線的長為．7．概念學(xué)習(xí)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．理解概念：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”．概念應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線．動(dòng)手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割線，請(qǐng)求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．8．定義：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c滿足ac+a2＝b2則稱這個(gè)三角形為“類勾股三角形”．請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問題：（1）命題：“直角三角形都是類勾股三角形”是（填“真”或“假”）命題．（2）如圖1所示，若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，請(qǐng)求∠A的度數(shù)．（3）如圖2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求證：△ABC為“類勾股三角形”．志明同學(xué)想到可以在AB上找一點(diǎn)D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，請(qǐng)你幫助志明完成證明過程.9．我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)（D與A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；（2）在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上（D與A、B不重合）時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長為22，是否存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說明理由．10．定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填寫序號(hào)）．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù)．11．定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形．探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫出分割線，并說明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為SN．①若△DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時(shí)，2＜Sn＜3？（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）②當(dāng)n＞1時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映Sn﹣1，Sn，Sn+1之間關(guān)系的等式．（不必證明）12．定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”．（1）如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是4×3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫出（或在圖中直接描出）AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；（2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段BD的長；（3）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長交⊙O于點(diǎn)D．若點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”．①求證：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．13．定義1：如圖1，若點(diǎn)H在直線l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線段MH、NH，滿足∠1＝∠2，則稱MH和NH關(guān)于直線l滿足“光學(xué)性質(zhì)”；定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC，AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為△ABC的光線三角形．閱讀以上定義，并探究問題：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC，AB上．（1）如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)E，D．①證明：△DEF為△ABC的光線三角形；②證明：△ABC的光線三角形是唯一的．14．新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．寫出∠BAD，∠BAC和∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)D、點(diǎn)E均在△ABC外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分∠BME．（3）如圖③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，試探究∠B和∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．我們定義：三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形是2倍角三角形．（1）定義應(yīng)用如果一個(gè)等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為；（2）性質(zhì)探索小思同學(xué)通過從“特殊到一般”的過程，對(duì)2倍角三角形進(jìn)行研究，得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．下面是小思同學(xué)對(duì)其中一種特殊情形的證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：BC2＝AC（AB+AC）．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱這個(gè)三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離”．（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”的點(diǎn)是，“和諧距離”是；（2）連接BD，點(diǎn)M，N是BD上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N不重合），點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△EMN是以MN為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，直線y＝?x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)H、G，點(diǎn)Q是線段HG上一點(diǎn)，若存在△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，直接寫出b的取值范圍．17．定義：若連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段能把該三角形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個(gè)三角形叫做智慧三角形．（1）如圖1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD為該三角形的智慧線，CD＝1，AC＝，則BD長為，∠B的度數(shù)為．（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F(xiàn)是斜邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AF，以AF為直角邊作等腰直角三角形AFE（點(diǎn)A，F(xiàn)，E按順時(shí)針排列），∠EAF＝90°，AE交BC于點(diǎn)D，連結(jié)EC，EB．當(dāng)∠BDE＝2∠BCE時(shí)，求證：ED是△EBC的智慧線．（3）如圖3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝．若△BCD是智慧三角形，且AC為智慧線，求△BCD的面積．18．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE＝BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，求出△ABC的面積．19．定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝°；（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，①求證：△BDC是“近直角三角形”；②在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的長．20．愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時(shí)，a＝，b＝；如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝2時(shí)，a2+b2＝；【歸納證明】（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．【拓展證明】（3）如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD＝3，AB＝3，求AF的長．21．定義：若△ABC中，其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”．（1）若Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，則其余兩個(gè)角的度數(shù)為．（2）如圖1，在?ABCD中，∠C＝72°，點(diǎn)E在邊CD上，以BE為折痕，將△BCE向上翻折，點(diǎn)E