2025年中考數(shù)學(xué)專題29 圓內(nèi)最大張角之米勒角問題（原卷版）

模型介紹模型介紹故事背景：米勒問題和米勒定理1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個著名的極值問題中第一個極值問題而引人注目，因為德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”.米勒問題：已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.證明：如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點C的任意一點，連結(jié)A，B，因為∠AC’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。米勒定理在解題中的應(yīng)用常常以解析幾何、平面幾何和實際應(yīng)用為背景進行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力。例題精講例題精講【例1】．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（1，0），B（5，0），C（0，t）．當(dāng)t＞0時，若∠ACB最大，則t的值為（）A． B． C． D．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時，則BP＝．【變式1-2】．如圖，∠AOB＝60°，M，N是OB上的點，OM＝4，MN＝．（1）設(shè)⊙O過點M、N，C、D分別是MN同側(cè)的圓上點和圓外點．求證：∠MCN＞∠MDN；（2）若P是OA上的動點，求∠MPN的最大值．【例2】．在直角坐標(biāo)系中，給定兩點M（1，4），N（﹣1，2），在x軸的正半軸上，求一點P，使∠MPN最大，則P點的坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是米．【變式2-2】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時，∠AED最大．1．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a＞0，b＞0），若AB＝4且∠ACB最大時，b的值為（）A．2+2 B．﹣2+2 C．2+4 D．﹣2+42．如圖，A，B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個端點，點C表示射門點，連接AC，BC，則∠ACB就是射門角．在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進球的可能性就越大．球員甲帶球線路ED與球門AB垂直，D為垂足，點C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時就是帶球線路ED上的最佳射門角．若AB＝4，BD＝1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時DC的長度為（）A．2 B．3 C． D．3．已知點A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點C為x軸正半軸上一動點，當(dāng)∠ACB最大時，點C的坐標(biāo)是．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，若∠DPM的度數(shù)最大，則BP＝．5．某兒童游樂場的平面圖如圖所示，場所工作人員想在OD邊上的點P處安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控OC邊上的AB段，為了讓監(jiān)控效果更佳，必須要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，問在OD邊上是否存在一點P，使得∠APB最大？若存在，請求出此時OP的長和，∠APB的度數(shù)；若不存在，請說明理由．6．某商場引進消毒機器人每天進行全場消毒工作，該機器人采取精準(zhǔn)直線噴射技術(shù)，實現(xiàn)了準(zhǔn)確、快速和節(jié)約的目標(biāo)．在設(shè)置參數(shù)的時候，工作人員通過對商場門口身形高大的“大黃蜂”進行多次消毒試驗發(fā)現(xiàn)：如圖，若對A點進行消毒，適當(dāng)調(diào)整機器人CD到AB的距離，使得sin（α﹣β）的值盡可能的大，能提高消毒的效率．已知“大黃蜂”AB身高2.5米，機器人CD高0.4米．則當(dāng)sin（α﹣β）最大時，機器人CD和“大黃蜂”AB之間距離BC等于．7．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x軸于點B，連接AC畫圖操作：（1）在y軸正半軸上求作點P，使得∠APB＝∠ACB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）理解應(yīng)用：（2）在（1）的條件下，若tan∠APB＝，求點P的坐標(biāo)；②當(dāng)點P的坐標(biāo)為時，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直線y＝x+4上存在點P，使得∠APB最大，求點P的坐標(biāo)．8．問題提出（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為CD的中點，則∠AEB∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；問題探究（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當(dāng)點P位于何處時，∠APB最大？并說明理由；問題解決（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即AB＝6米），下邊沿到地面的距離BD＝11.6米．如果小剛的眼睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠(yuǎn)處正對廣告牌走近時，在P處看廣告效果最好（視角最大），請你在圖③中找到點P的位置，并計算此時小剛與大樓AD之間的距離．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負(fù)半軸上運動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標(biāo)為．10．問題提出（1）如圖①，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作⊙O的切線l，在l上任取一點D，連接BD、CD，則∠BAC與∠BDC的大小關(guān)系為；問題探究（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E為AD邊上一點，當(dāng)∠BEC最大時，求cos∠BEC的值；問題解決（3）如圖③，某商場在一部向下運行的手扶電梯BC的終點C的正上方豎直懸掛一幅高度DE＝4m的廣告畫．已知廣告畫的最低點D到地面AC的距離為6.5m，該電梯的高AB為4m，它所占水平地面的長AC為8m．小明從點B出發(fā)，站在該電梯上觀看廣告畫DE，其觀看視角為∠DPE．已知小明的眼睛P到腳底的距離PQ為1.5m，電梯在豎直AB方向上的下降速度為20cm/s，求當(dāng)小明站在電梯上多長時間時，∠DPE取得最大值．11．問題背景（1）如圖（1）△ABC內(nèi)接于⊙O，過A作⊙O的切線l，在l上任取一個不同于點A的點P，連接PB、PC，比較∠BPC與∠BAC的大小，并說明理由．問題解決（2）如圖（2），A（0，2），B（0，4），在x軸正半軸上是否存在一點P，使得cos∠APB最?。咳舸嬖?，求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．拓展應(yīng)用（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一點，AE＝AD，P是DE右側(cè)四邊形ABCD內(nèi)一點，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值.12．已知：∠MBN＝90°，點A在射線BM上，點C在射線BN上，D在線段BA上，⊙O是△ACD的外接圓；（1）若⊙O與BN的另一個交點為E，如圖1，當(dāng)，BD＝1，AD＝2時，求CE的長；（2）如圖2，當(dāng)∠BCA＝∠BDC時，判斷BN與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在BN上作出C點，使得∠ACD最大，并求當(dāng)AD＝2，時，⊙O的半徑．13．【發(fā)現(xiàn)問題】（1）如圖①，點A，B在∠MON的邊OM上，過A，B兩點的圓交ON于C，D兩點，點E在線段CD上（不與點C，D重合），點F在射線DN上（不與點D重合）．試探究∠AEB和∠AFB之間的大小關(guān)系，并說明理由；【探究問題】（2）如圖②，∠MON＝90°，點A，B在射線ON上，點P是射線OM上一動點，AB＝3OB＝3，當(dāng)∠APB最大時，請求出此時OP的長；【解決問題】（3）如圖③，一足球球門寬AB約為4米，一球員從距A點5米的O點（點O，A，B均在一條直線上），沿與OM成一定角度的ON方向帶球．試問，該球員能否在射線ON上找到一點P，使得點P為最佳射門點（即∠APB最大）？若能找到，求出此時該球員跑過的路程長；若找不到，請說明理由．14．問題探究（1）如圖1，C，D是∠AOB的邊OA上兩點，直線OB與⊙I相切于點P，點P1是直線OB上異于點P的任意一點，請在圖1中畫出∠CP1D，試判斷∠CPD與∠CP1D的大小關(guān)系，并證明；（2）如圖2，已知矩形ABCD中，點M在邊BC上，點E在邊AB上，AB＝8，AE＝6，當(dāng)∠AME最大時，請求出此時BM的長；問題解決（3）如圖3，四邊形ABCD是某車間的平面示意圖，AB＝4米，AD＝8米，∠A＝∠D＝60°，∠BCD＝90°，工作人員想在線段AD上選一點M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊BC，現(xiàn)只要使得∠BMC最大，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳．問在線段AD上是否存在點M，使∠BMC最大？若存在，請求出DM的長；若不存在，請說明理由．15．如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點（點B在點A左側(cè)），與y軸交于點C，直線y＝kx+b經(jīng)過點A，C，且OA＝2OC＝4．（1）求拋物線的解析式；（2）點E為AC上方拋物線上一動點，過點E作EF∥y軸交AC于點F，求線段EF的最大值；（3）在（2）的結(jié)論下，若點G是x軸上一點，當(dāng)∠CGF的度數(shù)最大時，求點G的坐標(biāo)．16．如圖，頂點為M的拋物