2025年中考數(shù)學(xué)專題08 垂線段最短專題（原卷版）

模型介紹模型介紹R【結(jié)論一】如圖直線外一點(diǎn)A到直線上所有點(diǎn)的距離中，垂線段AM最小.R【結(jié)論二】如圖，在三角形ABC中，M、N分別是DE、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值。則有以下結(jié)論成立：過A作BC的垂線，垂足為Q，于DE相交于P，當(dāng)M、N分別與P、Q重合時(shí)，AM+MN有最小值，即為AQ的長度.R方法點(diǎn)撥1.題型特征：①一定點(diǎn)②動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線R2.模型本質(zhì)：過定點(diǎn)作定直線的垂線，垂線段最短.例題精講例題精講【例1】.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的取值范圍是．變式訓(xùn)練【變式1】．如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是．【變式2】.如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是．【變式3】.如圖，在銳角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，試求CM+MN的最小值．【變式4】.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+PB的最小值是．

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．102．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．63．如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4.54．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．5．如圖所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別向終點(diǎn)B，C移動(dòng)，連接EF，在移動(dòng)的過程中，EF的最小值為（）A．1B．C．D．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ．則CQ的最小值是（）A． B．1 C． D．7．如圖，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，點(diǎn)M是∠ABC平分線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是．8．如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分別為線段AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，則BE+EF的最小值為．9．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)，G是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且FG＝，連接EF，BG，則EF+BG的最小值為．10．如圖，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長的最大值為．11．如圖，邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過C、E、P三點(diǎn)⊙O交AC于F點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，A的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，4），點(diǎn)B是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，則PM的最小值為．14．如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE，以DE為斜邊作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，則BF的取值范圍是．15．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，動(dòng)點(diǎn)M、N在斜邊AB上，∠MCN＝45°，求MN的最小值．16．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)．（1）求AM+BM+CM的最小值；（2）求AM+BM的最小值．

17．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，線段A′C與x軸交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D與O、A點(diǎn)不重合．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求證：△OCD∽△A′BD；（3）求的最小值．

18．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)A（1，0），C（﹣3，0）．與y軸交點(diǎn)B（0，3），如圖1所示，D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1若R為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AR，則RB+AR的最小值為2