五年級奧數(shù)典型題-沖刺100測評卷10《因數(shù)和倍數(shù)》（解析版）

【五年級奧數(shù)舉一反三—全國通用】測評卷10《因數(shù)和倍數(shù)》試卷滿分：100分考試時(shí)間：100分鐘姓名：_________班級：_________得分：_________一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．三個(gè)不同正整數(shù)的和為564，其中一個(gè)數(shù)除以3余數(shù)為1，另一個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)為3，第三個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)為5，商都相同，則相同的商為A．15 B．21 C．35 D．37【解答】解：故選：。2．某班有50多人上體育課，他們站成一排，老師讓他們按1，2，3，4，5，6，7循環(huán)報(bào)數(shù)，最后一人報(bào)的數(shù)是4，這個(gè)班有人上體育課．A．51 B．50 C．53 D．57【解答】解：接近50的7的倍數(shù)有：49和56，，不符合題意，所以這個(gè)班有53人上體育課．故選：。3．從這11個(gè)整數(shù)中任意取出6個(gè)數(shù)，則下面結(jié)論正確的共個(gè)．①其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；②其中必有一個(gè)數(shù)是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；③其中必有一個(gè)數(shù)的2倍是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：根據(jù)上面的分析可知：從這11個(gè)整數(shù)中任意取出6個(gè)數(shù)，①其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；此說法正確．③其中必有一個(gè)數(shù)的2倍是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．此說法正確．故選：。4．商店有三種糖，甲種糖每袋1.5千克，乙種糖每袋2千克，丙種糖每袋2.5千克，為了方便顧客，將大袋改為小袋，把它們?nèi)臑?.5千克的小袋，這樣奶糖正好裝了126袋，水果糖正好裝104袋，酥糖正好205袋，原來的甲、乙、丙三種糖的品種依次是A．酥糖、水果糖、奶糖 B．奶糖、水果糖、酥糖 C．奶糖、酥糖、水果糖 D．水果糖、奶糖、酥糖【解答】解：由題意，甲種糖一袋改3小袋，乙種糖一袋改4小袋，丙種糖一袋改5小袋，因?yàn)槟烫钦醚b了126袋，水果糖正好裝104袋，酥糖正好205袋，而126能被3整除，104能被4整除，205能被5整除，所以甲、乙、丙三種糖的品種依次是奶糖、水果糖、酥糖，故選：。5．兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是20，最小公倍數(shù)是100，下面說法正確的有個(gè)．（1）兩個(gè)數(shù)的乘積是2000．（2）兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大10倍，最大公約數(shù)擴(kuò)大100倍．（3）兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大10倍，最小公倍數(shù)擴(kuò)大10倍．（4）兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大10倍，兩個(gè)數(shù)乘積擴(kuò)大100倍．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根據(jù)題意，可知這兩個(gè)數(shù)分別是20和100；（1），所以兩個(gè)數(shù)的乘積是2000，所以原說法正確的；（2）兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大10倍，最大公約數(shù)變?yōu)椋菙U(kuò)大了10倍，所以原說法錯(cuò)誤；（3）兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大10倍，最小公倍數(shù)變?yōu)?，是擴(kuò)大了10倍，所以原說法正確；（4）兩個(gè)數(shù)都擴(kuò)大10倍，變?yōu)?00和1000，乘積變?yōu)?00000，也即兩個(gè)數(shù)乘積擴(kuò)大100倍，所以原說法正確；正確的說法有3個(gè)．故選：。6．用四個(gè)數(shù)碼1，3，4和6所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的所有整數(shù)中，是6的倍數(shù)的有A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由分析可知，用四個(gè)數(shù)碼1，3，4和6所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的所有整數(shù)中，是6的倍數(shù)的有36和6這兩個(gè)數(shù)．故選：。7．兩個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的．A．公因數(shù) B．最大公因數(shù) C．公倍數(shù) D．最小公倍數(shù)【解答】解：由分析可得：兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的．故選：。8．分母小于60，分子不大于6的最簡真分?jǐn)?shù)有個(gè)．A．59 B．87 C．197 D．215【解答】解：根據(jù)題意可得：①當(dāng)分子是1時(shí)，分母可以從2到59，共58個(gè)；②當(dāng)分子是2、3、5時(shí)，因?yàn)樗麄兌际琴|(zhì)數(shù)，因此分母必須大于分子，且不是分子的倍數(shù)，當(dāng)分子是2時(shí)，在1到59之間有偶數(shù)29個(gè)個(gè)數(shù)不符合條件，所以有個(gè)；當(dāng)分子是3時(shí)，在1到59之間有3的倍數(shù)18個(gè)個(gè)，所以有個(gè)；當(dāng)分子是5時(shí)，在1到59之間是5的倍數(shù)的11個(gè)個(gè)，所以個(gè)；③因?yàn)楫?dāng)分子是4時(shí)是合數(shù)，分母不能為偶數(shù)，在1到59之間有偶數(shù)29個(gè)，所以有個(gè)；④分子是6時(shí)，6是合數(shù)，分母不能為偶數(shù)，在1到59之間有偶數(shù)29個(gè)個(gè)，又不能是3的倍數(shù)，1至59之間不是偶數(shù)且是3的倍數(shù)有10個(gè)，則所以共有個(gè)．所以分子不大于6而分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有：（個(gè)）．故選：。9．若干位小朋友排成一行，從左面第一個(gè)人開始，每隔2人發(fā)一個(gè)蘋果，從右面第一人開始，每隔4人發(fā)一個(gè)桔子，結(jié)果有10個(gè)小朋友蘋果和桔子都拿到了，那么這些小朋友最多有人．A．16 B．31 C．158 D．166【解答】解：每人就會有1人拿到兩種水果．先讓12人拿到兩種水果，并且在這一行中，兩端的兩人都拿到了兩種水果，因此共：（人）；然后從兩端去掉最少的人就可以了，要滿足左方第一個(gè)是蘋果，那么左方最少去掉3人，要滿足右方第一個(gè)拿到橘子，那么右方最少去掉5人；所以最多有：（人）；答：這些小朋友最多有158人．故選：。10．某加油站有二位員工，從今年月1日起規(guī)定：員工甲每工作3天后休息1天，員工乙每工作5天后休息2天，當(dāng)遇到二人都休息時(shí)，必須另聘一位臨時(shí)工，則今年共有天要聘1個(gè)時(shí)工．A．26 B．28 C．30 D．24【解答】解；甲每到4的倍數(shù)就休息，而乙每到7的倍數(shù)和比7的倍數(shù)少一天都休息．因?yàn)?和7的最小公倍數(shù)是28，因?yàn)榻衲晔瞧侥?，所以?8的倍數(shù)休息的日子時(shí)；（天），而每個(gè)28天中，第20天和第28天兩人都休息，所以全年共有（天）需要聘請臨時(shí)工．故選：。二．填空題（共11小題，滿分33分，每小題3分）11．有一條拉直的繩子，如果將它9等分的點(diǎn)涂上紅色記號，10等分的點(diǎn)涂上藍(lán)色記號，那么紅色記號與藍(lán)色記號之間的長度最短是2厘米，這根繩子長180厘米．【解答】解：9和10互質(zhì)，所以9與10的最小公倍數(shù)是：（厘米）答：這根繩子長180厘米．故答案為：180．12．大于0的自然數(shù)，如果滿足所有因數(shù)之和等于它自身的2倍，則這樣的數(shù)稱為完美數(shù)或完全數(shù)．比如，6的所有因數(shù)為1，2，3，6，，6是最小的完美數(shù)．是否有無限多個(gè)完美數(shù)的問題至今仍然是困擾人類的難題之一．研究完美數(shù)可以從計(jì)算自然數(shù)的所有因數(shù)之和開始，321的所有因數(shù)之和為432．【解答】解：根據(jù)分析，先將321分解質(zhì)因數(shù)，得，，可知，321的因數(shù)有1、3、107、321共4個(gè)，其因數(shù)之和．故答案是：432．13．六年級1班有30多人，個(gè)子最高的小明發(fā)現(xiàn)，放學(xué)站隊(duì)時(shí)無論是2人、還是3人或者4人站成一排，他都只能自己單獨(dú)站在最后，沒有人與他站一排．則六年級1班共有37人．【解答】解：，所以2、3、4的最小公倍數(shù)是，，，符合題意．答：六年級1班共有37人．14．某自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，包括1和本身在內(nèi)共有10個(gè)約數(shù)，那么這自然數(shù)是48．【解答】解：根據(jù)某自然數(shù)是3和4的倍數(shù)可得：這個(gè)自然數(shù)是12的倍數(shù)，12的倍數(shù)有：12、24、36、48、，所以它的約數(shù)有：（個(gè)）；，所以它的約數(shù)有：（個(gè)）；，所以它的約數(shù)個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；，所以它的約數(shù)個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；答：這個(gè)自然數(shù)是48．故答案為：48．15．一個(gè)兩位數(shù)，其數(shù)字和是它的約數(shù)，數(shù)字差（較大數(shù)減去較小數(shù)）也是它的約數(shù)，這樣的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)共有19個(gè)．【解答】解：枚舉法：（1）尾數(shù)為0的有：10，20，30，40，50，60，70，80，90．（2）尾數(shù)不為0的有：12，21，24，36，42，45，48，54，63，84．故答案為：1916．把330個(gè)蘋果、240個(gè)桔子平均分給小朋友，分完后蘋果剩下10個(gè)，桔子正好分完，那么最多有80個(gè)小朋友．【解答】解：（個(gè)）（個(gè)）故答案為：80．17．2016名同學(xué)排成一排，從左到右依次按照1，，報(bào)數(shù)，若第2016名同學(xué)所報(bào)的數(shù)恰是，則給這輪中所有報(bào)的同學(xué)發(fā)放一件新年禮物．那么無論取何值，有576名同學(xué)將不可能得到新年禮物．【解答】解：首先從左到右這2016名同學(xué)編號為．如果某個(gè)同學(xué)報(bào)的數(shù)是，則說明這個(gè)同學(xué)的編號恰好是的倍數(shù)，所以的倍數(shù)的同學(xué)都是的倍數(shù)，那么一定能被2016整除，對2016分解質(zhì)因數(shù)．那么與2016互質(zhì)的數(shù)字是永遠(yuǎn)不可能得到禮物的．互質(zhì)的個(gè)數(shù)有（個(gè)）．故答案為：576．18．某日，可可到動物園里去觀賞動物．他看了猴子、熊貓和獅子三種動物，這三種動物的總量在26到32只之間．根據(jù)下面的情況：①熊貓和獅子的總數(shù)要比猴子的兩倍還多；②猴子和熊貓的總數(shù)要比獅子的三倍還多；③熊貓的數(shù)量沒有獅子數(shù)量的兩倍那么多，可知猴子有只，熊貓有只，獅子有只．【解答】解：，所以猴子的數(shù)量不能超過10只；，所以獅子的數(shù)量不能超過8只；如果獅子有7只，猴子有10只，則根據(jù)①熊貓的數(shù)量最少為14只，與③矛盾；若獅子7只，猴子有9只，則根據(jù)①熊貓的數(shù)量最少為12只，與②矛盾，則熊貓為13只，此時(shí)①②③均滿足；故答案為：9、13、7．19．有幾名海盜在神奇大陸挖到一批黑石共210顆，恰好每人分到的黑石顆數(shù)相同；這時(shí)又來了8名海盜又在附近挖出一批黑石共158顆，兩批合在一起恰好讓所有人分到的黑石顆數(shù)相同；那么原有海盜15名．【解答】解：210的因數(shù)中只有符合要求，所以原有海盜15名；故答案為：15．20．小朋友們圍成一圈，按逆時(shí)針方向連續(xù)報(bào)數(shù)，報(bào)13和報(bào)41是同一個(gè)人，報(bào)5和報(bào)47的是同一個(gè)人，那么參加報(bào)數(shù)的小朋友最多有14人．【解答】解：（人）故答案為：14．21．現(xiàn)有一疊2元和5元的紙幣若干，把它們分成錢數(shù)相同的兩堆，第一堆中2元和5元的張數(shù)相同，第二堆中2元和5元的錢數(shù)相等，那么這一疊錢至少有280元．【解答】解：因?yàn)榈谝欢阎?元和5元的張數(shù)相同；所以第一堆中錢數(shù)必為元的倍數(shù)，因?yàn)榈诙阎?元和5元的錢數(shù)相同，所以至少需5個(gè)2元與2個(gè)5元才能有相等的錢數(shù)，所以第二堆錢必為20元的倍數(shù)，但兩堆錢數(shù)相等，所以兩堆錢數(shù)都應(yīng)是：（元）的倍數(shù)，所以至少有：（元）．答：這疊錢至少有280元；故答案為：280．三．解答題（共9小題，滿分37分）22．（4分）有一根木棍上有兩種刻度．第一種刻度將木棍分成10等份，第二種刻度將木棍分成12等份，如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，請問木棍共被鋸成多少段？【解答】解：因?yàn)?0能同時(shí)被10和12整除，所以可假設(shè)木棍長是60，，．30能同時(shí)被5和6整除，所以在長為30的位置兩種刻度重合，所以木棍上的刻度線有（條），木棍被鋸成（段）．23．（4分）已知兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是24，那么這兩個(gè)數(shù)和的最大值是28．【解答】解：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4，那么這兩個(gè)數(shù)中最小的是4，最小公倍數(shù)是24，說明較小的數(shù)是4的倍數(shù)，倍數(shù)，較大的一定是24的約數(shù)，所以滿足要求的是4和24，8和12，而，，和最大是28．故答案為：28．24．（4分）一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，分子、分母之和為166，如果分子加上3，分母減去1后，新分?jǐn)?shù)化簡后是，原分?jǐn)?shù)是．【解答】解：，．原分?jǐn)?shù)為：．故答案為：．25．（4分）兩個(gè)自然數(shù)之和為667，它們的最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)所得的商等于120．求這兩個(gè)數(shù)．【解答】解：，由題意，假設(shè)23是它們的最大公約數(shù)，由于，，所以兩數(shù)分別是，；假設(shè)29是它們的最大公約數(shù)，由于，；所以兩數(shù)分別是，；答：這兩個(gè)數(shù)是115和552，或者232和435．26．（4分）設(shè)是小于50的自然數(shù)，求使得和有大于1的公約數(shù)的所有．【解答】解：對于小于50的自然數(shù)，設(shè)是和大于1的公約數(shù)，則整除，所以，進(jìn)而，由，可得，其中，所以，．因?yàn)?，所以，對?yīng)的分別是7，20，33，46．答：使得和有大于1的公約數(shù)的所有是7，20，33，46．27．（4分）已知兩個(gè)正整數(shù)的差是21，它們的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的和是287，求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？【解答】解：設(shè)所求兩個(gè)數(shù)為，，且，令，，則．根據(jù)題意由于所以，7而當(dāng)時(shí)，方程組無解．當(dāng)時(shí)，方程組變?yōu)榻獯穑?，故所求的兩?shù)為，．答：這兩個(gè)自然數(shù)為和91．故答案為：91．28．（4分）車庫里有8間車房，順序編號為1，2，3，4，5，6，7，8．這車房里所停的8輛汽車的車號恰好依次是8個(gè)三位連續(xù)整數(shù)．已知每輛車的車號都能被自己的車房號整除，求車號尾數(shù)是3的汽車車號．【解答】解：1，2，3，4，5，6，7，8的最小公倍數(shù)是840，因?yàn)?40加上中的某個(gè)數(shù)后必能被這個(gè)數(shù)整除，所以8輛汽車的車號依次為．故車號尾數(shù)是3的汽車車號是843．答：尾數(shù)是3的汽車車號是843．29．（4分）李叔