高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案

2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第7講函數(shù)模型及其應(yīng)用一．課標(biāo)要求：1．利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2．收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。二．命題走向函數(shù)應(yīng)用問題是高考的熱點，高考對應(yīng)用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢。高考中重視對環(huán)境保護及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活。預(yù)測2013年的高考，將再現(xiàn)其獨特的考察作用，而函數(shù)類應(yīng)用題，是考察的重點，因而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。（1）題型多以大題出現(xiàn)，以實際問題為背景，通過解決數(shù)學(xué)問題的過程，解釋問題；（2）題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過它們的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和最值等）來解釋生活現(xiàn)象，主要涉計經(jīng)濟、環(huán)保、能源、健康等社會現(xiàn)象。三．要點精講1．解決實際問題的解題過程（1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動關(guān)系，并用x、y分別表示問題中的變量；（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.這些步驟用框圖表示：實際問題實際問題函數(shù)模型實際問題的解函數(shù)模型的解抽象概括還原說明運用函數(shù)性質(zhì)2．解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲?，計算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。四．典例解析題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進行預(yù)測：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃？

觀測時間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬公頃）0.20000.40000.60010.79991.0001

解析：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象。將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（x∈N）。因為原有沙漠面積為95萬公頃，則到2010年底沙漠面積大約為95+0.5×15=98（萬公頃）。（2）設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃，由題意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。點評：初中我們學(xué)習(xí)過的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好。例2．（2006安徽理21）（已知函數(shù)在R上有定義，對任何實數(shù)和任何實數(shù)，都有（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明其中和均為常數(shù)；證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。（Ⅱ）①令，∵，∴，則。假設(shè)時，，則，而，∴，即成立。②令，∵，∴，假設(shè)時，，則，而，∴，即成立?！喑闪?。點評：該題應(yīng)用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征，從而使問題得到簡化。而不是一味的向函數(shù)求值方面靠攏。題型2：二次函數(shù)型例3．一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，則客車的運輸年數(shù)為（）時該客車的年平均利潤最大。（A）4（B）5（C）6（D）7x年468…（萬元）7117…解析：表中已給出了二次函數(shù)模型，由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點（4，7），（6，11），（8，7），則。解得a=－1，b=12，c=-25，即。而取“=”的條件為，即x=5，故選（B）。點評：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)，解決好實際問題。例4．行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數(shù)據(jù)如下表。在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13m，問汽車在剎車時的速度是多少？

剎車時車速v/km/h153040506080剎車距離s/m1.237.3012.218.4025.8044.40

解析：所求問題就變?yōu)楦鶕?jù)上表數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的問題。此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，可看出應(yīng)選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)。假設(shè)變量v與s之間有如下關(guān)系式：，因為車速為0時，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應(yīng)通過原點（0，0）。再在散點圖中任意選取兩點A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是。（代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的）將s=15.13代入得，解得v≈45.07。所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h。例5．某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為：=12，所以這時租出了88輛車.（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，當(dāng)x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決。題型3：分段函數(shù)型例6．某集團公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表：

一期2000年投入1億元興建垃圾堆肥廠年處理有機肥十多萬噸年綜合收益2千萬元二期2002年投入4億元興建垃圾焚燒發(fā)電一廠年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益4千萬元三期2004年投入2億元興建垃圾焚燒發(fā)電二廠年發(fā)電量1.3億kw/h年綜合收益4千萬元

如果每期的投次從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設(shè)2000年以后的x年的總收益為f(x)（單位：千萬元），試求f（x）的表達式，并預(yù)測到哪一年能收回全部投資款。解析：由表中的數(shù)據(jù)知，本題需用分段函數(shù)進行處理。由表中的數(shù)據(jù)易得，f(x)=。顯然，當(dāng)n≤4時，不能收回投資款。當(dāng)n≥5時，由f(n)=10n-24>70，得n>9.4，取n=10。所以到2010年可以收回全部投資款。點評：分段函數(shù)是根據(jù)實際問題分類討論函數(shù)的解析式，從而尋求在不同情況下實際問題的處理結(jié)果。例7．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖2—10中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2—10中（2）的拋物線表示.圖2—10（1）寫出圖中（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P＝f（t）；寫出圖中（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g（t）；（2）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?（注：市場售價和種植成本的單位：元／102，ｋg，時間單位：天）解：（1）由圖（1）可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f（t）＝由圖（2）可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300．（2）設(shè)t時刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）＝f（t）－g（t），即h（t）＝當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得h（t）＝－（t－50）2＋100，所以，當(dāng)t＝50時，h（t）取得區(qū)間［0，200］上的最大值100；當(dāng)200＜t≤300時，配方整理得h（t）＝－（t－350）2＋100，所以，當(dāng)t＝300時，h（t）取得區(qū)間（200，300］上的最大值87.5.綜上，由100＞87．5可知，h（t）在區(qū)間［0，300］上可以取得最大值100，此時t＝50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.題型4：三角函數(shù)型例8．某港口水的深度y(m)是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)：

t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

經(jīng)長期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象。（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認(rèn)為是安全的（船舶停靠時，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，請問，它最多能在港內(nèi)停留多少時間（忽進出港所需的時間）？解析：題中直接給出了具體的數(shù)學(xué)模型，因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進行解答。（1）由表中數(shù)據(jù)易得，周期T=12，，b=10，所以。（2）由題意，該船進出港時，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5（m），所以，化為，應(yīng)有，解得12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）。在同一天內(nèi)取k=0或1，所以1≤t≤5或13≤t≤17，所以該船最早能在凌晨1時進港，最晚在下午17時出港，在港口內(nèi)最多停留16個小時。點評：三角型函數(shù)解決實際問題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先，通過其單調(diào)性、周期性等性質(zhì)解決實際問題。特別是與物理知識中的電壓、電流、簡諧振動等知識結(jié)合到到一塊來出題，為此我們要對這些物理模型做到深入了解。題型5：不等式型例9．對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為,要求清洗完后的清潔度為.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.。(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某固定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.由得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程:解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.因為當(dāng),故方案乙的用水量較少.（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*）于是+當(dāng)為定值時,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.此時將代入（*）式得故時總用水量最少,此時第一次與第二次用水量分別為,最少總用水量是.當(dāng),故T()是增函數(shù)，這說明,隨著的值的最少總用水量,最少總用水量最少總用水量.點評：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷。例10．用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥．對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f（x）.（1）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實際意義；（2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)f（x）應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；（3）設(shè)f（x）=，現(xiàn)有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說明理由解：（1）f（0）=1表示沒有用水洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量將保持原樣．（2）函數(shù)f（x）應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：f（0）=1，f（1）=，在［0，＋∞）上f（x）單調(diào)遞減，且0＜f（x）≤1．（3）設(shè)僅清洗一次，殘留的農(nóng)藥量為f1＝，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為f2＝，則f1－f2＝．于是，當(dāng)a＞2時，f1＞f2；當(dāng)a=2時，f1＝f2；當(dāng)0＜a＜2時，f1＜f2．因此，當(dāng)a＞2時，清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)a=2時，兩種清洗方法具有相同的效果；當(dāng)0＜a＜2時，一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少．點評：本題主要考查運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的基本方法。題型6：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)例11．有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合。用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)），表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）分析時，湖水的污染程度如何。解析：（1）設(shè)，因為為常數(shù)，，即，則；（2）設(shè)，=因為，，。污染越來越嚴(yán)重。點評：通過研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實際問題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來越嚴(yán)重”還是“污染越來越輕”例12．現(xiàn)有