初中數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)重難突破專題10 方程（組）與不等式（組）(含答案)

專題10方程（組）與不等式（組）重點(diǎn)分析在中考，不等式的性質(zhì)常在選擇題中考查；一元一次不等式的解法及其數(shù)軸上的表示常在選擇題、填空題和計(jì)算題中考查；一元一次不等式的應(yīng)用常結(jié)合二元一次方程、分式方程或一元二次方程在解答題形式中考查。難點(diǎn)解讀難點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變，即若a＞b,則a±c＞b±c性質(zhì)2不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b,c＞0，則ac＞bc（或）性質(zhì)3不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b,c＜0，則ac＜bc（或）難點(diǎn)二：一元一次不不等式的解法及解集表示解法步驟①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1x＜ax＞ax≤ax≥a總結(jié)在數(shù)軸上表示解集時(shí)，“≥”或“≤”用實(shí)心圓點(diǎn)，“＞”或“＜”用空心圓點(diǎn)；小于向左，大于向右。難點(diǎn)三：一元一次不等式組的解集類型及表示不等式組（a＞b)解集在數(shù)軸上表示口訣x＞a同大取大x＜b同小取小b＜x＜a大小、小大中間找無解大大、小小取不小【提分要點(diǎn)】解一元一次不等式組的一般解答步驟分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集、再在數(shù)軸上表示出不等式的解集，然后利用數(shù)軸或根據(jù)口訣確定不等式組的解集難點(diǎn)四：列不等式解應(yīng)用題的步驟找找出題目當(dāng)中的不等關(guān)系（正確理解表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞的意義：例如“至少”（≥）、“最多”（≤）、“不低于”（≥）、“不高于”（≤）、“不大于”（≤）、“不小于”（≥）等）設(shè)設(shè)未知數(shù)列根據(jù)不等關(guān)系、列出不等式解解不等式答根據(jù)題意作答（要注意所取值要符合實(shí)際意義，例如：人數(shù)必為正整數(shù)，當(dāng)x表示人數(shù)且x≥時(shí)，則x咋最小值為4，即至少有4人）【提分要點(diǎn)】題干中至少，設(shè)未知數(shù)時(shí)需注意；不能設(shè)至少要x，而應(yīng)明確設(shè)為x，如求甲至少要購買多少件，則設(shè)購買甲x件，再根據(jù)題目條件列不等式求解。真題演練1.若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則字母k的取值范圍是（）A. B.且 C. D.且【答案】D【解析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，解得且k≠0．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．2.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，有下列結(jié)論：①；②；③二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a和b，則．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】將已知的一元二次方程整理為:一般形式，根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可對(duì)選項(xiàng)②進(jìn)行判斷；再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時(shí)才能成立，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；將選項(xiàng)③中的二次函數(shù)解析式整理后，利用根與系數(shù)關(guān)系得出的兩根之和與兩根之積代入，確定出二次函數(shù)解析式，令y=0，

得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可對(duì)選項(xiàng)③進(jìn)行判斷.【詳解】一元二次方程化為一般形式得：，∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，∴，∴，故②正確；∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，∴，，而選項(xiàng)①中，只有在m=0時(shí)才能成立，故①錯(cuò)誤；二次函數(shù)y=====，當(dāng)y=0時(shí)，=0，∴x=2或x=3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（2,0）與（3,0），即a=2，b=3，∴a+b=2+3=5，故③正確，故選：C.【點(diǎn)撥】此題考查已知一元二次方程的根的情況求參數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系公式及根的判別式公式是解此題中的關(guān)鍵計(jì)算.3.已知關(guān)于的一元二次方程，其中，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根 D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】由數(shù)軸可知：，，然后計(jì)算根的判別式的值即可得出答案．【詳解】由數(shù)軸可知：，；∴；∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選：A【點(diǎn)撥】本題主要考查的是一元二次方程的根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式的方法、某點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定其正負(fù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)知識(shí)題．4.下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A.x2＝2x B.x2－2x＝－1 C.2x2－1＝x D.2x2－2x+1＝0【答案】D【解析】逐一求出四個(gè)選項(xiàng)中方程的根的判別式△的值，取其小于零的選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.∵x2＝2x∴x2-2x＝0∴△=（-2）2-4×1×0=4＞0，∴一元二次方程x2-2x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；B.∵x2－2x＝－1∴x2－2x+1＝0∴△=(-2)2-4×1×1=0，∴一元二次方程x2－2x＝－1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；C.∵2x2－1＝x∴2x2－x-1＝0∴△=（-1）2-4×2×（-1）=90，∴一元二次方程2x2－1＝x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；D.∵△=（-2）2-4×2×1=-4<0，∴一元二次方程2x2－2x+1＝0沒有實(shí)數(shù)根，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．5.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．“其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每件椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)“這批椽的價(jià)錢為6210文”、“每件椽的運(yùn)費(fèi)為3文，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢”列出方程解答．【詳解】解：由題意得：，故選A【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程表示出來是解題的關(guān)鍵．6.隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對(duì)5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需的時(shí)間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時(shí)間相同，設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件，依據(jù)題意得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，再結(jié)合現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時(shí)間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時(shí)間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】解：設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，依題意，得：．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題列分式方程，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：今有戶不知高、廣，從之不出二尺，斜之適出，不知其高、寬，有竿，竿比門寬長出4尺；豎放；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等問．問門高、寬、對(duì)角線長分別是多少？若設(shè)門對(duì)角線長為x尺，則可列方程（）A.x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B.2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2C.x2＝42＋（x﹣2）2 D.x2＝（x﹣4）2＋22【答案】A【解析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高、寬、對(duì)角線長．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．8.如圖所示，小琳總結(jié)了“解可化為一元一次方程的分式方程”的運(yùn)算流程，那么A和B分別代表的是（）A.分式基本性質(zhì)，最簡公分母=0B.分式的基本性質(zhì)，最簡公分母≠0C.等式的基本性質(zhì)2，最簡公分母=0D.等式的基本性質(zhì)2，最簡公分母≠0【答案】C【解析】根據(jù)解分式方程的步驟，可得答案．【詳解】去分母得依據(jù)是等式基本性質(zhì)2，檢驗(yàn)時(shí)最簡公分母等于零，原分式方程無解.故答案選：C.【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解分式方程的方法.9.若關(guān)于x的方程的一個(gè)根為1，則代數(shù)式的值為__________．【答案】-1．【解析】把x=1代入方程，整體求值即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程的一個(gè)根為1，代入得，，移項(xiàng)得，，故答案為：-1．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是明確方程解的概念，代入未知數(shù)的值求代數(shù)式的值．10.若方程組的解適合x+y=2，則k的值為_____．【答案】3【解析】分析：根據(jù)等式的性質(zhì),可得關(guān)于k的方程,根據(jù)解方程,可得答案.詳解：兩式相加,得

3(x+y)=3k-3,

由x+y=2,

得

3k-3=6,

計(jì)算得出k=3,

故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了二元一次方程組的解，利用等式的性質(zhì)得出3(x+y)=3k-3是解答本題的關(guān)鍵.11.寫出一個(gè)解集為的不等式組：____________．【答案】【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行變形，“同大取大，同小取小”，從而可得出另一個(gè)不等式為，即可得出一個(gè)滿足條件的不等式組．【詳解】由不等式的性質(zhì)：由可得；所以可得另一個(gè)不等式：；所以不等式組為；故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的性質(zhì)、熟悉求解一元一次不等式組的過程，要求學(xué)生能夠熟練地掌握不等式的性質(zhì)、解一元一次不等式組的方法，屬于基礎(chǔ)知識(shí)題．12.不等式組的最大整數(shù)解為_____．【答案】1【解析】首先分別求出每一個(gè)不等式的解集，得出不等式組的解集，進(jìn)一步得出最大整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式組的解集為，最大整數(shù)解為1．故答案為：1．【點(diǎn)撥】此題考查求不等式組的整數(shù)解，求出不等式組的解集是解決問題的關(guān)鍵．13.關(guān)于x的不等式組有2個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是____________.【答案】8?a<13；【解析】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解不等式3x?5>1，得：x>2，解不等式5x?a?12,得：x?，∵不等式組有2個(gè)整數(shù)解，∴其整數(shù)解為3和4，則4?<5，解得：8?a<13，故答案為8?a<13【點(diǎn)撥】此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵14.解方程：x2﹣4x+3=0．【答案】x1=1，x2=3．【解析】【詳解】試題分析：本題考查了一元二次方程的解法，用十字相乘法分解因式求解即可.解：x2﹣4x+3=0（x﹣1）（x﹣3）=0x﹣1=0，x﹣3=0x1=1，x2=3．15.（2021年河南省淮濱縣第一中學(xué)中考九年級(jí)數(shù)學(xué)模擬試題）解不等式組：【答案】【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后求出不等式組的解集即可.【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：∴不等式組的解集為：.【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次不等式的方法.16.已知兩人各自每天所讀頁數(shù)相同．讀書天數(shù)12345頁碼之差7260483624頁碼之和152220424（1）表中空白部分從左到右2個(gè)數(shù)據(jù)依次為，；（2）小明、小紅每人每天各讀多少頁？（3）已知這本名著有488頁，問：從第6天起，小明至少平均每天要比原來多讀幾頁，才能確保第10天結(jié)束時(shí)還不被小紅超過？（答案取整數(shù)）【答案】（1）288，356．（2）小明每天讀28頁，小紅每天讀40頁．（3）小明至少平均每天要比原來多讀8頁，才能確保第10天結(jié)束時(shí)還不被小紅超過．【解析】（1）第一天兩人一共讀了152-84=68頁，故第三天頁碼之和=220+68=288頁，第四天頁碼之和=288+68=356頁；（2）小明每天讀x頁，小紅每天讀y頁．由題意，解方程組即可解決問題；（3）從第6天起，小明至少平均每天要比原來多讀m頁．由題意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解決問題.【詳解】（1）第一天兩人一共讀了152-84=68