2024年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問(wèn)題的研究（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問(wèn)題的研究（解

析版）

導(dǎo)教身三角褊毅輅合同殿的研究

■考■

有關(guān)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯的試題在高考與模擬試題中頻頻出現(xiàn).在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題中加入三角函數(shù)，由于三角

函數(shù)具有周期性,無(wú)法通過(guò)多次求導(dǎo)使三角函數(shù)消失，使得后續(xù)問(wèn)題的處理比較困難,從而造成學(xué)生思維上的

難度.我們可從以下幾個(gè)角度來(lái)突破此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn).

1.分段討論

①以一卷，0,彳■，兀，…為端點(diǎn)分區(qū)間討論；②以三角函數(shù)的最值點(diǎn)為端點(diǎn)分段討論?

2.巧用放縮，消去三角函數(shù)

①正弦函數(shù)：當(dāng)2>0時(shí),2>sina;>x—-^-a;2.②余弦函數(shù):cosrc>1—-^-rc2.

③正切函數(shù)：當(dāng)/e（0,g）時(shí),sin/VrcVtanc.④數(shù)值域:sineG[—l,l],cosa?E[—1,1].

3.分離函數(shù):將含有三角函數(shù)的式子放到一起.

4.分離參數(shù):轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題.

5.半分離參數(shù):將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，化為左右兩邊函數(shù)是一直線與一曲線,考慮端點(diǎn)處的切線斜率.

_L題■—

【精選例題】

題目工|已知函數(shù)/（C）=e"—aa?,aER,/（z）是/（2）的導(dǎo)數(shù).

（1）討論/（，）的單調(diào)性,并證明：e">2,；

（2）若函數(shù)g（c）=/'（2）—rreose在區(qū)間[0,+8）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

題目可已知函數(shù)/⑺=sin力一比一ae。其中Q為實(shí)數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若a=—l,證明:/（力）＞0;

（2）若f（x）在（0,兀）上有唯一的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

目已知函數(shù)/（力）=e力gQ）=sin/+cosx.

（1）求證：/（力）＞力+1；

（2）若力＞0,問(wèn)/（力）+g{x）—2—ax^0（a6R）是否恒成立？若恒成立，求。的取值范圍;若不恒成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由

???

題目二|已知函數(shù)/(力)=e/+cos/—Q(QeR).

(1)討論，(力)在[—兀,+8)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)力e[0,+oo)時(shí),e^+sina;>ax+1恒成立，求Q的取值范圍.

題目支|已知函數(shù)/(劣)=asin力，其中Q>0.

(1)若/(力)《力在[0,+oo)上恒成立，求。的取值范圍；

(2)證明:V宏G(0,+oo)，有2e*>(6+—)[ln(rc+1)+sinx].

???

題目五|已知函數(shù)/⑺=ae°+4sin力—5力.

(1)若Q=4,判斷/(力)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)p(力)=3sinc—2力+2,若關(guān)于力的方程/(力)=0(/)有唯一的實(shí)根，求Q的取值范圍.

題目可已知函數(shù)/(比)=6,，g(力)=2—sinx—cosx.

(1)求證：當(dāng)力6(0,+oo),x>sinrr；

(2)若力G(0,+oo),f(jj)>gQ)恒成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

???

題目瓦|已知函數(shù)/(力)=asina;—ln(l+a;)(aGR).

(1)若a=—1,求證：V力>0,/(a;)+2力>0；

(2)當(dāng)a>1時(shí),對(duì)任意①C［。,寺］,都有/(⑼>0,求整數(shù)k的最大值.

題目可已知函數(shù)/(c)=(力一l)e"+ac+1.

(1)若/(，)有兩個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍；

(2)若力>0,/(力)>2sin/，求a的取值范圍.

???

^^■工口已知函數(shù)/(力)=%—sin(~^c)—aln/,N=1為其極小值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)Q的值；

(2)若存在力1W+2,使得/(0)=/(◎)，求證：力1+力2>2.

題目叵(2023全國(guó)新高考2卷)⑴證明：當(dāng)0VcV1時(shí)，/一/VsincV/；

(2)已知函數(shù)/(力)=cosax—ln(l—力9,若/=0是/(力)的極大值點(diǎn)，求Q的取值范圍.

???

【限蹤訓(xùn)練】

［題目|1］已知函數(shù)/㈤^xeTx+asmx,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若土=0恰為了㈤的極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求/(,)在區(qū)間(-oo,^)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

題目可已知函數(shù)/(2)=2cosc+ln(l+/)一1.

(1)判斷函數(shù)/(⑼在區(qū)間(01)上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并給出證明;

(2)若，＞0時(shí),不等式/(切Vac+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

???

題目可已知函數(shù)/（力）=xex—l,g⑸=a（x+lnx）且/（劣）一gQ）>0恒成立.

⑴求Q的值；

⑵證明:x3ex>（a?2+3）lna;+2sinrc.

（注:其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

題目⑷已知函數(shù)/（力）=力+sine，力eR.

（1）設(shè)gQ）=/（/）--^-x，求函數(shù)gQ）的極大值點(diǎn)；

（2）若對(duì)V力G［?？迹?，不等式/（力）'館/cos6（m>0）恒成立，求加的取值范圍.

???

面目回已知函數(shù)/（力）=或？一Q（力sin力+cos力）+cosT+a（a;＞0）.

（1）當(dāng)Q=1時(shí)，

（1）求（兀,/（兀））處的切線方程；（〃）判斷/（力）的單調(diào)性,并給出證明;

（2）若/（力）＞1恒成立，求a的取值范圍.

題目五|已知/（/）=arc2—COST—xsinx+a（aER）.

⑴當(dāng)a=］時(shí)，求g=/Q）在［一兀，兀］內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意的力GR時(shí),/（力）＞2恒成立,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

???

題目可已知函數(shù)/（力）=ex~a—x—cosx,x6（―兀,兀）其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)Q=0時(shí)，證明：/（力）＞0;

（2）當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)"=/（力）零點(diǎn)個(gè)數(shù).

~8^|已知函數(shù)/（力）=（a一l）ex+ax+1.

⑴若a=-e,求/⑺的極值；

（2）若力＞0,/（力）＞2sin/,求a的取值范圍.

???

題目目|已知函數(shù)/(,)=2sinrc—ln(l+s)(0<a:<7t).

(1)證明：函數(shù)/(2)有唯一的極值點(diǎn)a,及唯一的零點(diǎn)6；

(2)對(duì)于⑴問(wèn)中a,萬(wàn)，比較2a與6的大小，并證明你的結(jié)論.

題目:乙已知函數(shù)/(2)=aa?+a；—ln2c.

(1)若/(，)在［1,+oo)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(0)=但士1叫—sine在(0㈤上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍.

???

題目11）已知函數(shù)/（力）=ln/+sin/.

（1）求函數(shù)/（力）在區(qū)間［l,e］上的最小值;

（2）判斷函數(shù)/（力）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

題目已知函數(shù)/（6）=］Q62_（Q—2）/—21n力.

⑴當(dāng)Q=2時(shí)，證明：—>sinx.

（2）討論了（為的單調(diào)性.

???

題目叵)⑴證明:當(dāng)C<1時(shí)，工+l4e，W匚3；

(2)是否存在正數(shù)a，使得/(①)=2e"+asin工-a/_g+2)/在R上單調(diào)遞增,若存在，求出a的取值范圍;

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

導(dǎo)裁E三龜占裁傳會(huì)閩發(fā)妁祈窕

■考點(diǎn)J

有關(guān)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯的試題在高考與模擬試題中頻頻出現(xiàn).在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題中加入三角函數(shù)，由于三角

函數(shù)具有周期性,無(wú)法通過(guò)多次求導(dǎo)使三角函數(shù)消失，使得后續(xù)問(wèn)題的處理比較困難,從而造成學(xué)生思維上的

難度.我們可從以下幾個(gè)角度來(lái)突破此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn).

1.分段討論

①以一個(gè)，0,彳■，兀，…為端點(diǎn)分區(qū)間討論；②以三角函數(shù)的最值點(diǎn)為端點(diǎn)分段討論?

2.巧用放縮，消去三角函數(shù)

①正弦函數(shù)：當(dāng)力>0時(shí)，力>sin/>?—②余弦函數(shù):cos/>1—4"/.

③正切函數(shù)：當(dāng)力E（°，"!"）時(shí),sin/V力Vtan力.④數(shù)值域:sine6［—1,1］,cos力G［—1,1］.

3.分離函數(shù):將含有三角函數(shù)的式子放到一起.

4.分離參數(shù):轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題.

5.半分離參數(shù):將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，化為左右兩邊函數(shù)是一直線與一曲線,考慮端點(diǎn)處的切線斜率.

■題型J

【精選例題］

題目工|已知函數(shù)/（/）=eJQN,aER,f（x）是/（力）的導(dǎo)數(shù).

（1）討論/（力）的單調(diào)性,并證明：2力；

（2）若函數(shù)gQ）=/'（力）一/cos%在區(qū)間［0,+8）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）Q>1

【詳解】⑴因?yàn)?（力）=e*—a力，所以/'（力）=ex—a,當(dāng)a<0時(shí)，/'（力）=e"—Q>0,則/（2）=e"一ar在R上單

調(diào)遞增，當(dāng)Q>0時(shí)，令/'（力）=ex-a>0得6>Ina,令/'⑺=ex—a<0得reVIna,所以函數(shù)/（力）的增區(qū)間

為（Ina,+8）,減區(qū)間為（―oojna）,令FQ）=e°—2力，則F\x）=e*—2,令F'（力）=e°-2>0得比>ln2,

令尸Q）=e'—2Vo得力Vln2,所以函數(shù)FQ）的增區(qū)間為（ln2,+oo）,減區(qū)間為（-8,ln2）,所以當(dāng)力=ln2

ln2

時(shí)，尸（力）取得最小值為F（ln2）=e-21n2=2-21n2>0,所以e*>2/,得證；y..

⑵由⑴知，g（力）=e"—a—rccos/，因?yàn)楹瘮?shù)gQ）在區(qū)間［0,+8）內(nèi)有唯一勺零點(diǎn)，所以方/

程a=6°—力cos/在區(qū)間［0,+8）內(nèi)有唯一解，令九（%）=e‘一/cos力逆>0,則函數(shù)“力）=e*/

一力cos）與g=a在［0,+co）上只有一個(gè)交點(diǎn)，記nz（6）=e,—6一1,（力>0）,則*（6）=e°—1/

>0,所以a（名）在［0,+8）上單調(diào)遞增，所以m{x}—ex—x—1>e°—1=0,即ex>rc+1,故］匕?

,0|x

K［x}=e*—cos/+力sin力>1—cosx+x（l+sin/）>0,

所以ZzQ）=e。一/cos力在［0,+oo）上單調(diào)遞增，又無(wú)（0）=1,如圖：要使方程a=e“一/cos）在區(qū)間［0,+oo）內(nèi)

有唯一解，則.所以a的取值范圍是a>l.A

題目可已知函數(shù)/（力）=sin力一比一ae。其中Q為實(shí)數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若a=—l,證明:/（力）>0;

（2）若f（x）在（0,兀）上有唯一的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

xx

【解析】⑴證明:Q=—1時(shí),/（力）=sin①一力+e1令。（6）=e—xf則g（x）=e—1,當(dāng)力V0時(shí),g'（力）VO,g（力）

在（一oo,0）上為減函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí),g'⑺>O,gQ）在（0,+8）上為增函數(shù)，函數(shù)g{x}的極小值也是最小值

為g（。）=L所以g（x）>g（0）=1,而—sine41,所以ex—x>—sinrr,即/（x）>0.

（2）/（力）在（0,兀）上有唯一^勺極值點(diǎn)等價(jià)于/'（劣）=COST—1—aex—0在（0,兀）上有唯一^勺變號(hào)零點(diǎn),/'（/）=

0等價(jià)于a=cos/—1,設(shè)％（①）=cos/—1丁6（0,兀），

exex

if/\—sin/—cos力+11―"2sin（"+?）兀兀5兀\業(yè)一?？跒?/p>

h（力）=----------------=-----------------，因?yàn)榱（0,兀），所以6十二-e工，丁，當(dāng)ov力〈宮時(shí)，力

ee4'44，2

+￡e（爭(zhēng)爭(zhēng)'sin（力+十）>彳^，八'（力）v0,無(wú)（方）在（°，5）上為減函數(shù)，當(dāng)5V6V兀時(shí)，/+me

（e+］）（^^,"（力））0,九（名）在（寺兀）上為增函數(shù)，所以函數(shù)h{x}的極小值也是最小值為

Mg）=——,又%（0）=0,九⑺=--—,所以當(dāng)一-—<a<0時(shí)，方程a=cos/—^在（0,兀）上有唯一的變號(hào)

\2'食e兀6兀ex

e

零點(diǎn)，所以Q的取值范圍是［一々,0）.

題目瓦|已知函數(shù)/（力）=e3g（劣）=sin/+cos/.

（1）求證：/（力）>6+1；

（2）若力>0,問(wèn)/（力）+g（a?）—2—>0（QGR）是否恒成立？若恒成立，求a的取值范圍；若不恒成立,請(qǐng)說(shuō)

明理由

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）Q42

【詳解】⑴令FQ）=e—力一l,F'Q）=eZ-L,當(dāng)今6（一8,0）,F'Q）V0,所以此時(shí)FQ）單調(diào)遞減；

當(dāng)力￡（0,+8）,F'O）>0,所以此時(shí)FQ）單調(diào)遞增；即當(dāng)力=0時(shí)，F(xiàn)Q）取得極小值也是最小值F（0）=0,

所以尸（力）>0,得證；

（2）設(shè)九（n）=f（8）+g（x）—2—a力，即證h（x）=e"+sini+cosx—2—a/>0在［0,+oo）上恒成立，易得M

（力）=ex+cosx—sin/—Q,當(dāng)/=0時(shí)，若九'（0）=2—a>0=>a&2,下面證明：當(dāng)a42時(shí)，h（x）—e*+sinN

+COST—2—Q力>0,在［0,+oo）上恒成立，因?yàn)镵（x）—e^+cosrc-sin/一a,設(shè)u{x）—//（力）,

令o（i）=x—sinx,v（x）=1—cos1>0,所以oQ）在［0,4-oo）上是單調(diào)遞增函，所以"（力）>o（0）=0,

又因?yàn)?—cos1>0,則u\x）—ex—sinx-cosx>C+1—sin/—cosx—x—sinrr+1—cosx>0所以//（6）

在［0,+8）上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以九'（/）>〃（0）=2-a>0,所以九（力）在［0,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù)，若a

>2時(shí)，―（0）V0,即h（x）在6=0右側(cè)附近單調(diào)遞減,此時(shí)必存在h（xo）<h（0）=0,不滿(mǎn)足/（%）+g（x）—

2—Q/>0（QE/?）恒成立，故當(dāng)a42時(shí)，不等式恒成立.

題目工|已知函數(shù)/（力）—a（aGR）.

⑴討論/（/）在［—兀,+8）上的單調(diào)性;???

(2)當(dāng)力e[0,+co)時(shí),ex-^-smx>ax+1恒成立，求Q的取值范圍.

【答案】⑴/(力)在[—兀,+8)上的單調(diào)遞增；(2)(—8,2]

【詳解】(l)f(力)=ex—sinx,當(dāng)一兀<力<0時(shí)，1>0,sin/V0,.?./(/)=ex—sinx>0,當(dāng)x>0時(shí)，ex>l,

sin力&1,.,./(/)=e*—sin力>0,即：/'(力)>0在[—兀,+8)上恒成立，所以/(力)在[—兀,+8)上的單調(diào)遞增.

(2)方法一:由ex+sinT>。力+1得：e^+sina;—ax—1^0當(dāng)力=0時(shí)，e^+sin)一一1二0恒成立，符合題

意

令9(6)—e筮+sin力—ax—1,x>Og'Q)=e"+cos力—a—f(x),由⑴得:g(x)在(0,+co)上的單調(diào)遞增，,g

3)>2—a,①當(dāng)a<2時(shí)，g'3)>2—a>0,所以g㈤在(0,+8)上的單調(diào)遞增，所以g㈤〉g(0)=0,符合

題意②當(dāng)a>2時(shí)，g'(0)=2—a<0,g'(ln(2+a))=2+cos(ln(2+a))>0,/.存/〃(x)

在(0,ln(2+a)),使得g'(g)=0,當(dāng)0c力Vg時(shí)，g'(力)Vg'(g)=0;所以/、、

//y=2x+\

g{x}在(0,g)上的單調(diào)遞減，當(dāng)0〈力Vg時(shí)，g(/)<g(0)=0,這不符合題意綜//

上，a的取值范圍是(—8,2]./

方法二：令h{x}—e^+sinx,s(力)—ax力)0貝U九(0)=s(0)=1,符合題意h'

(力)=e*+cosc=/(力)+a,/'(力)=ex—sinx由⑴得：/'(力)>0在(0,+8)上恒成&

立，h!(x)在(0,4-oo)上單調(diào)遞增所以，片(力)>磯0)>0,所以八(比)在(0,4-oo)上單

調(diào)遞增，其圖象是下凸的，如圖：???〃(())=2,所以，曲線九㈤在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為：g=2/+1,要使

得九(力)>s(6)在[0,+oo)上恒成立，只需a02

所以，a的取值范圍是(一8,2].

題目回已知函數(shù)/(力)=asin力，其中a>0.

(1)若/(力)《]在[0,+oo)上恒成立，求a的取值范圍；

(2)證明：V/e(0,+GO)，有2ex>(%+—^[ln(rc+1)+sinx].

【答案】(1)(0」];(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)令h(x)—x—asinx,xE[0,+oo)，則K{x}=1—acosrc,當(dāng)aW(0,1]時(shí)，h\x)>0,h(x)單調(diào)遞

增，所以h{x}>無(wú)(0)=0,當(dāng)aC(l,4-oo)時(shí)，令m,(力)=//(力)=1—QCOSC,貝Um(x)=asin力,所以對(duì)VrcE

(0號(hào)),m{x}>0,則片(x)在(。4)上單調(diào)遞增，又因?yàn)榫?(0)=1—aV0,=1>。,所以由零點(diǎn)存

在定理可知,3XQE(0號(hào))使得"(g)=0,所以當(dāng)xE(0,g)時(shí)，h!(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，h(x)</i(0)=

0,與題意矛盾，綜上所述，aG(0,1].

(2)由(1)知，當(dāng)a=1時(shí)，sin/W力，VreE[0,+co).先證ln(/+1)&力，/G[0,+co)，令(p(x)—x—

In(a;+1)，則(p\x)=1—力；]40,所以(p(x)單調(diào)遞增,0(6)>0(0)=0,即In(re+1)所以當(dāng)力G

(0,+oo)時(shí)，ln(x+1)+sinc&2力，(力+!)[InQ+1)+sinrr]42(x2+l).要證xE(0,+oo)，有2式>

(6+—^[ln(x+1)+sin6]，只需證ex>x2+l.令g(x)=(re2+l)e-:E—1,xE(0,+oo),則g'(c)=

(2x—a?—1L)e~x=—(x—1)%一。&0.所以g(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，所以g(x)Vg(0)=0,即ex>x2+l.綜

???

上可得可力W(0,+oo),有2ex>[x+2+1)+sin4].

題目百］已知函數(shù)/(劣)=ae"+4sin力—5x.

(1)若。=4,判斷/(力)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)p(力)=3sin6—2劣+2,若關(guān)于力的方程/(劣)=「(力)有唯一的實(shí)根，求Q的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)fQ)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.(2)Q40或Q=2

【詳解】(1)當(dāng)a=4時(shí)JQ)=4e*+4sin%—5x,fr(x)=4e*+4cos力一5,令g(力)=f(re)=4e*+4cos比一5,則

g'(x)=4e"一4sin力.當(dāng)力G［0,+oo)時(shí)，4e°>4(力=0時(shí)等號(hào)成立)；一4sinN>—4(力=￡■+2kn,keZ時(shí)等號(hào)

成立),所以g(x)=4e°—4sin6>0,即函數(shù)/'⑺=4e"+4cos/一5在［0,+oo)上遞增，所以/'(力)>/'(0)=3

>0,即函數(shù)/(6)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)方程/(力)=p(x)即aei+dsin力-5力=3sin力一24+2有唯一的實(shí)根，則a=阮+2—sin*只有一個(gè)解,

等價(jià)于直線g=a與函數(shù)y=3,+2—sine的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),令h(x\=3-+2—sin*,則〃⑶=

exex

sine—c°s<+1—3°，因?yàn)槲?gt;0,所以h，@)=simr—cosA+l—3/的符號(hào)由分子決定，令利氏)=

e。e±

—COST+1—3/，則m'⑸=cosx+sinre—3=2〃^sin(力+于)-3V0.所以m{x}—sinre-cos力+1—3力

在7?上遞減，因?yàn)閙(0)=0,所以當(dāng)xE(—oo,0)時(shí)，m(T)>m(0)=0;當(dāng)力e(0,+GO)時(shí)，m(x)<m(0)=

0.即當(dāng)力E(—oo,0)時(shí)，K(x)>0;當(dāng)xE(0,+oo)時(shí)，K(x)<0.所以函數(shù)h(x)—呢+2—sinx在/QQ^QA

ex

上遞增，在(0,+oo)上遞減，當(dāng)力趨于一00時(shí)，1趨于0且大于0,分子3%+2

—sin/趨于一8,則3“.2°si"，趨于—co；當(dāng)力=0時(shí)，拉max(力)=以。)=

3x+2-sinx

2;當(dāng)rc趨于+8時(shí)，e”趨于+8,分子3力+2—sin/也趨于+8,令0(力)=e*/ex

—(3/+2—sina?),則cp(x)=ex—3+cosx,——/-J----------\

當(dāng)力>2時(shí)，/(/)=ex—3+cos力>0,則⑦趨于+8時(shí)，e*增長(zhǎng)速率大于3x/

+2—simr的增長(zhǎng)速率，故:趨于+8時(shí)，3「+2；simr趨于0.畫(huà)出函數(shù)

h［x)=.+2—‘in%的草圖，并畫(huà)出直線g=Q,要使直線g=Q與函數(shù)y=.)2—魚(yú)生的圖象只有一個(gè)

exex

交點(diǎn).則a&O或Q=2.所以當(dāng)Q&0或Q=2時(shí)，方程/(2)=p(a?)有唯一■的實(shí)根.

題目1I已知函數(shù)/(劣)=e*，g{x}=2—sine—cosc.

(1)求證:當(dāng)宏W(0,+oo),x>sinx；

(2)若NG(0,+oo),y(j；)>gQ)+a力恒成立,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(—8,2］

【詳解】(1)證明：設(shè)F(rc)—x—sin力，力>0,則尸(力)=1—cos力>0,所以尸(劣)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞

增，所以FQ)>尸(0)=0,即力〉sin/.

(2)由/(力)>g(x)+a宏在區(qū)間(0,+oo)上恒成立，即e*+sin/+cos/一a力一2>0在區(qū)間(0,+oo)上恒成

???

設(shè)3（力）=e"+sinc+cos6—a/一2,則（p{x}>0在區(qū)間（0,+8）上恒成立，而（p{x）—e^+cosrr—sinx—a,

令？nQ）=d（力）,則m{x）—e①一sin力—cos力，設(shè)無(wú)（力）=ex—x—1,則K{x}—ex—l，當(dāng)力>0時(shí)，hf（x）>0,

所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，故在區(qū)間（0,+oo）上,h（x）>h（0）=0,即在區(qū)間（0,+oo）上,e"

>力+1,由⑴知：在區(qū)間（0,+oo）上,ex>x+l>sin/+cosx,即m（x）=ex—sinx-cosx>0,所以在區(qū)

間（0,+8）上函數(shù)”（c）單調(diào)遞增，當(dāng)a&2時(shí)，"（0）=2-a>0,故在區(qū)間（0,+8）上函數(shù)夕'（力）>0,所以

函數(shù)0（力）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，又夕（0）=0,故0（力）>0,即函數(shù)/（力）>g{x}+QN在區(qū)間（0,+oo）上

恒成立.當(dāng)a>2時(shí)，d（0）=2—a,^[ln（a+2）]=a+2+cos[In（a+2）]—sin[ln（a+2）]—a=2—

V2sin（[ln（a+2）]—>0,故在區(qū)間（0,ln（Q+2））上函數(shù)”（力）存在零點(diǎn)/0,即d（/o）=。，又在區(qū)間

（0,+co）上函數(shù)”（力）單調(diào)遞增，故在區(qū)間（0,%）上函數(shù)d（①）<0'（力0）=0,所以在區(qū)間（0,60）上函數(shù)0（宓）

單調(diào)遞減，由0（0）=0,所以在區(qū)間（0,60）上0（/）<9（0）=0,與題設(shè)矛盾.綜上，Q的取值范圍為（一8,2].

題目瓦|已知函數(shù)/㈤=asinx—ln（l+力）（aER）.

（1）若a=—1,求證：V力>0,/（力）+2力>0；

⑵當(dāng)a>1時(shí),對(duì)任意①e[o,卻都有了㈤>0,求整數(shù)k的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）3

【詳解】（l）a=-1時(shí)，設(shè)g（rc）=/（c）+2x=—sine—ln（l+c）+2rr,則g'（c）=—cosa:——----F2,a;>0

1+6

x+1>1-----^―-€（—1,0）VCOSTE[—1,1]cosrc------^―-+2>0,即g'（力）>0在（0,+8）上恒成立，

x-\-lx+1

g（x）在（0,+co）上單調(diào)增，又g（0）=0g（%）>g（0）=0,即V>>0,/（x）+2rc>0;

（2）a=1時(shí)，當(dāng)k=4時(shí)，/（2）=sin2—ln3V0,所以kV4.下證k=3符合.

k=3時(shí)，當(dāng)力G曰]時(shí)，sin力>0,所以當(dāng)時(shí)，/（劣）=asinrr—ln（l+力）>sin/—ln（l+力）.記h{x）

-sina;—ln（l+力），則只需證人（力）=sin?—ln（l+力）>0對(duì)力G[o,年]恒成立.

//（力）=COST---匚，令。（力）=COST------=T，貝”。'（力）=—sinx+-^-―在（0,9）遞減，

又。'（0）=1>0,。'管）=-1+（冗1]）2〈0，所以存在的€（0,））,使得°'（力0=0,則化。（0,g）,。'（g）>0,

。（⑼在（0,刈）遞增，xG（%]）,“（劣1）<O,0（rc）在（g，]）遞減；又。（0）=0,。管）=一"7r1]V0,所以存

__

在電6使得0（力2）=0,且力6（O,T2）,0（T）>O,TG（劣2,|）,。（力）V0,所以九（力）在（。,力2）遞增，在

（力2,￡■）遞減，又無(wú)（°）==1—+所以h{x）>0對(duì)力G恒成立，因?yàn)閇。，1]Q

[o,5],所以k=3符合.

綜上，整數(shù)k的最大值為3?

題目可已知函數(shù)/（力）=（力一l）e1+aN+1.???

⑴若/（力）有兩個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍；

（2）若力>0,/（力）>2sin力,求a的取值范圍.

【答案】⑴（0,（）;（2）[2,+oo）.

【詳解】（1）由/（rc）=（6一l）ex-\-ax+1,得/'（2）=xex-\-a,因?yàn)?（力）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則/'（力）=0,即方程一a=

力e,有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令gQ）=a;e*,則g（x）=（力+l）e",知比V—1時(shí)，g（x）<0,g（x）單調(diào)遞減，

x>—l時(shí)，g[x）>0,g（x）單調(diào)遞增，則x=—1時(shí)，g（力）取得極小值g（—1）=―'也即為最小值，且力

e

時(shí)，g（力）<0,x——00時(shí)，g（力）一0,力>0時(shí)，gQ）>0,力->8時(shí)，g（力）->+oo,故——<—aV0,即OVaV^

ee

時(shí)，方程一a=力/有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x1962（力1<%2）.可知力V為時(shí)，/（力）>0,力1V力Vg時(shí)，/'（力）<

0,x>x2時(shí)，/'（力）>0,即如力2分別為『3）的極大值和極小值點(diǎn).所以/（力）有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，a的取值范

圍是（。，十），

⑵令h（x）=（%—l）ex+ax—2sinx+1,原不等式即為h[x}>0,可得九（0）=0,h!（x）=xex+a-2cos力,h'

（0）=a—2,令"Q）="（%）=ce*+a—2cos力，則u{x）=（%+l）ex+2sinrc,又設(shè)力（力）=（力+l）ex,則t\x）=

（力+2）ex,力>0時(shí)，右'（力）>0,可知t{x）在[0,+8）單調(diào)遞增，若力G[0,兀），有（/+l）ex>0,sinx>0,則u

Q）>0;若力e[兀,+oo），有（a+l）ex>（7T+l）e，>2,則u（x）>0,所以,力>0,u{x}>0,則”（力）即h'（x）單

調(diào)遞增，

①當(dāng)@一2>0即0>2時(shí)，"（力）>九'（0）>0,則九3）單調(diào)遞增,所以，九3）>九（0）=0恒成立，則Q>2符合

題意.

②當(dāng)a—2Vo即aV2時(shí),"（0）<0,h!（3—Q）=（3—a）e°°）+?！?cos（3—a）>3—Q+Q—2COS（2—a）>

0,

存在XQE（0,3—Q）,使得"（g）=0,當(dāng)OV力Vg時(shí)，K（x）V0,則h[x）單調(diào)遞減，所以h（x）Vh（O）=0,與題

意不符，綜上所述，a的取值范圍是[2,+oo）.

題目10）已知函數(shù)/⑺=a;—sin（"|■力）一aln/，C=1為其極小值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若存在gW力2,使得/（為）=/（力2），求證：/1+力2>2.

【答案】（l）a=l;（2）證明見(jiàn)解析

【詳解】⑴/㈤的定義域?yàn)椋?,+oo）,/（^）=1—4cos（弓~力）一旦，依題意得/'⑴=1—a=0,得a=l,

2'2，x

此時(shí)/（2）=1—卷cos（多r）一工當(dāng)。<必<1時(shí),0<看土<看,0<--cos（^-x）<,工>1,故/3）<

2v27x222v272x

0,/（力）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)IV/V2時(shí)，ReV兀，gcosd力）<0,工V1,故/'（力）>0,/（力）在（1,

2）內(nèi)單調(diào)遞增，故/（/）在力=1處取得極小值，符合題意.綜上所述：a=1.

（2）由⑴知，/（6）—X—sin（拳r）—In/，不妨設(shè)0Vx2,當(dāng)1<電〈x2時(shí)，不等式力1+g>2顯然成立；

當(dāng)0<的<1,g>2時(shí)，不等式為+/2>2顯然成立；當(dāng)0<的<1,0Vg<2時(shí)，由⑴知/（/）在（0,1）內(nèi)單調(diào)

???

遞減，因?yàn)榇嬖诹?Wg,使得/(◎)=/(62)，所以1V力2V2,要證力1+力2>2,只要證Xr>2—x2,

因?yàn)?<◎<2,所以0V2—x2<1,又/(劣)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以只要證/(/J</(2—/2),又/(g)=

/(力2)，所以只要證/(g)</(2-力2),設(shè)尸3)=/3)一/(2—1)(1V力V2),則F\x)=f\x)+f(2-x)=l-

■fcos居0)心+1—5cos借(2_⑼)_=2-

1(cos(^)-cos傳明=2—(《+

令。(工)=2—C+占則也)=十一/=因?yàn)?<zV2,所以g'(x)<

0,g[x｝在(1,2)上為減函數(shù)，所以gQ)<g⑴=0,即F\x)V0,所以F(rc)在(1,2)上為減函數(shù)，所以O(shè)Q)<

尸⑴=o,即/(啊)</(2-電).綜上所述:Xl+x2>2.

穎目叵(2023全國(guó)新高考2卷)⑴證明：當(dāng)OVwVl時(shí)，c—/VsincVg

(2)已知函數(shù)/(劣)=COSQN—ln(l—/),若力=0是/(力)的極大值點(diǎn)，求Q的取值范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)詳解(2)(-oo,-V2)U(V2,+OO)

【詳解】(1)構(gòu)建F(N)—X—sinx,xE(0,1),則F\x)=1—cos/>0對(duì)V/e(0,1)恒成立，則F(x)在(0,1)

上單調(diào)遞增，可得F(x)>F(0)=0,所以力>sin力，力E(0,1);構(gòu)建G(x)=sin力—(x—x2)=x2—x+sin/,力

e(0,1),

則G'Q)=2力-1+cosx,xG(0,1)，構(gòu)建g(rc)=G'Q),力E(0,1),則g'(優(yōu))=2—sin力>0對(duì)V%G(0,1)恒成

立，則g(宏)在(0,1)上單調(diào)遞增，可得g(x)>g(0)=0,即G\x)>0對(duì)V/G(0,1)恒成立，則G[x}在(0,1)

上單調(diào)遞增，可得G(力)>G(0)=0,所以sinx>x—x2,xE(0,1);綜上所述：x—x2<Zsin6<x.

22

⑵令1—x>0,解得—1V力V1,即函數(shù)J(T)的定義域?yàn)?一1,1),若Q=0,則/(/)=1—ln(l—x),xG

(-14),

因?yàn)間=—In”在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，g=1—力之在(—1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，則于(岔)=1—

ln(l—力之)在(—1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，故力=0是/(力)的極小值點(diǎn)，不合題意，所以aW0.

22

當(dāng)QWO時(shí)，令b=|a|>0因?yàn)镴(x)=cosax—ln(l—x)=cos(|a|rr)—ln(l—x)=cosbx—ln(l—T2)，且

/(—力)=cos(—ba;)—ln[l—(—a?)2]=cosb力一ln(l—x2)=/(力)，所以函數(shù)/(劣)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題

意可得:/'(6)=-bsinbx--獎(jiǎng)不/?(—1,1),⑴當(dāng)0<2時(shí)，取m=min{?,xE(0,m)，則bxE

(0，l)，

由⑴可得/'(rc)=—bsin(bc)—^^>-62力一^^="十？「⑺，且。卷一一,2>

X—1X—11—X

所以/(劣)〉力、7+2匕)>0,即當(dāng)xe(0,m)Q(0,1)時(shí)，/'(力)>0,則/(劣)在(0,771)上單調(diào)遞增，結(jié)合

1-x

偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：/(力)在(一772,0)上單調(diào)遞減，所以/=0是/(力)的極小值點(diǎn)，不合題意；

(ii)當(dāng)心>2時(shí)，取/C(o,1)u(0,1),則bxE(0,1),由(1)可得f(rc)=-bsinbx-<-b(bx-b2x2)-

'b，x—1

=37^-b^+b^+b^x+2-62),構(gòu)建九(c)^-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,xe(0,-^),則h'(x)=—3〃

力-11—x'b"

???

x^+2b2x+b3,x€（0,1）,

且片（0）=b3>0,片什）=b3-b>0,則"㈤>0對(duì)V工C（0,恒成立,可知h{x}在（0,y）上單調(diào)遞增，

且無(wú)（0）—2—b2<0,從；）=2>0,所以h{x}在（o1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)nC（0,卷），當(dāng)/C（0,n）時(shí)，則

h（￡）V0,且c>0,1—/>0,則f\x）<—^-^-^—b3x3+b2x2+b3x+2-/）V0,即當(dāng)reC（0,n）Q（0,1）時(shí)，/'

\—x"

（為<0,則/（為在（0,九）上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：/（為在（一n,o）上單調(diào)遞增，所以立=0是

/（a;）的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：b2>2,即a2>2,解得a>四或a<-V2,故a的取值范圍為

（一℃）,-A/2）U（V2,+CO）.

［展蹤訓(xùn)練］

題目Q已知函數(shù)/（c）=，e-"+asin;r,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若c=0恰為/（①）的極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求/（力在區(qū)間（一上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】⑴-1;⑵1

【詳解】（1）由題意得了'（*）=———+acosrc,因?yàn)閏=0為/（re）的極值點(diǎn)，故/'（0）=1+a=0,a=—1,

ex

此時(shí)f（x）=-———cos/,則/V0時(shí)，-——>1,故/（/）>0,則/（T）在（―GO,0）上單調(diào)遞增；由/'（①）=

exex

e

—~~&-COST=———-——c°s*,令g（6）—\—x—e，cosc,g'（6）=-1—e，（cos4—sinx），當(dāng)0VcV弓時(shí)，

exex4

cosx—sinN>0,則g'Q）V0,則g{x）在（。，1）上單調(diào)遞減，故gQ）Vg（0）=0,即/（力）V0,故/（力）在

（0,1）上單調(diào)遞減，則n=0為/（力）的極大值點(diǎn)，符合題意，故Q=—1.

（2）由⑴知/（6）=xeTx—smx,f\x）—————cosx,力V0時(shí)，/（力）>0,J（x）在（一8,0）上單調(diào)遞增，則

ex

/㈤V/（0）=0,故/（力）在（—00,0）上不存在零點(diǎn)；當(dāng)0V/v￡時(shí)，/㈤V0,故/（力）在（06）上單調(diào)遞減,

則于（x）<y（o）=o,故/（力）在（。，1）上不存在零點(diǎn)；當(dāng)⑦=o時(shí)，/（o）=o,即N=o為y（x）的零點(diǎn)，綜合上

述，/3）在區(qū)間（一00,￡）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

［題目2）已知函數(shù)/（力）=2cosre+ln（l+/）一1.

⑴判斷函數(shù)/（⑼在區(qū)間（0,5）上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并給出證明；

（2）若力>0時(shí)，不等式/（力）VaC+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）函數(shù)/（，）在區(qū)間（0,5）上只有一個(gè)極值點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是

［1,+00）

【詳解】（1）函數(shù)/（c）在區(qū)間（。，專(zhuān)）上只有一個(gè)極值點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，證明如下,f'{x）=—2sina;H---/］，設(shè)

t(x)=/(rc)=—2sin/+力；1,力'(力)=-2cos?---；產(chǎn)，當(dāng)力E(0,

減，又/(0)=1>0,"等)=-2+^^=-2+47Vo，所以存在唯一的(0,與)，使得/'(0=0,所

'Z)A_i_1兀十2v27

2土,

以當(dāng)力e(o,df)時(shí)，/'(力)>0,當(dāng)力e時(shí)，/⑸<0,所以/(力)在(0,。)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以a是/(力)的一個(gè)極大值點(diǎn)，因?yàn)?(0)=2—1=1>0,/((2)>y(o)>0,/(］?)=ln(l+—1V0,所

以/(c)在(0,a)無(wú)零點(diǎn)，在(a,5)上有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)/(①)在區(qū)間(0,5)上只有一個(gè)極值點(diǎn)和一個(gè)零

點(diǎn)；

(2)由/(x)&a力+1,得2cos力+ln(l+力)一a力一2W0,令g(x)=2cos力+ln(l+力)一a力一2,(力>0),貝1

g(o)=。，

g{x}=—2sinj;+