山西省大學(xué)附屬中學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

山西省大學(xué)附屬中學(xué)校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．3．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是（）A． B． C． D．5．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則有A．的圖像關(guān)于直線對稱 B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．的最小正周期為 D．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減7．若長方體三個面的面積分別為2，3，6，則此長方體的外接球的表面積等于（）A． B． C． D．8．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點(diǎn)，，共面9．已知是球O的球面上四點(diǎn)，面ABC,，則該球的半徑為（）A． B． C． D．10．圓心為的圓與圓相外切，則圓的方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)在的遞減區(qū)間是__________12．已知則sin2x的值為________.13．若集合，，則集合________.14．在邊長為2的正△ABC所在平面內(nèi)，以A為圓心，為半徑畫弧，分別交AB，AC于D，E.若在△ABC內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是________．15．已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和_______.16．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實(shí)際長度為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在銳角中角，，的對邊分別是，，，且.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.18．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，為常數(shù)，且（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，請說明理由；（2）是數(shù)列的前項(xiàng)的和，若是遞增數(shù)列，求的取值范圍.19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）若,，求△ABC的面積S．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.21．已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用恒成立問題的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】函數(shù),由因?yàn)?，所以，即，?dāng)時，函數(shù)的最大值為，由于在區(qū)間上恒成立，故，實(shí)數(shù)的最小值是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的最值，需熟記公式與三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了不等式恒成立問題，屬于基出題2、D【解析】

首先根據(jù)即可得出，再根據(jù)前n項(xiàng)的公式計(jì)算出即可?！驹斀狻浚xD.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：（1）通項(xiàng)公式的推廣：

（2）若

為等差數(shù)列，

；（3）若是等差數(shù)列，公差為，

，則是公差

的等差數(shù)列；3、D【解析】

由兩向量平行，其向量坐標(biāo)交叉相乘相等，得到.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算，注意符號的正負(fù).4、B【解析】

求出直線的方程，計(jì)算出圓心到直線的距離，可知的最大高度為，并計(jì)算出，最后利用三角形的面積公式可得出結(jié)果.【詳解】直線的方程，且，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，因此，面積的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的最值問題，考查圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相離時，若圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為，距離的最小值為，要熟悉相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用.5、B【解析】

試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.6、B【解析】

把函數(shù)化簡后再判斷．【詳解】，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，A、C、D都錯誤，只有B正確．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式和正切函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的性質(zhì)問題，一般要把函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合相應(yīng)的三角函數(shù)得出結(jié)論．7、C【解析】

設(shè)長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為，，，由已知面積求得，，的值，得到長方體對角線長，進(jìn)一步得到外接球的半徑，則答案可求．【詳解】設(shè)長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為，，，則，解得，，．長方體的對角線長為．則長方體的外接球的半徑為，此長方體的外接球的表面積等于．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查長方體外接球表面積的求法，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意長方體的對角線長為長方體外接球的直徑.8、B【解析】

解：因?yàn)槿绻粭l直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項(xiàng)A，可能相交．選項(xiàng)C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側(cè)棱，選項(xiàng)D，三線共點(diǎn)，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.9、D【解析】

根據(jù)面，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長得到一個長方體，且長方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的直徑，從而得到答案?！驹斀狻棵?，三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱，，為棱長得到一個長方體，且長方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的直徑，即則該球的半徑為故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長得到一個長方體，三棱錐的外接球，即為該長方體的外接球，利用長方體外接球的直徑為長對角線的長，屬于基礎(chǔ)題。10、A【解析】

求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩圓相外切關(guān)系，可以求出圓的半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標(biāo)為，半徑r為3，圓心距為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以有,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的相外切的性質(zhì)，考查了已知圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】，由得，，時，．即所求減區(qū)間為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，解題時需把函數(shù)化為一個角一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解．12、【解析】

利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡，將的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵，，則sin2x＝=，故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．13、【解析】由題意，得，，則.14、【解析】

由三角形ABC的邊長為2不難求出三角形ABC的面積，又由扇形的半徑為，也可以求出扇形的面積，代入幾何概型的計(jì)算公式即可求出答案．【詳解】由題意知，在△ABC中，BC邊上的高AO正好為，∴圓與邊CB相切，如圖．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型概率的求法，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

通過令求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜測是以為周期的周期數(shù)列，且每個周期內(nèi)都是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．然后根據(jù)遞推式給予證明，最后由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算．【詳解】當(dāng)時，，，，，，，當(dāng)時，，，，，，，當(dāng)時，，，，，，，猜測，是以為周期的周期數(shù)列，且每個周期內(nèi)都是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．設(shè)中，即，∴，由于都是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中第項(xiàng)開始大于3，前項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，考查數(shù)列的周期性．解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的周期性．方法采取的是從特殊到一般，猜想與證明．16、【解析】

利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，可得為一個直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線的實(shí)際長度為.【詳解】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實(shí)際長度為.【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的規(guī)則，考查基本識圖、作圖能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由正弦定理可得，結(jié)合，可求出與；（2）由余弦定理可得，結(jié)合基本不等式可得，即可求出，從而可求出的最大值.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，又，所以，又是銳角三角形，則.（2）因?yàn)?，，，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時取等號），故.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）是公比為的等比數(shù)列，理由見解析；（2）【解析】

（1）由，當(dāng)時，，即可得出結(jié)論．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【詳解】（1），則時，，時，為等比數(shù)列，公比為．（2）由（1）可得：，只需，（）當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，又單減，∴當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，又單增，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式及其單調(diào)性，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）（1）【解析】試題分析：（1）由已知利用正弦定理，兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡可得，結(jié)合，可求，進(jìn)而可求的值；（1）由已知及余弦定理，平方和公式可求的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.試題解析：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=1bcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=1sinBcosA，

∴sin（A+C）=sinB=1sinBcosA，∵sinB≠0，∴，可得：

（1）∵，，∴b1+c1=bc+4，可得：（b+c）1=3bc+4=10，可得：bc=1．∴．20、（1）；（2）【解析】

（1）由二倍角公式，并結(jié)合輔助角公式可得，再利用周期可求出答案；（2）由的范圍，可求得的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，從而可求得的值域.【詳解】（1），∴函數(shù)的最小正周期為.（2）∵，∴，∴，∴，∴函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的周期及值域，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）.；（3）.【解析】試題分析：（1）對二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行討論，可得求出解集即可；（2）分為，，分別解出3種情形對應(yīng)的不等式即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立，利用分離參數(shù)的思想得恒成立，求出其最大值即可.試題解析：（1）①當(dāng)即時，，不合題意；②當(dāng)即時，，即，∴，∴（2）即即①當(dāng)即時，解集為②當(dāng)即時，∵，∴解集為③當(dāng)即時，∵，所以，所以∴解集為（