福建省廈門(mén)市第二中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

福建省廈門(mén)市第二中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問(wèn)積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是說(shuō)：圓堡瑽（圓柱體）的體積為：V＝×（底面的圓周長(zhǎng)的平方×高）．則由此可推得圓周率的取值為（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.32．記Sn為等差數(shù)列{an}的前A．a(chǎn)n=2n-5 B．a(chǎn)n=3n-103．有一個(gè)容量為200的樣本，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為（）A．48 B．60 C．64 D．724．矩形中，，若在該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，那么使得的面積不大于3的概率是（）A． B． C． D．5．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生6．等差數(shù)列{}中，＝2，＝7，則＝()A．10 B．20 C．16 D．127．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對(duì)一切，②若對(duì)一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列③若存在，使得，則存在，使得④若存在，使得，則存在，使得其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．38．若直線(xiàn)與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B． C． D．9．函數(shù)的圖象可能是（）.A． B． C． D．10．已知，則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．己知函數(shù)，有以下結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)②在區(qū)間上單調(diào)遞減③的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是④的最大值為則上述說(shuō)法正確的序號(hào)為_(kāi)_________（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_序號(hào)）.12．由正整數(shù)組成的數(shù)列，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，，記，若存在正整數(shù)（）滿(mǎn)足，，則__________．13．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后達(dá)到目的地.”則該人最后一天走的路程為_(kāi)_________里．14．已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，.則下列命題中正確的有_____．(填序號(hào))①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直線(xiàn)PD與平面ABC所成的角為45°.15．若，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.16．已知為銳角，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在等差數(shù)列中，已知．（1）求通項(xiàng)；（2）求的前項(xiàng)和．18．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面交于.（1）求證：平面；（2）若時(shí)，求二面角的余弦值.20．已知正方形的中心為,一條邊所在直線(xiàn)的方程是.(1)求該正方形中與直線(xiàn)平行的另一邊所在直線(xiàn)的方程;(2)求該正方形中與直線(xiàn)垂直的一邊所在直線(xiàn)的方程.21．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，求的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】試題分析：由題意知圓柱體積×（底面的圓周長(zhǎng)的平方×高）,化簡(jiǎn)得：，故選A．考點(diǎn)：圓柱的體積公式．2、A【解析】

等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，a5=5，S4=4(-7+2)【詳解】由題知，S4=4a1+【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．3、B【解析】

由，求出，計(jì)算出數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率，即可求解.【詳解】由,解得，所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率、頻數(shù)，屬于中檔題.4、C【解析】

先求出的點(diǎn)的軌跡（一條直線(xiàn)），然后由面積公式可知時(shí)點(diǎn)所在區(qū)域，計(jì)算其面積，利用幾何概型概率公式計(jì)算概率．【詳解】設(shè)到的距離為，，則，如圖，設(shè)，則點(diǎn)在矩形內(nèi)，，，∴所求概率為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率．解題關(guān)鍵是確定符合條件點(diǎn)所在區(qū)域及其面積．5、D【解析】試題分析：A中兩事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中兩事件既是互斥事件又是對(duì)立事件；D中兩事件是互斥但不對(duì)立事件考點(diǎn)：互斥事件與對(duì)立事件6、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知第五項(xiàng)減去第三項(xiàng)等于公差的2倍，由=+5得到2d等于5，然后再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到第七項(xiàng)等于第五項(xiàng)加上公差的2倍，把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故選D.7、C【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，通過(guò)舉例和證明逐項(xiàng)分析.【詳解】①取，，則，故①錯(cuò)；②對(duì)一切，，則，又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且，且，所以，則，則，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；③取，則，，令，所以，但是，故③錯(cuò)誤；④因?yàn)?，所以，所以，則，則，則存在，使得，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題函數(shù)性質(zhì)與數(shù)列的綜合，難度較難.分析存在性問(wèn)題時(shí)，如果比較難分析，也可以從反面去舉例子說(shuō)明命題不成立，這也是一種常規(guī)思路.8、B【解析】

利用直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的性質(zhì)求解．【詳解】∵直線(xiàn)與平行，解得a＝2或a＝﹣2．∵當(dāng)a＝﹣2時(shí)，兩直線(xiàn)重合，∴a＝2．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意兩直線(xiàn)的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．9、D【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再根據(jù)特殊區(qū)間時(shí)，判斷選項(xiàng).【詳解】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A,B，當(dāng)時(shí)，，，排除C.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，一般從函數(shù)的定義域確定函數(shù)的位置，從函數(shù)的值域確定圖象的上下位置，也可判斷函數(shù)的奇偶性，排除圖象，或是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，特征值，以及函數(shù)值的正負(fù)，是否有極值點(diǎn)等函數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng).10、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得，再利用化弦為切的方法，即可求得答案.【詳解】由已知?jiǎng)t故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，屬于三角函數(shù)求值問(wèn)題中的“給值求值”問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確掌握誘導(dǎo)公式中符號(hào)與函數(shù)名稱(chēng)的變換規(guī)律和化弦為切方法.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解析】

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項(xiàng)得到答案.【詳解】，根據(jù)圖像知：①的圖象關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤②在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確③的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，錯(cuò)誤④的最大值為，正確故答案為②④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的圖像，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的綜合理解和應(yīng)用.12、262【解析】

根據(jù)條件列出不等式進(jìn)行分析，確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，所以；又因?yàn)?，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，所以且；又時(shí)顯然不成立，所以，則，即；因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以；由可知：，則，；又，所以，則有根據(jù)可解得符合條件的解有：或；當(dāng)時(shí)，，解得不符，當(dāng)時(shí)，解得，符合條件；則.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項(xiàng)的存在性問(wèn)題，難度較難.根據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小，通過(guò)不等式確定參變的取值范圍，然后再去確定符合的解，一定要注意帶回到原題中驗(yàn)證，看是否滿(mǎn)足.13、3【解析】分析：每天走的路形成等比數(shù)列{an}，q=，S3=1．利用求和公式即可得出．詳解：每天走的路形成等比數(shù)列{an}，q=，S3=1．∴S3=1=，解得a1=2．∴該人最后一天走的路程=a1q5==3．故答案為：3．點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、②④【解析】

利用題中條件，逐一分析答案，通過(guò)排除和篩選，得到正確答案．【詳解】∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六邊形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直線(xiàn)BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意直線(xiàn)與平面成的角、直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．15、【解析】

令，結(jié)合可得，本題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在的值域，求解即可.【詳解】，.令，，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故所求值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域，利用換元法是解決本題的一個(gè)方法.16、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，再根據(jù)角度關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式即可得答案.【詳解】∵且，∴；∵，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）設(shè)出等差數(shù)列的基本量，首項(xiàng)和公差，根據(jù)條件列出方程組，解出和，寫(xiě)出的通項(xiàng).（2）由（1）中求出的基本量，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，寫(xiě)出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，，解得（2）由（1）可知，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量計(jì)算，等差數(shù)列通項(xiàng)和求和的求法，屬于簡(jiǎn)單題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）將化簡(jiǎn)整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?，所?要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說(shuō)明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案．【詳解】（1）∵為矩形∴，平面，平面∴平面.又因?yàn)槠矫嫫矫?，?為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形所以，平面，平面所以平面（2）不妨設(shè)，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為等邊三角形，所以，，且∵，所以有平面，故因?yàn)槠矫嫫矫妗嗥矫?，又，∴平面，則延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，由于平行且等于，所以為中點(diǎn)，，由于，，，所以平面，則，所以即為二面角的平面角在中，，，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的證明，以及二面角的余弦值的求法，考查學(xué)生空間想象能力，計(jì)算能力，由一定綜合性．20、(1);(2)或.【解析】

（1）由直線(xiàn)平行則斜率相等，設(shè)出所求直線(xiàn)方程，利用M點(diǎn)到兩直線(xiàn)距離相等求解；（2）由直線(xiàn)垂直則斜率乘積為-1，設(shè)出所求直線(xiàn)，利用M點(diǎn)到兩直線(xiàn)距離相等求解.【詳解】（1）設(shè)與直線(xiàn)平行的另一邊所在直線(xiàn)方程為，則，解得，或(舍).所以與直線(xiàn)平行的正方形的另一邊所在直線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)與直線(xiàn)垂直的正方形的邊所在直線(xiàn)方程為，則，解得，或.所以與直線(xiàn)垂直的正方形的邊所在的直線(xiàn)方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)平行或垂直與斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬直線(xiàn)方程求解基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）