2025屆吉林省吉化第一高級(jí)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

2025屆吉林省吉化第一高級(jí)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若實(shí)數(shù)滿足,則的大小關(guān)系是：A． B． C． D．2．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個(gè)問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢3．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．44．在中，，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊落在射線上，則（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．7．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．9．供電部門對(duì)某社區(qū)1000位居民2019年4月份人均用電情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，按人均用電量分為[0,10)，[10,20)，[20,30)，[40,50]五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．4月份人均用電量人數(shù)最多的一組有400人B．4月份人均用電量不低于20度的有500人C．4月份人均用電量為25度D．在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費(fèi)，選到的居民用電量在[30,40)一組的概率為110．甲箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球，乙箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)紅球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出一個(gè)球，設(shè)摸出的白球的個(gè)數(shù)為，摸出的紅球的個(gè)數(shù)為，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點(diǎn)，關(guān)于直線l對(duì)稱，那么直線l的方程為________.12．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．13．已知向量滿足，則與的夾角的余弦值為__________．14．已知、、分別是的邊、、的中點(diǎn)，為的外心，且，給出下列等式：①；②；③；④其中正確的等式是_________（填寫所有正確等式的編號(hào)）.15．如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，，，則的長(zhǎng)為____________．16．已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象過點(diǎn)，則方程所有解的和為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．（1）從第幾項(xiàng)開始；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值．18．已知圓經(jīng)過、、三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦的長(zhǎng)為，求直線的傾斜角．19．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，求.20．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．21．某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目．經(jīng)測(cè)算該項(xiàng)目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼．（1）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】分析：先解不等式,再根據(jù)不等式性質(zhì)確定的大小關(guān)系.詳解：因?yàn)?所以,所以選D.點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式解法以及不等式性質(zhì)，考查基本求解能力與運(yùn)用性質(zhì)解決問題能力.2、B【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又,則,故選B.3、B【解析】

利用直線的方程過點(diǎn)分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用余弦定理、三角形面積公式、正弦定理，求得和，通過等式消去，求得的兩個(gè)值，再判斷三角形的形狀.【詳解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題在求解過程中對(duì)存在兩組解，要注意解答的完整性與嚴(yán)謹(jǐn)性，綜合兩種情況，再對(duì)的形狀作出判斷.5、D【解析】

在的終邊上取點(diǎn),然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得答案.【詳解】在的終邊上取點(diǎn),則,根據(jù)三角形函數(shù)的定義得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

再遞推一步，兩個(gè)等式相減，得到一個(gè)等式，進(jìn)行合理變形，可以得到一個(gè)等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出，選出答案即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)得：，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此有，所以，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，考查了等比數(shù)列的判斷以及通項(xiàng)公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】畫出表示的可行域，如圖所示的開放區(qū)域，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，直線在縱軸上的截距取得最大值，此時(shí)有最小值，無最大值，的取值范圍是，故選A.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.8、D【解析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖逐一計(jì)算分析.【詳解】A：用電量最多的一組有：0.04×10×1000=400人，故正確；B：不低于20度的有：(0.01+0.05)×10×1000=500人，故正確；C：人均用電量：(5×0.01+15×0.04+25×0.03+35×0.01+45×0.01)×10=22，故錯(cuò)誤；D：用電量在[30,40)的有：0.01×10×1000=100人，所以P=100故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求解相關(guān)量，難度較易.頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法：每一段的組中值×頻率10、D【解析】可取，；，，，，，故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用直線垂直求出對(duì)稱軸斜率，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】求得，∵點(diǎn)，關(guān)于直線l對(duì)稱，∴直線l的斜率1，直線l過AB的中點(diǎn)，∴直線l的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，考查了直線點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計(jì)算，即可求出值．【詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的綜合應(yīng)用，高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．13、【解析】

由得，結(jié)合條件，即可求出，的值，代入求夾角公式，即可求解．【詳解】由得與的夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的定義，公式的應(yīng)用，求夾角公式的應(yīng)用，計(jì)算量較大，屬基礎(chǔ)題．14、①②④.【解析】

根據(jù)向量的中點(diǎn)性質(zhì)與向量的加法運(yùn)算,可判斷①②③.【詳解】、、分別是的邊、、的中點(diǎn),為的外心,且,設(shè)三條中線交點(diǎn)為G,如下圖所示:對(duì)于①,由三角形中線性質(zhì)及向量加法運(yùn)算可知,所以①正確;對(duì)于②,,所以②正確;對(duì)于③,,所以③錯(cuò)誤;對(duì)于,由外心性質(zhì)可知,所以故正確.綜上可知,正確的為①②④.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,三角形外心的性質(zhì)及應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由誘導(dǎo)公式可知，在中用余弦定理可得BD的長(zhǎng)?！驹斀狻坑深}得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題。16、【解析】

由周期求出，由圖象的所過點(diǎn)的坐標(biāo)求得，【詳解】由題意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，兩根之和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)的解析式，考查解三角方程．掌握正切函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）從第27項(xiàng)開始（2）【解析】

（1）寫出通項(xiàng)公式解不等式即可；（2）由（1）得數(shù)列最后一個(gè)負(fù)項(xiàng)為取得最大值處即可求解【詳解】（1）．解得．所以從第27項(xiàng)開始．（2）由上可知當(dāng)時(shí)，最大，最大為．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的最值，考查推理能力，是基礎(chǔ)題18、（1）；（2）或.【解析】

（1）設(shè)出圓的一般方程，然后代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組可解得；（2）討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和勾股定理列式可得直線的傾斜角．【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為，將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入圓的方程得，解得，所以，圓的一般方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線到圓心的距離為，滿足題意，此時(shí)直線的傾斜角為；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時(shí)，直線的傾斜角為.綜上所述，直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解，同時(shí)也考查了利用直線截圓的弦長(zhǎng)求直線的傾斜角，一般轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離，并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理列等式求解，考查計(jì)算能力，屬中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)即得；（2）由正弦定理得，再結(jié)合余弦定理可得.【詳解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）通過⊥，⊥來證明；（2）根據(jù)等體積法求解.【詳解】（1）證明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以且由（1）可知，由勾股定理得∵平面∴=，且∴，由，得∴即點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直與點(diǎn)到平面的距離.線面垂直的證明要轉(zhuǎn)化為線線垂直；點(diǎn)到平面的距離常規(guī)方法是作出垂線段求解，此題根據(jù)等體積法能簡(jiǎn)化計(jì)算.21、（1）不能獲利，政府每月至少補(bǔ)貼元；（2）每月處理量為噸時(shí)，平均成本最低.【解析】

（1）利用：（生物的柴油總價(jià)值）（對(duì)應(yīng)段的月處理成本）利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)的正負(fù)以及大小來判斷是否需要補(bǔ)貼，以及補(bǔ)貼多少；（2