上海市寶山區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市寶山區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分.）1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，的所有平方根為______.〖答案〗或〖解析〗設(shè)，則，由可得，，由可得，或，當(dāng)時，有，解得，；當(dāng)時，有，顯然不成立，綜上所述，.故〖答案〗為：或.2.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則該函數(shù)的表達(dá)式______.〖答案〗〖解析〗由為冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時，，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意，所以.故〖答案〗為：.3.無論為何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個定點，該定點坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)，即時，無論為何值，恒有，此時，所以定點坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.4.若，則______（用含的式子表示）.〖答案〗〖解析〗由，得，即，所以.故〖答案〗為：.5.若向量、滿足，，則______.〖答案〗〖解析〗由，，得，所以.故〖答案〗為：.6.已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗不等式等價于，解得，所以；解可得，，所以，因為，所以，解得.故〖答案〗為：.7.在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的大小如圖所示，則______.〖答案〗〖解析〗由，，則直線的方程為，設(shè)其傾斜角為，即，由，則，即，解得.故〖答案〗為：.8.已知關(guān)于的一元二次方程有兩個虛根，且，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗由，得，依題意，，即，解得，而，即，整理得，解得或，而，所以實數(shù)的值為.故〖答案〗為：.9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則______．〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，所以，所以，又因為在處取得最大值，所以有，所以，又因為，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.10.如圖，為計算湖泊岸邊兩景點與之間的距離，在岸上選取和兩點，現(xiàn)測得，，，，，據(jù)以上條件可求得兩景點與之間的距離為______（精確到）.〖答案〗5.8〖解析〗在中，有，，，由余弦定理可得，，即，整理可得，解得或（舍去），在中，有，，，所以，，由正弦定理可得，(km).故〖答案〗為：.11.已知，點是平面上一個動點，則當(dāng)由0連續(xù)變到時，線段掃過的面積是______.〖答案〗〖解析〗由，則，即，，由，則如圖：點在劣弧上，即線段掃過的部分為圖中的陰影部分，設(shè)其面積為，易知，，在四邊形中對角線，則四邊形的面積，在中，，解得，扇形的面積，故.故〖答案〗為：.12.已知函數(shù)，有以下命題：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)在上為增函數(shù)；③直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；④函數(shù)在上有三個零點；⑤函數(shù)的最小值為.請寫出正確命題的全部序號______.〖答案〗①③⑤〖解析〗①：，當(dāng)時，，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得此時單調(diào)遞增；故①正確；②：由①可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②不正確；③：，，由，則直線是函數(shù)的對稱軸，故③正確；④：當(dāng)時，，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得此時單調(diào)遞增，由，則函數(shù)存在唯一零點；當(dāng)時，，則，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得此時單調(diào)遞減，由，則函數(shù)存在唯一零點；易知，，，綜上：函數(shù)在上有兩個零點，故④不正確；⑤：由①可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，因為由①可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，故⑤正確.故〖答案〗為：①③⑤.二、選擇題（本大題共4題，滿分20分.）13.如果，那么下列式子中一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，故A錯誤；因為，所以，所以，故B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確.故選：D.14.歐拉公式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.當(dāng)時，恒等式更是被數(shù)學(xué)家們稱為“上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)上述材料判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題意，，，，故，則其在復(fù)平面對應(yīng)的點坐標(biāo)為，即該點在第四象限.故選：D.15.在平行四邊形中，，．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，所以，，所以.故選：D.16.在中，，P為線段上的動點，且，則最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，解得，，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分.）17.已知向量，.（1）求；（2）若向量，則當(dāng)為何實數(shù)時，？平行時它們是同向還是反向？解：（1）向量，，則，而，所以.（2）依題意，，而，，因此，解得，所以，向量與同向.18.流行性感冒簡稱流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強、傳播速度快的疾病.了解引起流感的某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對于預(yù)防流感的傳播有極其重要的意義，某科研團(tuán)隊在培養(yǎng)基中放入一定是某種細(xì)菌進(jìn)行研究.經(jīng)過2分鐘菌落的覆蓋面積為，經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來越快；菌落的覆蓋面積（單位：）與經(jīng)過時間（單位：）的關(guān)系現(xiàn)有三個函數(shù)模型：①（，），②（），③（）可供選擇.（參考數(shù)據(jù)：，）（1）選出你認(rèn)為符合實際的函數(shù)模型，說明理由，并求出該模型的〖解析〗式；（2）在理想狀態(tài)下，至少經(jīng)過多少分鐘培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過？（結(jié)果保留到整數(shù)）解：（1）因為（，）的增長速度越來越快，（）和（）的增長速度越來越慢，所以應(yīng)選函數(shù)模型（，），由題意得，解得，所以該函數(shù)模型為（）.（2）由題意得，即，所以，又，所以至少經(jīng)過培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過.19.已知復(fù)平面上有點、，向量與向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為和.（1）求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)滿足，，且為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù).解：（1）依題意，，，則，所以點的坐標(biāo)是.（2）依題意，，設(shè)，由，得，，而為純虛數(shù)，則，由，得，解得，所以.20.已知向量，，令函數(shù).（1）求函數(shù)表達(dá)式及其單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，且滿足，當(dāng)最小時，存在實數(shù)、使得，求的最小值.解：（1），由，，解得，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，，滿足，是偶函數(shù)，則，，，當(dāng)時，最小，此時，此時，由，則，即，則只有，時方程有解，即，，，，解得，，，，故，，當(dāng)時，最小，最小值為.21.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：.（e是自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）計算的值；（2）類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：______，并