2023-2024學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示，在正四棱錐中，分別是，，的中點，動點在線段上運動時，下列結(jié)論不恒成立的是().A．與異面 B．面 C． D．2．若，，，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．3．已知，復(fù)數(shù)，若的虛部為1，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-14．已知各個頂點都在同一球面上的正方體的棱長為2，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C6．已知兩條直線m，n，兩個平面α，β，下列命題正確是（）A．m∥n，m∥α?n∥α B．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．α⊥β，m?α，n?β?m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β7．設(shè)為正數(shù)，為的等差中項，為的等比中項，則與的大小關(guān)為()A． B． C． D．8．某學(xué)校禮堂有30排座位，每排有20個座位，一次心理講座時禮堂中坐滿了學(xué)生，會后為了了解有關(guān)情況，留下座位號是15的30名學(xué)生，這里運用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣9．若,,則的終邊所在的象限為()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限10．在中，，是的內(nèi)心，若，其中，動點的軌跡所覆蓋的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則這個圓錐的表面積等于______．12．如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則直線與平面所成的最大角的余弦值為________.13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出結(jié)果_____.14．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，則的取值范圍是________.15．設(shè)向量，若，，則.16．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，若關(guān)于的方程有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角的對邊分別為，且角成等差數(shù)列.（1）求角的值；（2）若，求邊的長.18．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值時的值.19．已知圓過點，，圓心在直線上，是直線上任意一點．（1）求圓的方程；（2）過點向圓引兩條切線，切點分別為，，求四邊形的面積的最小值．20．在中，已知，，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，求：頂點C的坐標(biāo)；

直線MN的方程．21．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且，，求△ABC的面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN.(1)由正四棱錐S?ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故C正確．(2)由異面直線的定義可知：EP與SD是異面直線，故A正確；(3)由(1)可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此B正確．(4)當(dāng)P與M重合時，有∥，其他情況都是異面直線即D不正確．故選D點睛：本題抓住正四棱錐的特征，頂點在底面的投影為底面正方形的中心，即SO⊥底面ABCD，EP為動直線，所以要證EP∥面，可先證EP所在的平面平行于面SBD，要證⊥可先證AC垂直于EP所在的平面，所以化動為靜的處理思想在立體中常用.2、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用．3、B【解析】，所以，。故選B。4、A【解析】

先求出外接球的半徑，再求球的表面積得解.【詳解】由題得正方體的對角線長為，所以.故選A【點睛】本題主要考查多面體的外接球問題和球的表面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、B【解析】

由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關(guān)系，以及A，B，C三者之間的關(guān)系即可．【詳解】由題BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，則B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故選：B．【點睛】此題考查了集合間的基本關(guān)系及運算，熟練掌握象限角，銳角，以及小于90°的角表示的意義是解本題的關(guān)鍵，是易錯題6、D【解析】

在A中，n∥α或n?α；在B中，m與n平行或異面；在C中，m與n相交、平行或異面；在D中，由線面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β．【詳解】由兩條直線m，n，兩個平面α，β，知：在A中，m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故A錯誤；在B中，α∥β，m?α，n?β?m與n平行或異面，故B錯誤；在C中，α⊥β，m?α，n?β?m與n相交、平行或異面，故C錯誤；在D中，由線面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β，故D正確．故選：D．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．7、B【解析】

由等差中項及等比中項的運算可得，，再結(jié)合即可得解.【詳解】解：因為為正數(shù)，為的等差中項，為的等比中項，則，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，故選：B.【點睛】本題考查了等差中項及等比中項的運算，重點考查了重要不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】抽名學(xué)生分了組（每排為一組），每組抽一個，符合系統(tǒng)抽樣的定義故選9、B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的終邊所在的象限為第二象限，故選B.考點：三角函數(shù)10、A【解析】

由且，易知動點的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），在中，由，利用余弦定理求得邊，再由和，求得內(nèi)切圓的半徑，從而得到，再由動點的軌跡所覆蓋的面積得解.【詳解】因為且，根據(jù)向量加法的平行四邊形運算法則，所以動點的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），因為在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以所以.所以.所以動點的軌跡所覆蓋的面積為：.故選：A【點睛】本題主要考查了動點軌跡所覆蓋的面積的求及正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)圓錐軸截面的定義結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可得圓錐底面半徑長和高的大小，由此結(jié)合圓錐的表面積公式，能求出結(jié)果．【詳解】∵圓錐的軸截面是正三角形，邊長等于2∴圓錐的高，底面半徑.∴這個圓錐的表面積：.故答案為．【點睛】本題給出圓錐軸截面的形狀，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓錐的軸截面等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、【解析】

作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當(dāng)在中點時，最大，求出即可。【詳解】設(shè)正方體的邊長為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當(dāng)在中點時，最大，當(dāng)在中點時，由于為正四面體，棱長為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【點睛】本題考查線面所成角，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)在中點時，最大，考查學(xué)生的空間想象能力以及計算能力。13、1【解析】

弄清程序框圖的算法功能是解題關(guān)鍵．由模擬執(zhí)行程序，可知，本程序的算法功能是計算的值，依據(jù)數(shù)列求和方法——并項求和，即可求出．【詳解】根據(jù)程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出，輸出的為1．【點睛】本題主要考查了含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的算法功能的理解以及數(shù)列求和的基本方法——并項求和法的應(yīng)用．正確得到程序框圖的算法功能，選擇合適的求和方法是解題的關(guān)鍵．14、【解析】

作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，作出函數(shù)的圖像，由圖可知故答案為：【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列等式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，且，所以，可得，又因為，所以，故答案為.【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.16、0＜a≤或a．【解析】

運用偶函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)f（x）的圖象，由5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），結(jié)合圖象，分析有且僅有6個不同實數(shù)根的a的情況，即可得到a的范圍．【詳解】函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：關(guān)于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+4）f（x）+4a＝0，解得f（x）＝a或f（x），當(dāng)0≤x≤2時，f（x）∈[0，]，x＞2時，f（x）∈（，）．由，則f（x）有4個實根，由題意，只要f（x）＝a有2個實根，則由圖象可得當(dāng)0＜a≤時，f（x）＝a有2個實根，當(dāng)a時，f（x）＝a有2個實根．綜上可得：0＜a≤或a．故答案為0＜a≤或a．．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決的常用方法．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，與三角形三內(nèi)角和等于即可解出角C的值.（2）將已知數(shù)帶入角C的余弦公式，即可解出邊c.【詳解】解：（1）∵角，，成等差數(shù)列，且為三角形的內(nèi)角，∴，，∴．（2）由余弦定理，得【點睛】本題考查等差數(shù)列、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．18、（1），最大值為.（2）時，最小值0.時，最大值.【解析】

（1）利用數(shù)量積公式、倍角公式和輔助角公式，化簡，再利用三角函數(shù)的有界性，即可得答案；（2）利用整體法求出，再利用三角函數(shù)線，即可得答案.【詳解】（1）∴，的最大值為.（2）由（1）得，∵，.，當(dāng)時，即時，取最小值0.當(dāng)，即時，取最大值.【點睛】本題考查向量數(shù)量積、二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意整體法的應(yīng)用.19、（1）（2）【解析】

（1）首先列出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件代入，得到關(guān)于的方程求解；（2）根據(jù)切線的對稱性，可知，，這樣求面積的最小值即是求的最小值，當(dāng)點是圓心到直線的距離的垂足時，最小.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為．由題意得解得故圓的方程為．另解：先求線段的中垂線與直線的交點，即解得從而得到圓心坐標(biāo)為，再求，故圓的方程為．（2）設(shè)四邊形的面積為，則．因為是圓的切線，所以，所以，即．因為，所以．因為是直線上的任意一點，所以，則，即．故四邊形的面積的最小值為．【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，和與圓，切線有關(guān)的最值的計算，與圓有關(guān)的最值計算，需注意數(shù)形結(jié)合.20、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）邊AC的中點M在y軸上，由中點公式得，A，C兩點的橫坐標(biāo)和的平均數(shù)為1，同理，B，C兩點的縱坐標(biāo)和的平均數(shù)為1．構(gòu)造方程易得C點的坐標(biāo)．（2）根據(jù)C點的坐標(biāo)，結(jié)合中點公式，我們可求出M，N兩點的坐標(biāo)，代入兩點式即可求出直線MN的方程．解：（1）設(shè)點C（x，y），∵邊AC的中點M在y軸上得=1，∵邊BC的中點N在x軸上得=1，解得x=﹣5，y=﹣2．故所求點C的坐標(biāo)是（﹣5，﹣2）．（2）點M的坐標(biāo)是（1，﹣），點N的坐標(biāo)是（1，1），直線MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=1．點評：在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否