黑龍江省哈爾濱市示范名校2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱市示范名校2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．等差數(shù)列的首項為.公差不為，若成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．2．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”3．擲一枚均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲2020次，那么拋擲第2019次時出現(xiàn)正面向上的概率是（）A． B． C． D．4．在空間直角坐標系中，軸上的點到點的距離是，則點的坐標是()A． B． C． D．5．若集合,則集合()A． B． C． D．6．數(shù)列，…的一個通項公式是（）A．B．C．D．7．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．38．直線與圓相交于點，則（）A． B． C． D．9．一個圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個球的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為（）A．1：3 B．3：1 C．2：3 D．3：210．若，則的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列，其中，若數(shù)列中，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______.12．已知都是銳角，，則=_____13．已知，，若，則實數(shù)________.14．在某校舉行的歌手大賽中，7位評委為某同學(xué)打出的分數(shù)如莖葉圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為______.15．若，則=.16．在等比數(shù)列中，，，則_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和.18．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點．求證:平面⊥平面.19．設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范圍.20．已知函數(shù)，，數(shù)列滿足，，.（1）求證；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，求中的最大項.21．在邊長為2的菱形中，，為的中點.（1）用和表示；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)等比中項定義可得；利用和表示出等式，可構(gòu)造方程求得；利用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：設(shè)等差數(shù)列公差為，則即：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，涉及到等比中項、等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠構(gòu)造方程求出公差，屬于?？碱}型.2、D【解析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對立.【詳解】記兩個黑球為，兩個紅球為，則任取兩球的所有等可能結(jié)果為：，記事件A為“至少有一個黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因為，所以事件與事件互為對立事件.【點睛】本題考查古典概型和對立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對立事件的常用方法.3、B【解析】

根據(jù)概率的性質(zhì)直接得到答案.【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)知：每次正面向上的概率為.故選：.【點睛】本題考查了概率的性質(zhì)，屬于簡單題.4、A【解析】

由空間兩點的距離公式，代入求解即可.【詳解】解：由已知可設(shè)，由空間兩點的距離公式可得，解得，即，故選：A.【點睛】本題考查了空間兩點的距離公式，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】試題分析：作數(shù)軸觀察易得.考點：集合的基本運算.6、D【解析】試題分析：由題意得，可采用驗證法，分別令，即可作出選擇，只有滿足題意，故選D．考點：歸納數(shù)列的通項公式．7、C【解析】

根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大．8、D【解析】

利用直線與圓相交的性質(zhì)可知，要求，只要求解圓心到直線的距離.【詳解】由題意圓，可得圓心，半徑，圓心到直線的距離.則由圓的性質(zhì)可得，所以.故選：D【點睛】本題考查了求弦長、圓的性質(zhì)，同時考查了點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為，利用圓柱側(cè)面積公式與球的表面積公式建立關(guān)系式，算出球的半徑，再利用圓柱與球的體積公式加以計算，可得所求體積之比．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，軸截面正方形邊長，則，可得圓柱的側(cè)面積，再設(shè)與圓柱表面積相等的球半徑為，則球的表面積，解得，因此圓柱的體積為，球的體積為，因此圓柱的體積與球的體積之比為．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積和體積公式，以及球的表面積和體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記公式，合理計算半徑之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

由，得，當時，即可求出的范圍，根據(jù)幾何概型的公式，即可求解．【詳解】由，得，當，即當時，，所以的概率為.【點睛】本題考查幾何概型的公式，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由函數(shù)（數(shù)列）單調(diào)性確定的項，哪些項取，哪些項取，再由是最小項，得不等關(guān)系．【詳解】由題意數(shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，存在，使得時，，當時，，∵數(shù)列中，是唯一的最小項，∴或，或，或，綜上．∴的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性與最值．解題時楞借助函數(shù)的單調(diào)性求解．但數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的自變量只能取正整數(shù)，因此討論時與連續(xù)函數(shù)有一些區(qū)別．12、【解析】

由已知求出，再由兩角差的正弦公式計算．【詳解】∵都是銳角，∴，又，∴，，∴．故答案為．【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式．考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系．解題關(guān)鍵是角的變換，即．這在三角函數(shù)恒等變換中很重要，即解題時要觀察“已知角”和“未知角”的關(guān)系，根據(jù)這個關(guān)系選用相應(yīng)的公式計算．13、2或【解析】

根據(jù)向量平行的充要條件代入即可得解.【詳解】由有：，解得或.故答案為：2或.【點睛】本題考查了向量平行的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

去掉分數(shù)后剩余數(shù)據(jù)為22,23,24,25,26，先計算平均值，再計算方差.【詳解】去掉分數(shù)后剩余數(shù)據(jù)為22,23,24,25,26平均值為：方差為：故答案為2【點睛】本題考查了方差的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.15、【解析】.16、1【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合通項公式可得公比q,從而可得首項.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，其公比為，，則，解可得，又由，則有，則，則；故答案為：1．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列性質(zhì)（其中m+n=p+q）的應(yīng)用，也可以利用等比數(shù)列的基本量來解決.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由等比數(shù)列易得公比和，進而可得等差數(shù)列的首項和公差，代入求和公式計算可得．【詳解】解：∵等比數(shù)列滿足，，

∴公比，

，

，

∴等差數(shù)列中，

∴公差，

∴數(shù)列的前項和．【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列的首項和公差是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．18、證明見解析【解析】

先證直線平面，再證平面⊥平面.【詳解】證明:∵是圓的直徑，是圓上任一點，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【點睛】本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡單證明.19、（1）（2）【解析】

（Ⅰ）由條件利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c關(guān)于A的三角函數(shù)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出a+c的最值．【詳解】解（Ⅰ）銳角又，，由正弦定理得，∴．

∴的取值范圍為【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）見解析；（2）；（3）【解析】

（1）將化簡后可得要求證的遞推關(guān)系.（2）將（1）中的遞推關(guān)系化簡后得到，從而可求的通項公式.（3）結(jié)合（2）的結(jié)果化簡，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【詳解】（1）證明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比為的等比數(shù)列.又，∴.（3）由（2）知，因為，所以，所以，令，則，又