2022-2023學(xué)年湖北省十堰市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖北省十堰市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.復(fù)數(shù)z=券的實(shí)部為()

A.1B.3C.D.-"

2.已知向量為=(1,32)花=(2,7—4)，若處萬，則2=()

A.1B.—1C.3D.—3

3.端午節(jié)前后，人們除了吃粽子、插艾葉以外，還要給孩子們佩戴香囊.某商家銷售的香囊

有四種不同的形狀，其中圓形的香囊有36個(gè)，方形的香囊有18個(gè)，桃形的香囊有27個(gè)，石榴

形的香囊有9個(gè).現(xiàn)該商家利用分層隨機(jī)抽樣的方法在這些香囊中抽出20個(gè)香囊擺放在展臺(tái)上,

則抽出的桃形香囊的個(gè)數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

4.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所

示，C'B'l久'軸，C'￡?7/y'軸，C'B'=1,A'B'=5,則△A‘B'C'的

原圖形的面積為()

A.5

C.10c

D.syn

5.將函數(shù)fO)=3cos(6x-金圖象上所有的點(diǎn)都向左平移專個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線圖

象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)。(久)的圖象，則g(x)=()

A.3sin(2x+y)B.3sin(x+C.3cos(2乂一》D.3cos(1x-y)

6.已知一個(gè)底面半徑為2,高為2C的圓錐，被一個(gè)過該圓錐高的中點(diǎn)且平行于該圓錐底面

的平面所截，則截得的圓臺(tái)的體積為()

A.弓包B.等C.3「兀D.6TI

7.已知6>會(huì)在鈍角△4BC中，AB=3gBC=5m,AC=M+6,則機(jī)的取值范圍是()

A.(f,6)B.(2,6)C.(1,2)D.(2,+8)

8.武當(dāng)山，位于湖北省西北部十堰市境內(nèi)，其自然風(fēng)光，以雄為主，兼

有險(xiǎn)、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰猶如金鑄玉琮的寶柱雄峙蒼穹，

屹立于群峰之巔.環(huán)繞其周圍的群山，從四面八方向主峰傾斜，形成獨(dú)特

的“七十二峰朝大頂，二十四澗水長(zhǎng)流”的天然奇觀，被譽(yù)為“自古無

雙勝境，天下第一仙山”.如圖，若點(diǎn)P為主峰天柱峰的最高點(diǎn)，M,N為

觀測(cè)點(diǎn)，且P,M,N在同一水平面上的投影分別為Q,E,F,乙QEF=30°,

乙QFE=45°,由點(diǎn)M測(cè)得點(diǎn)N的仰角為15。，NF-ME=200米，由點(diǎn)N測(cè)得點(diǎn)P的仰角為a且

tana=y/~2,則P,M兩點(diǎn)到水平面QEF的高度差約為（參考數(shù)據(jù)：V~3?1732）（）

A.684米B,732米C.746米D.750米

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知復(fù)數(shù)z=（2+i）i,貝！|（）

A.z=1+2iB.\z\=A/-5

C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn).z+1為純虛數(shù)

10.某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對(duì)2022屆初三年級(jí)所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)情況

進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖1所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了

10%,2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)分布條形圖如圖2所示，貝式）

圖I圖2

A.該校2022屆初三年級(jí)學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在［30,60）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占70%

B.該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在［60,80］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰

臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)同個(gè)數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2.2倍還多

C.該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中

位數(shù)均在［50,60）內(nèi)

D.相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一

分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加

11.已知函數(shù)f(%)=Asin(oox+0)(其中A>>0,\(p\</)的

部分圖象如圖所示，則()

A71

A"=/

B.3=4

C./(%)的圖象關(guān)于直線X=強(qiáng)對(duì)稱

D.f(x)在%市上的值域?yàn)閇-|,3]

12.上海世博會(huì)中國(guó)國(guó)家館以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中

華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類似的

六面體4BCD-4力16。1，設(shè)矩形48CD和的中心分別為。1和。2，若。1。21平面

ABCD,。]。2=6,AB=10,AD—2v,i41B1=8,=4,ABI]A、B、,BC//B^C^,AD/

/A%CD//CrDr,貝U()

C.直線AC與4C1異面D.二面角力-BC-Ci的余弦值是稟

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

tan22.5°

13.計(jì)算:

l-tan222.5°

14.已知非零向量匕另的夾角為也|方|=27-3,31(2a—b),則匯.b=，\d+b\=

15.已知。為△ABC的外心，且而=2荏+(1-4)前若向量瓦?在向量左上的投影向量為

林前,其中〃6弓,芻，則COSNAOC的取值范圍為.

16.如圖，在平面四邊形4BCD中，乙ADB=LABC=3,BD=

BC=4,沿對(duì)角線將△ABD折起，使平面ADB1平面8DC,

連接4C,得到三棱錐A-BCD,則三棱錐A-BCD外接球表面積

的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知cos@-a)=|,sin(,+0)=-y|,aG?，牛)，0e(。,一

⑴求sin2a；

(2)求cos(a+().

18.(本小題12.0分)

在AABC中，a,b,c分別是內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，sin2X+sinAsinC+sin2C+cos2B=1.

(1)求角B的大??；

(2)若a=5,b=7,求sinC.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-4BC中，已知Pa=PB=aC=8C=4,PC=4「，且44PB=60。，E,

F,M分別為力P,AC,BP的中點(diǎn)，N為FC的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面EBF.

(2)求異面直線PC與EB所成角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

為提倡節(jié)約用水，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣抽取2023年500個(gè)家庭的月均用水量(單位:t),將數(shù)據(jù)按照[4.555),[5.5,6.5),[6.5,7.5),

[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知這500個(gè)家庭

的月均用水量的第27百分位數(shù)為6.9.

(1)在這500個(gè)家庭中月均用水量在[758.5)內(nèi)的家庭有多少戶？

(2)求a,6的值；

(3)估計(jì)這500個(gè)家庭的月均用水量的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

21.(本小題12.0分)

如圖，在矩形4BCD中，E,尸分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把ADFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)

點(diǎn)P的位置，且PF18F.

(1)證明：平面PDF_L平面PDE.

(2)若。尸=2「，求三棱錐尸-EDF的體積的最大值.

(提示：Va,6,c>0,Vabc<史筌￡,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立)

22.(本小題12.0分)

已知/'(久)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足g(久)=f(x)"0+》

(1)設(shè)/'(%)=\sinx\-cosx,若xG[0,n],求y=g(x)的值域；

(2)設(shè)/(久)=sinx—cosx,討論尸(x)=asinx+g(x)(a為常數(shù)，a豐0)在(0,2023兀)上所有零

點(diǎn)的和.

答案和解析

1.【答案】B

3+i(3+0(2-t)_7-i71.

【解析】解:Z=l

2+i55

則Z的實(shí)部為《

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及實(shí)部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及實(shí)部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)榉?(1,3A),K=(2,7—4)，a//b，

所以2x34=7—2,解得2=1.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：圓形的香囊有36個(gè)，方形的香囊有18個(gè)，桃形的香囊有27個(gè)，石榴形的香囊有9個(gè),

現(xiàn)該商家利用分層隨機(jī)抽樣的方法在這些香囊中抽出20個(gè)香囊擺放在展臺(tái)上，

則抽出的桃形香囊的個(gè)數(shù)為20x皿焉九。=6-

DOI-LOI乙/ILz

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖中，C'B'lx'軸，C'D'〃y'軸,C'B'=1,AE=5,

則直觀圖面積為'-A'B''C'B'=jx5xl=|,

又由原圖的面積等于直觀圖面積的2。倍，所以原圖的面積為?x2。=5。.

故選：D.

根據(jù)題意，求出直觀圖的面積，進(jìn)而由直觀圖與原圖的面積關(guān)系，分析可得答案.

本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：將函數(shù)f（久）=3cos（6久-引的圖象上所有的點(diǎn)都向左平移工個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到曲線y=3cos[6（久+））-§=3cos（6久+）

再把得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，

得到。（久）=3cos（2x+=3sin（2久+：）的圖象.

故選：A.

由題意，利用函數(shù)y=As譏（3乂+9）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=Asi7i?x+s）的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：??,圓錐的底面半徑為2,高為2「，

???可得的圓臺(tái)的下底面半徑為2,上底面半徑為1,高為，有，

故該圓臺(tái)的體積V=|（7T+4?r+771-4兀）-=7?兀.

故選：A.

利用臺(tái)體的體積公式計(jì)算即可.

本題考查臺(tái)體的體積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閙>|,

所以BC—AC=5m—（m+6）=4m—6>0,

所以5"i>m+6,即BC>力C,

又5爪>3機(jī)>0,即

所以4最大，

222

則由余弦定理得cos力=°7黑黑+U加＜。，得和+6)5-2)＞。,

則m>2,

因?yàn)閙+6>5m—3m,

所以ni<6,

所以小的取值范圍是(2,6).

故選：B.

由題意可求4為鈍角，由余弦定理得(5爪+6)(爪-2)＞0,可求m＞2,利用三角形兩邊之差小

于第三邊可求爪＜6,即可得解機(jī)的取值范圍.

本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：若點(diǎn)P為主峰天柱峰的最高點(diǎn)，M,N為觀測(cè)點(diǎn)，且P,M,N在同一水平面上的投影

分別為Q,E,F,^QEF=30°,NQFE=45。，

由點(diǎn)M測(cè)得點(diǎn)N的仰角為15。，NF—ME=200米，由點(diǎn)N測(cè)得點(diǎn)P的仰角為a且tana=，克,

如圖，過M作MC1NF交NF于C,過N作ND1PQ交PQ于。,

如圖所示，因?yàn)镹F-ME=200,所以NC=200,

tan60°—tan45°_V_3-1

又4NMC=15°,則MC=二^,tanl5°=tan(60°-45°)

tan15H-tan60°-tan45°1+1^

則EF=MC=-=^==200(2+「),

Z—VD

又Z.QEF=30。，/-QFE=45°,所以NFQE=105°,

由正弦定理各FQZB200(2+V~3)_QF

sinzFEQ'二s譏105。-s出30°'

sinl05°=sin(60°+45°)=sm60°cos450+cos60°sm45°=孑,

200(2+O)x1,—1___

即FQ=—2=100口+100「,又乙PND=a,所以tana=。，

4

所以PD=ND-tana=FQ-tana=200+200A/-3，

則P,M兩點(diǎn)到平面QEF的高度差為PD+NC=200+2007~3+200=400+200\T3=200(2+

C)~746米.

故選：C.

過M作MC1N產(chǎn)交NF于C,itN^ND1PQ^PQ^D,根據(jù)正弦定理即可求解.

本題考查了正弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：z=(2+i)i=2i+i2=-1+23

則z=—1—23\z\—J(-1)2+22=V-5,故A錯(cuò)誤，8正確；

則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),在第二象限，故C正確；

z+l=2i,為純虛數(shù)，故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)已知條件，先求出z,即可依次求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共輾復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)

題.

10.【答案】ABD

【解析】解：2選項(xiàng)，由圖1可知，2022屆初三年級(jí)學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在［30,60)內(nèi)的學(xué)生

人數(shù)頻率為20%+25%+25%=70%,A正確；

B選項(xiàng)，設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為a(a>0),由圖1可知，2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)

在［60,80］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.2a,

2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在［60,80］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為ax(1+10%)X41%=0.451a,

0.451a>0.2ax2.2=0.44a,B正確；

C選項(xiàng)，2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)在［40,50)內(nèi)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一

分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)在［50,60)內(nèi)，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占25%+15%+5%=45%,2023

屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占41%+34%+7%=82%,。正確.

故選：ABD.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.

本題考查由頻數(shù)分布表、直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：由函數(shù)/(x)=Asin(3久+租)的部分圖象知，4=3,/(0)=3sin(p=-|,解得siitR=

1

~2,

因?yàn)榍兴訵=-弓，選項(xiàng)A正確；

因?yàn)閒儡)=3s譏臉/Y)=。，所以13Y=Mr(k€Z),解得r=8+48k(keZ)；

又因?yàn)椤?手>白，所以0<3<24,當(dāng)k=l時(shí)，3=8,選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)=3s譏(8久一》，所以令8x—I='+/OT(kez),解得x=￡+萼(kez),

ooL1Zo

所以/(久)的圖象關(guān)于直線X=會(huì)對(duì)稱，選項(xiàng)c正確；

因?yàn)楫?dāng)xe3,/時(shí)，8%—6,S],所以3sin(8x_*)e[―3],

所以/(?在琮幣上的值域?yàn)閇-1，3],選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

根據(jù)函數(shù)f(x)=Asi?l(3X+9)的部分圖象求出4、W和3的值，寫出函數(shù)的解析式，再判斷選項(xiàng)中

的命題是否正確.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)楣P=白=』端=

/1D1U□/i￡z

4_：24遇14R1

2cCABAD'

所以四條側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，這個(gè)六面體

不是棱臺(tái)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,由題意知，這個(gè)六面體的外接球球心。在

直線。1。2上，且。遇=4>T2,02A1=2門，

因?yàn)?。?+0]為=o2Al+(。1。2-。1。)2,即32+。1。2=20+(6-。1。)2,

解得001=2,所以六面體的外接球半徑R=7322+4=6，

所以這個(gè)六面體的外接球體積是，=9/?3=2887T,選項(xiàng)3正確.

對(duì)于C,AC和/?顯然不相交，計(jì)算=啜=,tanA.C1A1B1=察察=tanzCXBW

AD5L

tanNCiZ/i，

所以AC與&G不平行，所以AC和41的不在同一平面內(nèi)，選項(xiàng)C正確.

對(duì)于D,取BC和BiG的中點(diǎn)分別為M,N,連接O2N,MN,OrM,

則NOiMN即所求二面角的平面角，01M=5,O2N=4,

所以COSNO]MN=1=寸,選項(xiàng)D正確.

J。1。先（。1/_。2刈2

故選：BCD.

4中，根據(jù)棱臺(tái)的定義判斷即可.

B中，由題意求出六面體的外接球半徑，計(jì)算外接球的體積.

C中，判斷2C和①的不相交也不平行即可.

。中，找出二面角的平面角，計(jì)算余弦值即可.

本題考查了空間簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題.

13.【答案】1

12tan22.S°

【解析】解：]黑窯2'l-tan222.5°

111

=2?tan450=2x1=2

故答案為：i

tan22.5°1

變形可得黑舞=~tm45。，計(jì)算可得.

l-tan222.5°2

本題考查二倍角的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】24

【解析】解：因?yàn)槲錩L（21—3），所以（2為一尤）=0,

即2片一五.方=。又|初=2，3,

則方.9=2方之=2x（2「）2=24.

又2不=|可.|加|.cos.=24,解得|B|=8.

所以|五+另|=(a+K)2

=Ja2+2a-b+b2

=V12+48+64

=2V31.

故答案為：24；2V3L

首先由非零向量2,3的夾角為?I初=2^1,al(2a-垃等條件直接計(jì)算日與石的數(shù)量積，然后再

將所求向量的模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】百|(zhì)]

【解析】解：因?yàn)槎?4同+(1-冷而，所以而=4萬，

又因?yàn)?。為△ABC的外心，所以AABC為直角三角形且力B14C,。為斜邊BC的中點(diǎn)，

過力作BC的垂線2Q,垂足為Q.因?yàn)橥?在近上的投影向量為的=〃而，所以的=麗-前=

而|甌=[瓦:1，所以cos乙40c=鬻=與黑=2〃一1,因?yàn)椤?[|,茅

所以2〃一16由|],即cos乙40C的取值范圍為靛].

故答案為：心,|].

根據(jù)條件得出方=2而，即點(diǎn)。在邊BC上，又。為AABC的外心，從而得出力814C,。為斜邊8C

的中點(diǎn)，從而得出的=〃就，0Q=然后可得出COSNAOC=2〃一1,根據(jù)〃的范圍

即可求出cosNAOC的范圍.

本題考查了投影向量的定義，三角形外心的定義，共線向量基本定理，直角三角形的外心在斜邊

的中點(diǎn)上，余弦函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】（8+8廣）兀

【解析】解:在平面四邊形中設(shè)NCBD=e（0<e<9,NABD=5-。,

即在Rt△力。8中，^BAD=e,AD=

在4BCD中，CD=2BCsin^=8s譏/設(shè)4BCD外接圓圓心為M,外接圓半徑為r,

.e

8os啊42

由正弦定理可得2r=當(dāng).ee~~e

2osin2cosacos^cos2

設(shè)三棱錐力-BCD外接球球心為0,貝iJOM1平面BCD.如圖所示:

又因?yàn)槠矫?DB1平面BDC,平面4DBC平面BDC=BD,^ADB=90°,

所以AD1平面BDC,貝iMD〃0M,所以四邊形0MZM為直角梯形.

設(shè)外接球的半徑為R,在平面四邊形。MZM中，過。做0E1AD于E,

在U。。中，A0=D0=R,E為AD的中點(diǎn)，。"理=竿=磊

DO2=DE2+0E2,

故吟譜+產(chǎn)=熹+熹

所以*熹+島=鬻+高=-4+4X片翳

令3-2cos3=t,1<t<3,則cos。=

R2__4A+i4xX___—___——4J__________

R~-t2+6t-5-4+_”|）+6，

故t+2V當(dāng)且僅當(dāng)t=；,即t=，~^時(shí)（滿足1<t<3）等號(hào)成立.

所以解=一4+$《2+2產(chǎn)，

所以外接球表面積的最小值為4TTR2=（8+

故答案為：（8+8，不）兀.

首先利用正弦定理求出“急進(jìn)一步求出錐體的外接球的半徑，最后利用基本不等式求出R的

最小值，最后求出球的表面積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：折疊問題，平面圖形和空間圖形的關(guān)系，錐體和外接球的關(guān)系，基本不等

式，球的表面積公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)cos(7—a)=cos7cosa+sin7sina=

45445

.3

2COSCC~\-----SlYLOL——f

???cosa+sina=|V-2-

.-1oip

兩邊平方得(cosa+sina)2=―,則1+2sinacosa=

c.7

￡,SlTl(XCOSOt——

???si,nCza=一元7?

(2)vae(p^),a6(-^,0),

又丫cosg—a)=I，sin(；—a)=-|.

???sin(羊+S)=一告,sin?+°)=—sin普+￡)=圣

又。e(0,?則)+￡e(%/；.cosg+S)='.

則cos(a+S)=cos[e+S)-(J-a)]=cosG+0)cos?-a)+sing+8)sin0-a)

、

=忘5義三3,+1'2義/(-4力=>33

13513565

故cos(a+0)=一||.

【解析】(1)利用兩角差的余弦公式可得cosa+s譏a=|/攵，兩邊平方，結(jié)合二倍角的正弦公式

即可得解；

(2)利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的余弦公式即可得解.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式，和差角公式在三角化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)因?yàn)閟in2A+sinAsinC+sin2c+cos2B=1,

所以siM/+sinAsinC+sin2c=sin2B,

由正弦定理可知，a2,+ac+c2=b2,

所以cosB=《孝a!—ac1

—9

2ac2

因?yàn)锽為△ABC的內(nèi)角,

所以B=：.

(2)因?yàn)閍=5,b=7,

則由余弦定理知廬=a2+c2—2accosB,即7?=52+c2—2x5ccos

化簡(jiǎn)得c2+5c-24=0,

解得c=3或c=-8(舍去).

由正弦定理知三=b

sinB

則5譏0=竺膽3x緡3AT3

714

【解析】（1）根據(jù)題意可得。2+ac+c2^b2,再由余弦定理可得COSB,進(jìn)而求得B；

（2）由余弦定理可得c的值，再由正弦定理即可得解.

本題考查解三角形，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】（1）證明：取8c的中點(diǎn)Q,連接NQ,MQ,

因?yàn)镸,Q分別為PB,8c的中點(diǎn)，所以MQ〃PC,

因?yàn)镋,尸分別為4P,AC的中點(diǎn)，所以EF〃PC,所以MQ〃爵,

MQC平面EBF,EFu平面E8F,所以MQ〃平面EBF,

因?yàn)镹,Q分別為FC,BC的中點(diǎn)，所以NQ//FB,

NQ仁平面EBF,FBu平面EBF,所以NQ〃平面EBF,

因?yàn)镸QCNQ=Q,所以平面MNQ〃平面EBF.

因?yàn)镸Nu平面MNQ,所以MN〃平面EBF.

（2）解：因?yàn)镋F〃PC,所以NFEB（或其補(bǔ)角）即異面直線PC與EB所成的角,

因?yàn)镻2=PB=AC=BC=4,S./.APB=60°,

所以△ABC,AABP均為等邊三角形，EB=BF=2C,EF/PC=2C，

根據(jù)余弦定理可得cos/FEB=君陰"=

ZXzvZxzV3o

所以異面直線PC與E8所成角的余值為學(xué).

【解析】(1)根據(jù)題干證出面面平行，再根據(jù)兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面的任意一條直線都與另一

個(gè)平面平行的性質(zhì)證出線面平行.

(2)結(jié)合余弦定理，即可求出異面直線PC與EB所成角的余弦值.

本題考查立體幾何的綜合知識(shí)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在［758.5)內(nèi)的家庭的頻率為0.3,

則在這500個(gè)家庭中月均用水量在［7.5,8.5)內(nèi)的家庭有500x0.3=150戶.

(2)由頻率分布直方圖，可得0.05+b+a+0.30+0.20+0.08=1,

則a+b=0.37,

因?yàn)檫@500個(gè)家庭的月均用水量的第27百分位數(shù)為6.9,

所以在0.05+b+(6.9-6.5)a=0.27,

則b+0.4a=0.22,

解得a=0.25,b=0.12.

(3)估計(jì)這500個(gè)家庭的月均用水量的平均值為：

0.05X5+0.12X6+0.25x7+0.30X8+0.20X9+0.08X10—7.72.

【解析】(1)求得月均用水量在［7.5,8.5)內(nèi)的頻率，根據(jù)頻數(shù)公式求解即可；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)和月均用水量的第27百分位數(shù)為6.9,列方程求解即可；

(3)根據(jù)平均數(shù)公式列式計(jì)算即可求解.

本題考查由頻率分布直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，頻率分布直方圖坐標(biāo)軸的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

21.【答案】(1)證明：根據(jù)題意可得PF1PD,

因?yàn)镻F1BF,BF//AD,所以PF1AD.

PDr\AD=D,PDu平面PAD,ADu平面PA。，

所以PF_L平面PDE,因?yàn)镻Fu平面PDF,

所以平面PDF_L平面PDE.

(2)解：設(shè)CF=x,CD=y,貝I|/+y2=i2,DE=x,PF=x,EF=y.

由(1)知PF_L平面PDE,貝！IPF1PE,得PE=J產(chǎn)

因?yàn)镻F_LAD,EFLAD,EFCPF=F,u平面PFE,PFu平面PFE,

所以2D1平面PFE,貝(1PE,

所以三棱錐P-EDF的體積Vp_EDF=^F-PED=jx|-x-yjy2-X2-x=j%2-7y2-x2=|x2-

V12-2x2,

2

因?yàn)榫?.712—2久2=J比2—2.(12-2久2)4J(必+弋12rg^)3=8，當(dāng)且僅當(dāng)/=12-2x,

即％=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以(0_EDF)max="義8=￡故三棱錐P—EDF的體積的最大值為《

【解析】(1)利用線線垂直可證PF1平面PDE，進(jìn)而可證平面PDF_L平面PDE.

(2)設(shè)CF=x,CD=y,由題意可得/+V=12,可得=:久之?V12—2*2,利用基本不

等式可求三棱錐尸-EDF的體積的最大值.

本題考查面面垂直的證明，考查錐體的體積的最大值的計(jì)算，屬中檔題.

22.【答案】解：(1)由題意,/(%)=\sinx\-cosx,

f(%+^)=|sin(x+^)|—cos(%+今=\cosx\+sinx,

所以g(%)=/(%)?/(%+])=(|sinx|—cosx)(\cosx\+sinx)=\sinxcosx\+\sinx\sinx—

\cosx\cosx—sinxcosx,

當(dāng)%e[0,今時(shí)，sinx>0,cosx>0,

g(%)=sin2%—cos2%=—cos2x,

因?yàn)榫盟?%e[0,7i],

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在[0,夕上單調(diào)遞增，且g(0)=-1，弱)=1，

則g(x)e[―1,1]；

當(dāng)%e百兀]時(shí)，sinx>0,cosx<0,

g(%)=1—sin2x,

因?yàn)榫肊成,TT],所以2%W[匹2用,

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在g,手上單調(diào)遞增，在笆，加上單調(diào)遞減，

且嗎=g(兀)=1，。岑)=2，則g(x)6[1,2].

綜上，xe[O,用時(shí),y=g(X)的值域?yàn)閇-1,2]；

(2)由題意,/(x)=sinx—cosx,f(x+。)=sin(%+^)—cos(x+。)=cosx+sinx,

所以g(久)=/(%)?/(%+］)=(sinx—cosx^cosx+sinx)=sin2x—cos2x=—cos2x,

F(x)=asinx+g(x)=ccsinx—cos2x=Isin1x+asinx—1,

因?yàn)?2TT)=2sin2(x+2")+asin{x+2TT)—1=2sin2x+asinx-1=F(x),

所以函數(shù)F(%)是以27r為周期的周期函數(shù).

設(shè)sin%=t,

則尸(%)即為y=h(t)=2t2+at-1,te［—1,1］,

由于4=a2+8>0,

所以h(t)=2t2+at-l=。必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

設(shè)為七1，七2(［1<22)，

則韋達(dá)定理可得：0