高等數(shù)學(xué)研究教案

課程教案章節(jié)名稱第一章函數(shù)、極限、連續(xù)課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第1周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握函數(shù),極限,連續(xù)的概念,2,掌握求極限的方法3,會(huì)用連續(xù)的定義求極限重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是函數(shù),極限,連續(xù)的概念與性質(zhì)難點(diǎn)是求函數(shù)的極限課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：一、極限（一）極限基本概念1、極限的定義（1）數(shù)列極限：設(shè)SKIPIF1<0為一個(gè)數(shù)列，SKIPIF1<0為常數(shù)，若對(duì)任意SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0成立，則稱SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的極限，記SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（2）函數(shù)當(dāng)自變量趨于無(wú)窮時(shí)的極限：設(shè)SKIPIF1<0為一個(gè)函數(shù)，SKIPIF1<0為一個(gè)常數(shù)，若對(duì)任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0成立，稱SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)以SKIPIF1<0為極限，記為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（3）函數(shù)當(dāng)自變量趨于有限值的極限：設(shè)SKIPIF1<0為一個(gè)函數(shù)，SKIPIF1<0為一個(gè)常數(shù)，若對(duì)任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0成立，稱SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)以SKIPIF1<0為極限，記為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（4）左右極限：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別稱SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的左右極限，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0SKIPIF1<0都存在且相等。問(wèn)題：（1）若對(duì)任意的SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是否以常數(shù)SKIPIF1<0為極限？（2）若數(shù)列SKIPIF1<0有一個(gè)子列以常數(shù)SKIPIF1<0為極限，數(shù)列SKIPIF1<0是否以常數(shù)SKIPIF1<0為極限？（3）若數(shù)列SKIPIF1<0的奇子列與偶子列都存在極限，數(shù)列SKIPIF1<0是否有極限？若其奇子列和偶子列極限存在且相等，數(shù)列SKIPIF1<0的極限是否存在？2、無(wú)窮?。?）無(wú)窮小的定義：以零為極限的函數(shù)稱為無(wú)窮小。（2）無(wú)窮小的性質(zhì)1）有限個(gè)無(wú)窮小之和與積還是無(wú)窮小；2）有界函數(shù)與無(wú)窮小之積還是無(wú)窮小。特殊情況，常數(shù)與無(wú)窮小之積還是無(wú)窮?。?）極限與無(wú)窮小的關(guān)系：（3）無(wú)窮小的層次關(guān)系1）定義：2）性質(zhì)：設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的充分必要條件是SKIPIF1<0。（4）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。?）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0。（5）無(wú)窮大1）定義：2）無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系。問(wèn)題：（1）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和是否一定是無(wú)窮?。浚?）設(shè)SKIPIF1<0都是無(wú)窮小，且SKIPIF1<0，是否一定有SKIPIF1<0？（3）有限個(gè)非無(wú)窮小之和或者積是否一定不是無(wú)窮??？舉例說(shuō)明。（二）極限的性質(zhì)1、極限的基本性質(zhì)（1）唯一性：數(shù)列或函數(shù)極限存在必是唯一的。（2）有界性1）若數(shù)列極限存在，則該數(shù)列一定有界，反之不對(duì)。2）函數(shù)極限的局部有界性：（3）保號(hào)性1）若函數(shù)的極限大于（或小于）零，則函數(shù)在該點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)也大于（或小于）零；2）若函數(shù)是非負(fù)（或非正）的，且函數(shù)的極限存在，則極限也是非負(fù)（或非正）。（4）列與子列極限極限的關(guān)系：2、極限的存在性定理與重要極限定理1單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。定理2夾逼定理（數(shù)列及函數(shù)）：重要極限：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0。3、極限運(yùn)算性質(zhì)（1）四則運(yùn)算性質(zhì)（2）復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算性質(zhì)注解：?jiǎn)栴}：（1）若SKIPIF1<0有界，SKIPIF1<0是否一定存在？（2）若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，是否一定有SKIPIF1<0？舉例說(shuō)明。（3）若SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是否存在？若SKIPIF1<0及SKIPIF1<0存在，是否一定有SKIPIF1<0存在？（4）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，是否一定有SKIPIF1<0？舉例說(shuō)明。二、連續(xù)與間斷（一）基本概念1、函數(shù)連續(xù)的定義（1）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義及等價(jià)定義（2）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的定義2、間斷及其間斷點(diǎn)的分類（1）第一類間斷點(diǎn)：（2）第二類間斷點(diǎn)。（二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、最值定理2、有界定理3、零點(diǎn)定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端點(diǎn)型介值定理：注解：（1）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)；（2）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是該點(diǎn)的函數(shù)值、左右極限相等。問(wèn)題：（1）設(shè)SKIPIF1<0都在SKIPIF1<0處間斷，則SKIPIF1<0是否一定在SKIPIF1<0處間斷？（2）若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)是否在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)也連續(xù)？舉例說(shuō)明。例題部分一、填空題1、SKIPIF1<0。2、設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。3、SKIPIF1<0。4、設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。5、設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。6、SKIPIF1<0。7、SKIPIF1<0。8、SKIPIF1<0。9、設(shè)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處連續(xù)，則SKIPIF1<0。二、解答題1、判別函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性，并求其反函數(shù)。2、求下列極限：（1）SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0。（3）SKIPIF1<0。（4）SKIPIF1<0。（5）SKIPIF1<0。（6）SKIPIF1<0。（7）SKIPIF1<0。（8）SKIPIF1<0。（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0。（11）SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0。3、證明數(shù)列SKIPIF1<0極限存在，并求其極限。4、設(shè)SKIPIF1<0，證明數(shù)列SKIPIF1<0收斂，并求SKIPIF1<0。5、設(shè)SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0。且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0。6、求極限SKIPIF1<0。7、設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。章節(jié)名稱第二章導(dǎo)數(shù)與微分課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第3周周一3,4節(jié)第4周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念,2,掌握求導(dǎo)數(shù)的工具重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)難點(diǎn)是求導(dǎo)數(shù)的工具課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：一、導(dǎo)數(shù)的基本概念設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的鄰域內(nèi)有定義，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，則稱函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0可導(dǎo)，極限稱為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù)，記為SKIPIF1<0。注解：（1）若SKIPIF1<0存在，稱此極限為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的右導(dǎo)數(shù)，記為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，稱此極限為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的左導(dǎo)數(shù)，記為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)的充分必要條件是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都存在且相等。（2）導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。注解：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)切線的斜率。問(wèn)題：（1）設(shè)SKIPIF1<0存在，問(wèn)SKIPIF1<0是否存在？若存在求之，不存在舉反例說(shuō)明。（2）設(shè)SKIPIF1<0存在，問(wèn)SKIPIF1<0是否存在？若存在證明之，若不存在舉反例說(shuō)明。（3）設(shè)SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0是否存在？說(shuō)明理由。（4）設(shè)SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0是否存在？說(shuō)明理由。（5）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)，問(wèn)SKIPIF1<0是否在SKIPIF1<0處連續(xù)？（6）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)，是否有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的鄰域內(nèi)連續(xù)？（7）是否存在只有一個(gè)可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)？二、求導(dǎo)工具（一）求導(dǎo)基本公式1、SKIPIF1<0（常數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；2、SKIPIF1<0，特殊情形SKIPIF1<0（冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；3、SKIPIF1<0，特殊情形SKIPIF1<0（指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；4、SKIPIF1<0，特殊情形SKIPIF1<0（對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）；5、（三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0；4）SKIPIF1<0；5）SKIPIF1<0；6）SKIPIF1<0；7）SKIPIF1<0；8）SKIPIF1<0；9）SKIPIF1<0。6、（反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式）：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0；4）SKIPIF1<0。7、補(bǔ)充公式：1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0。（二）求導(dǎo)法則1、四則求導(dǎo)法則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0。2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)SKIPIF1<0皆可導(dǎo)，則SKIPIF1<0可導(dǎo)，且SKIPIF1<0。3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為可導(dǎo)的反函數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。注解：（1）原函數(shù)與其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系；（2）二階導(dǎo)數(shù)之間沒(méi)有這種關(guān)系。三、可微與微分1、可微的定義2、連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系3、一階微分形式的不變性4、求導(dǎo)類型（1）顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)；（3）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）變積分限的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（5）分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（6）高階導(dǎo)數(shù)。例題部分1、設(shè)SKIPIF1<0存在，（1）求SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0。2、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù)，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。3、設(shè)對(duì)任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0處處可導(dǎo)。4、設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在坐標(biāo)原點(diǎn)處相切，求SKIPIF1<0。5、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。6、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（5）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（6）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（7）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。7、（1）設(shè)SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。（2）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)，求常數(shù)SKIPIF1<0。（3）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)，求SKIPIF1<0。8、（1）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（4）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。（5）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。章節(jié)名稱第三章微分學(xué)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第6周周一3,4節(jié)第7周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握羅爾定理,拉格朗日中植定理和柯西中值定理,2,掌握函數(shù)最值的求法.3會(huì)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)描繪函數(shù)的圖像.4會(huì)求曲率.重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是三大中值定理難點(diǎn)是中值定理的應(yīng)用課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：中值定理1、（羅爾定理）設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)，SKIPIF1<0。則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。2、（拉格朗日定理）設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)。則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。3、（柯西定理）設(shè)設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)，SKIPIF1<0。則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。4、（泰勒定理）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的鄰域內(nèi)有直到SKIPIF1<0階導(dǎo)數(shù)。則有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0稱為余項(xiàng)，SKIPIF1<0稱為拉格朗日型余項(xiàng)，其中SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間；SKIPIF1<0稱為皮亞諾型余項(xiàng)。注解：1、中值定理中的條件是結(jié)論成立的充分條件，而非必要條件。2、柯西中值定理中SKIPIF1<0用以保證定理結(jié)論的等式兩端分母不可能為零。3、常用的馬克勞林公式（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0。4、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的鄰域內(nèi)有SKIPIF1<0階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則SKIPIF1<0二、函數(shù)的單調(diào)性與極值1、函數(shù)的單調(diào)性（1）定義：（2）函數(shù)單調(diào)性判別法：2、函數(shù)的極值（1）函數(shù)極值的定義：（2）必要條件（函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)的點(diǎn)，反之不對(duì)）。（3）函數(shù)極值的判別：1）第一充分條件：2）第二充分條件：三、函數(shù)的最值1、設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值。2、實(shí)際問(wèn)題最優(yōu)解。3、具有唯一駐點(diǎn)的函數(shù)最值的討論。注解：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值不一定是其極大和極小值。四、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)1、曲線的凹凸及拐點(diǎn)的定義：2、曲線凹凸性的判別方法：五、漸近線1、鉛直漸近線：若SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的一條鉛直漸近線；2、水平漸近線：若SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的一條水平漸近線；3、斜漸近線：設(shè)SKIPIF1<0為一條直線（其中SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，稱直線SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的一條斜漸近線。若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的一條斜漸近線。六、函數(shù)圖象的描繪的步驟1、求函數(shù)的定義域；2、求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，并求出函數(shù)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)的點(diǎn)、二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)及二階不可導(dǎo)的點(diǎn)；3、求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間及函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；4、求函數(shù)的鉛直、水平及斜漸近線；5、描圖。七、弧微分、曲率與曲率半徑1、弧微分（1）設(shè)曲線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）設(shè)曲線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（3）設(shè)曲線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。2、曲率及曲率半徑（1）曲率：SKIPIF1<0；（2）曲率半徑：SKIPIF1<0。例題部分一、選擇題1、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0處SKIPIF1<0（）SKIPIF1<0不可導(dǎo)；SKIPIF1<0可導(dǎo)且SKIPIF1<0；SKIPIF1<0取極大值；SKIPIF1<0取極小值。2、函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）SKIPIF1<0個(gè)；SKIPIF1<0個(gè)；SKIPIF1<0個(gè)；SKIPIF1<0個(gè)數(shù)與SKIPIF1<0有關(guān)。3、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的拐點(diǎn)；SKIPIF1<0非SKIPIF1<0極值，SKIPIF1<0非SKIPIF1<0拐點(diǎn)。二、解答題1、設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)，且SKIPIF1<0，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。2、設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。3、設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。4、設(shè)SKIPIF1<0。證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。5、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，在SKIPIF1<0內(nèi)二階可導(dǎo)，連接SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線與曲線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。6、證明下列不等式：（1）設(shè)SKIPIF1<0。證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0。（2）證明：SKIPIF1<0。（3）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0。7、（1）研究方程SKIPIF1<0的實(shí)根個(gè)數(shù)。（2）討論方程SKIPIF1<0根的個(gè)數(shù)。章節(jié)名稱第四章不定積分課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第8周周一3,4節(jié)第9周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握不定積分的概念與性質(zhì),2,掌握換元法和分布積分法3.掌握有理函數(shù)的積分重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是不定積分的概念與性質(zhì),換元法和分布積分法.難點(diǎn)是有理函數(shù)的積分課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：一、原函數(shù)與不定積分1、設(shè)SKIPIF1<0為兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的原函數(shù)。注解：（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，反之不對(duì)；（2）有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)一定不存在原函數(shù)，但有第二類間斷點(diǎn)的函數(shù)可能存在原函數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（3）2、不定積分—一個(gè)函數(shù)的所以原函數(shù)稱為該函數(shù)的不定積分，記為SKIPIF1<0。注解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）一個(gè)可導(dǎo)的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)及原函數(shù)皆為偶函數(shù)；（3）一個(gè)可導(dǎo)的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)一定為奇函數(shù)，但其原函數(shù)不一定為奇函數(shù)。（4）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為周期函數(shù)，但其原函數(shù)不一定為周期函數(shù)。二、不定積分的性質(zhì)1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0。三、不定積分基本公式1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；3、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；4、（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0。5、（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0。四、積分法1、換元積分法（1）第一類換元積分法SKIPIF1<0。（2）第二類換元積分法SKIPIF1<0。2、分部積分法SKIPIF1<0。3、特殊函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分：（2）三角有理函數(shù)的積分：（3）無(wú)理函數(shù)的積分：例題部分1、求下列不定積分：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0。2、求下列不定積分：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0。3、求下列不定積分：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0。章節(jié)名稱第五章定積分課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第10周周一3,4節(jié)第11周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握定積分的概念與性質(zhì),2,掌握換元法和分布積分法3.掌握反常積分重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是定積分的概念與性質(zhì),換元法和分布積分法.難點(diǎn)是反常積分課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：定積分的概念1、定積分的定義：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有界。（1）作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；（2）任取SKIPIF1<0，作積分和SKIPIF1<0；（3）令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，則稱函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積，其極限稱為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的定積分，記為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。注解：（1）SKIPIF1<0，反之不對(duì)。（2）定積分與區(qū)間劃分無(wú)關(guān)。（3）區(qū)間上有界的函數(shù)不一定可積（舉反例）（4）連續(xù)函數(shù)一定可積，反之不對(duì)。（5）若一個(gè)函數(shù)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則一定可積。（6）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積，則SKIPIF1<0。（7）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0是可積的，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。二、定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可積，則有1、SKIPIF1<0。2、SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)）。3、SKIPIF1<0。4、SKIPIF1<0。5、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。推論1設(shè)在區(qū)間SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。推論2設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積，則SKIPIF1<0。6、設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0。7（積分中值定理）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。8（1）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒為零，則SKIPIF1<0。（3）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒等于SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0。9、（積分第一中值定理）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，且SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。證明：因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上一定可取到最大和最小值，分別設(shè)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩邊在SKIPIF1<0上積分，得SKIPIF1<0。情形一：SKIPIF1<0，根據(jù)補(bǔ)充性質(zhì)1得SKIPIF1<0，則對(duì)一切的SKIPIF1<0，原等式都成立。情形二：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0。10、（柯西不等式）設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積，則SKIPIF1<0。三、積分學(xué)基本理論定理1設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。定理2（積分基本公式）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個(gè)原函數(shù)，則SKIPIF1<0。注解：（1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，且其原函數(shù)具有可導(dǎo)性。（2）變積分限的求導(dǎo)可作如下推廣：1）SKIPIF1<0。2）SKIPIF1<0。3）若積分限是含有SKIPIF1<0的函數(shù)，而被積表達(dá)式中除積分變量外還含有SKIPIF1<0，在求關(guān)于SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般要先處理被積表達(dá)式中的SKIPIF1<0。如：四、積分法1、換元積分法設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，令SKIPIF1<0可導(dǎo)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。2、分部積分法設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)可導(dǎo)，則SKIPIF1<0。五、重要公式或結(jié)論1、三角函數(shù)在特定區(qū)間上的積分性質(zhì)（1）SKIPIF1<0特例：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，特例：SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0。（4）SKIPIF1<0。2、周期函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的周期函數(shù)，則有（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為任意實(shí)數(shù)。（2）SKIPIF1<0。3、對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)的積分性質(zhì)設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，則（1）SKIPIF1<0。（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（3）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。六、廣義積分1、積分區(qū)間有限被積函數(shù)無(wú)界的廣義積分（1）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0。（2）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0。（3）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0。2、積分區(qū)間無(wú)限的廣義積分（1）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0。（2）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0。（3）設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則SKIPIF1<0。章節(jié)名稱第六章定積分的應(yīng)用課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第12周周一3,4節(jié)第13周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握定積分的元素法,2,掌握定積分在幾何上的應(yīng)用.3.掌握定積分在物理上的應(yīng)用重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是定積分在幾何上的應(yīng)用.難點(diǎn)是定積分在幾何上的應(yīng)用課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：（一）幾何應(yīng)用1、平面圖形的面積（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（3）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（4）設(shè)曲線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體表面積為SKIPIF1<0。2、空間幾何體的體積（1）曲線SKIPIF1<0分別繞SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（2）設(shè)一個(gè)幾何體位于平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間，對(duì)任意的SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0所得的截口面積為SKIPIF1<0，則幾何體的體積為SKIPIF1<0。3、平面曲線的長(zhǎng)度（1）設(shè)曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（2）設(shè)曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（3）設(shè)曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。（二）物理應(yīng)用1、引力（質(zhì)點(diǎn)與線段之間或者線段與線段之間）、壓力。2、變力沿直線運(yùn)動(dòng)所做的功。例題部分一、求下列極限：1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0；3、SKIPIF1<0；4、SKIPIF1<0；5、設(shè)SKIPIF1<0可微，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。二、求下列定積分：1、SKIPIF1<0；2、SKIPIF1<0；3、設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；4、求SKIPIF1<0；5、求SKIPIF1<0；6、SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為任意常數(shù)）。三、證明下列等式：1、（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；2、設(shè)SKIPIF1<0是以正數(shù)SKIPIF1<0為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：SKIPIF1<0；3、SKIPIF1<0；4、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可微，且SKIPIF1<0，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。5、設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上二階連續(xù)可導(dǎo)，且SKIPIF1<0，證明：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。四、證明下列不等式：1、設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，證明：SKIPIF1<0。2、設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)可導(dǎo)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0。3、設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：SKIPIF1<0。4、設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)可導(dǎo)，證明：SKIPIF1<0。5、對(duì)任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0。章節(jié)名稱第七章微分方程課程類型理論課■討論課□習(xí)題課□實(shí)驗(yàn)課□上機(jī)課□技能課□其他□授課時(shí)間第14周周一3,4節(jié)第15周周一3,4節(jié)教學(xué)進(jìn)度學(xué)生考勤應(yīng)到：實(shí)到：請(qǐng)假：曠課：教學(xué)方法講授目的要求：1,掌握微分方程的基本概念,2,掌握一階微分方程及其解法3.掌握可降階的高階微分方程和二階線性微分方程的解法重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是一階微分方程可降階的高階微分方程和二階線性微分方程的解法難點(diǎn)是二階線性微分方程的解法課后作業(yè)：作業(yè)批改記錄：教學(xué)后記：一、微分方程的基本概念1、微分方程的定義：2、微分方程的解、特解及通解：3、微分方程的階數(shù)：二、一階微分方程及其解法1、可分離變量的微分方程（1）定義：（2）解法：2、齊次微分方程（1