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2024年新高考地區(qū)數(shù)學(xué)名校地市選填壓軸題好題匯編(A)
一、單選題
1.(2023?廣東佛山?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且〃x+l)-〃3-x)=0,〃x+l)-2
為奇函數(shù),則“2023)=()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】D
【解析】由〃龍+1)-2為奇函數(shù)得:/(x+l)+/(-x+l)=4,即〃x)+〃2-x)=4,
又因?yàn)?(x+l)=/(3r),所以〃x+2)=〃2—x),所以〃x)+〃x+2)=4,
所以〃尤+2)+〃%+4)=4,兩式相減得:/(x)=/(x+4),所以函數(shù)的周期7=4,所以
/(2023)=/(3),
因?yàn)榱?尤+1)-2為奇函數(shù),所以/(0+1)—2=0,即/(1)=2,
在+3r)=0中,令元=0得:/(3)=/(1)=2,所以“2023)="3)=2,
故選:D.
2.(2023?廣東珠海?高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)對(duì)任意xeR都有〃x+2)=-"x),且當(dāng)x?0,2)
時(shí),/(x)=log2(x+l),貝葉(2023)-/(—2023)=()
A.2B.1C.-ID.-2
【答案】D
【解析】因?qū)θ我鈞eR,/(%+2)=-/(%),貝廳(x+4)=-/(x+2)=〃x),即函數(shù)周期為4.
因2023=505x4+3,-2023=-506x4+1,則f(2023)=/(3),/(-2023)=/(1).
又由〃x+2)=-〃x),令x=l,可得〃3)=-”1),貝1」/(2023)-/(—2023)=
/(3)-/(1)=-2/(1)=-2log22=-2.
故選:D
3.(2023?廣東廣州?高三華南師大附中??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=sin(%-l)+e1-e-T+1,則滿
足/(%)+/(3-2%)<0的x的取值范圍是()
A.(—8,3)B.(3,+co)C.(—8,1)D.(l,+°o)
【答案】D
【解析】由已知可得,/(2—%)=sin(l—x)+e!A—eA
=-sin(x-l)-ex-1+e1-x+x-1=-f^x),
所以,/(2-x)+/(x)=0.
所以,/[2-(3-2x)]+/(3-2x)=0,
即f(2x_l)+J(3-2x)=0,所以f(3—2x)=-/(2x-l).
則由不等式/?+/(3-2x)<0可得,
/(x)<-/(3-2x)=/(2^-l).
又r(x)=cos(x-l)+ex-1+e1-T-1>2Vex-1-e1-x+cos(x-1)-1=cos(xT)+120恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)e*T=e-,即x=l時(shí)等號(hào)成立,
所以,,(無(wú))在R上單調(diào)遞增.
則由〃x)</(2x—1)可得,x<2x-l,解得x>l.
所以,滿足/?+f(3-2x)<0的x的取值范圍是(1,-+W).
故選:D.
4.(2023?廣東廣州?高三華南師大附中??茧A段練習(xí))已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{4}的前"項(xiàng)積為I,
且滿足。<4<1,(?50-1)(?49-1)<0,若對(duì)任意的〃eN*,恒成立,貝琳的值為()
A.50B.49C.100D.99
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4(4>。),
若0<q41,由0<弓<1,則0<?!埃?恒成立,
由4W1,得。4應(yīng)4/9,即?50V%9<1,
這與(。5()_1)(。49_1)<0矛盾,所以4>1.
由4>1,又。<4<1,則%>。恒成立,
得4M即。用>%.
則等比數(shù)列{q}為遞增數(shù)列,
則。50>。49,又(“50—1)(“49—1)<。,
所以0<%<。2<<。48<。49<1<。50<。51V㈠
則4>《>4>>n9,且式9<G)<。<
所以矗是/的最小值,即對(duì)任意的〃£N*,七4(恒成立,
所以人的值為49.
故選:B.
5.(2023?廣東廣州?高三華南師大附中??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=,sin2x+灰2s2x(〃bw0)的圖象關(guān)
于直線X=看對(duì)稱,若存在用,入2,,%,滿足/(々)+|八々)—/5)|++/5.1)一"七)|=|2的,
其中心2,〃N+,則〃的最小值為()
A.6B.7C.8D.9
【答案】B
[解析]由/(x)=6/sin2x+bcos2x(abw0)可得
/(%)=J/+萬(wàn)sin(2x+0),其中tan0=—;
又因?yàn)榱?無(wú))的圖象關(guān)于直線X=$對(duì)稱,所以需滿足2x=+e=W+E,%eZ,
662
解得夕=?+E,左EZ,EPtancp-tan(―+kn\=,Z:eZ;
616;3
可得tan°=2=走,即。=技,所以/(x)=|2@sin(2x+g+fai]/eZ
a3I6J
由正弦函數(shù)值域可得〃x)=|2,sin(2x+£+kt[e[-|2&|,\2b\]
若要求滿足/仁)一/伉)|++|/(V1)-/k)|=|2叫的n的最小值,
只需滿足/(1)-/(%)|取最大值即可,而|"%一)-〈區(qū)-(-24=陽(yáng),
所以當(dāng)且僅當(dāng)|〃XJ-/(X2)H/(X2)-〃X3)|==|〃X)T(x")|=|初時(shí)滿足題意,
即|〃西)-/(%)|+|/(/)-〃/)|++|〃X,T)-〃X")|=|246|=6X|4小
所以〃—1=6,得〃=7,即〃的最小值為7.
故選:B
6.(2023?廣東東莞?高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=cos(m-協(xié)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,其中。>0,
7T7T
夕£(-兀,0),而且在區(qū)間-了1上有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,則①的取值范圍是()
399399
A.—<a)<—B.2<co<—C.—WgW—D.2WgW一
222222
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=cos(Ox-0)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且xeR,0e(-7t,0),
即函數(shù)為奇函數(shù),所以/(0)=0ncos(—協(xié)=0=0=-不
故/(x)=cos(0x+3=_sinox,
IT7T7171
當(dāng)工£時(shí),①xw--co,-co,有且只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,
37r兀/?!竜八
---<——co<——3/9I-八
242-<a><—9
由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得久=22now2,-
7171371c,-2
故選:B.
7.(2023?廣東汕尾?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線C:無(wú)2=4y的焦點(diǎn)為BC的準(zhǔn)線與,軸交于點(diǎn)AP
是C上的動(dòng)點(diǎn),則花■的取值范圍為()
「/?
A.[1,2]B.[1,+8)C.D.-^-,1
【答案】C
設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為/,作PN_U(如圖),
PNPB
貝"PN=BP,sin^PAN=——=——,
PAPA
PA
當(dāng)再■取最大值時(shí),sin/R4N取得最小值,
當(dāng)且僅當(dāng)R4與拋物線相切于點(diǎn)尸時(shí),等號(hào)成立,
當(dāng)上4與拋物線相切時(shí),設(shè)直線Q4的方程為、=辰-1,代入d=4y,可得--4履+4=0,
由A=16/-16=0,解得后=±1,
不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限,即笈=1,則42,1),
|PN|=2,|PA|=^PN2+AN2=2A/2,即sin/PAN=*,
PA
所以方的最大值為亞,
PA
又當(dāng)點(diǎn)尸在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),止匕時(shí)|酬=戶同,即領(lǐng)■的最小值為1,
故署的取值范圍為[1,拒].
故選:C.
8.(2023?廣東汕尾?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)外”的定義域?yàn)?-e,0)U(0,y),且
#(x)=(y+l)/(y+l),則()
A.B./(1)=1C./(x)是偶函數(shù)D.f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)
【答案】D
【解析】令g(x)=#(x),則g(y+i)=(y+i)/(y+i),
所以g(x)=g(y+i),且x,y+i為定義域內(nèi)任意值,故g(x)為常函數(shù).
令g(x)=k,則〃尤)=:,為奇函數(shù)且沒(méi)有極值點(diǎn),c錯(cuò),D對(duì);
所以〃力2。不恒成立,,⑴=1不一定成立,A、B錯(cuò).
故選:D
9.(2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)已知函數(shù)〃月=2而(3+夕)]。>0,-1<夕<]]圖
象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為3且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則夕的值為()
O
兀71兀71
A.B.C.D.
12673
【答案】D
7T
【解析】由函數(shù)/(x)=2sin?x+9)g>0,一圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為二,則
6
JT
T=—,/.^y=6,/(x)=2sin(6x+^>),
癡,。)對(duì)稱,=2sin6x+=0
又因?yàn)槠潢P(guān)于點(diǎn)B)[if^
即sin仁+a]=0,則|5兀57c
+(p=kn(keZ),解得(p=----Fkn,keZ,
33
且一]<9<],所以上=2,°=;.D正確.
故選:D
10.(2023?廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)給定函數(shù)〃x)=(x+l)e,-a(aeR),若函數(shù)
恰有兩個(gè)零點(diǎn),貝的取值范圍是()
A.a<——B.
e
1八1
C.——<iZ<0D.ci>—y
ee
【答案】C
【解析】若函數(shù)f(尤)恰有兩個(gè)零點(diǎn),即方程(x+l)e*=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
即函數(shù)g(x)=(x+l)e'與函數(shù)'圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
易知g'(x)=4+(x+1)e*=(x+2)e"
令g'(x)=O,解得x=-2,
所以當(dāng)尤武-也,-2)時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(無(wú))在(-oo,-2)上單調(diào)遞減,
當(dāng)X4-2,+00)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(無(wú))在上單調(diào)遞增,
所以g⑴在x=-2取得最小值g(-2)=-5,
易知當(dāng)x=-l時(shí),g(x)=0,且無(wú)<-1時(shí)g(x)<0,
在同一坐標(biāo)系下分別畫出兩函數(shù)圖象,如下圖所示:
故選:C
11.(2023?廣東深圳?高三深圳中學(xué)校考階段練習(xí))已知cos[a+聯(lián)]=|,ae[o,1^,則cos1a+|?卜()
LL-(717171
所以cosa-\■—=cosa-\----+—
I3JI12)4
(兀、71.(71.71
=cosa+——cos——sina+——sin—
12J4]⑵4
3040e
=—X---------------X---------=------------.
525210
故選:C
12.(2023?廣東深圳?高三深圳中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/("=把\g(x)=^x2-lnx+a,若罵,
%目1,2],使得/(占)=8(々),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.f^--,4-ln2+2^B.f1--,4-ln2+2
^2ee2J\_2ee2_
(2,-ell)「2,"-1廠
C.-+ln2-2,——D.—+In2—2,——
舊e2)Lee2j
【答案】D
【解析】”x)=p,f(無(wú))=[,當(dāng)xe[l,2]時(shí),r(x)<0,
~21-
函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,函數(shù)的值域是,
g(^)=—x2—\nx+a,=x—————-,當(dāng)xw[l,2]時(shí),g>0,
2xx
函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,函數(shù)的值域是g+",2-ln2+〃,
因?yàn)槿?,x2G[1,2],使得〃%)=且(%2),
11
—+a<—
所以『e解得:馬+ln2-
2-ln2+?>4e'e2
,e-
'9i「
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-+ln2-2,--.
_e~e2_
故選:D
13.(2023?廣東江門?高三統(tǒng)考階段練習(xí))北宋著名文學(xué)家蘇軾的詩(shī)詞"日啖荔枝三百顆,不辭長(zhǎng)作嶺南
人",描述的是我國(guó)嶺南地區(qū)著名的水果荔枝.為了利用數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)估計(jì)某果園的荔枝產(chǎn)量,現(xiàn)根據(jù)在果實(shí)
成熟期,荔枝的日產(chǎn)量呈現(xiàn)"先遞增后遞減”的規(guī)律和該果園的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù),對(duì)該果園的荔枝日產(chǎn)量給出模
型假設(shè):前10天的每日產(chǎn)量可以看作是前一日產(chǎn)量的2倍還多1個(gè)單位;第n到15天,日產(chǎn)量與前日持
平;從第16天起,日產(chǎn)量剛好是前一天的一半,直到第25天,若第1天的日產(chǎn)量為1個(gè)單位,請(qǐng)問(wèn)該果
園在不計(jì)損耗的情況下,估計(jì)這25天一共可以收獲荔枝單位個(gè)數(shù)為(精確到整數(shù)位,參考數(shù)據(jù):,°=1024)
()
A.8173B.9195C.7150D.7151
【答案】A
【解析】根據(jù)題意,設(shè)日產(chǎn)題為〃表示第〃天,則
當(dāng)2W〃W10時(shí),a,=2a,i+l,化為a“+l=2(qi+l),
:.{%+1}是以q+1=2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,
.?“"+1=2",即%=2"-1,同時(shí),%=1滿足上式,
q+2++〃io=21-1+2之一1++21°—1
2(1-210)
—10=2x2i°—12=2036,
1-2
當(dāng)11W〃<15時(shí),%5=〃14=〃13=〃12=二21°一1,
"1]+42+■+45=(21°-1)x5=5115,
當(dāng)164“425時(shí),{%}是以;為公比的等比數(shù)歹U,
2/
a\6+a\l+'-+a25=*1022,
2
可得q+4++%=2036+5115+1022=8173.
故選:A.
14.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中??茧A段練習(xí))已知等比數(shù)列{4}單調(diào)遞增,且“,電,/1成等
差數(shù)列,則當(dāng)對(duì)取最小值時(shí),集合A={qJa“eN*}中的元素之和為()
A.36B.42C.54D.61
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列{4}的公比為4力1,
2
由a”的,%-1成等差數(shù)列得2%=%+“3-1,即2%q=%+atq-1,
整理得6=/^,故{%}為正項(xiàng)數(shù)列,
又因?yàn)榈缺葦?shù)列{風(fēng)}單調(diào)遞增,說(shuō)明其公比4>1,
q
于是知=
"i)2.
設(shè)〃q)=工(q>i),貝4'(4)=5q4(q-1)-1,/(初-5)
2
q—i"I)"If'
所以當(dāng)皆時(shí),「⑷<0,/⑷單調(diào)遞減;當(dāng)"停,+力時(shí),-(4)>0"⑷單調(diào)遞增,
故當(dāng)q時(shí),勺=尸(4)取最小值;
%=%q'i=16義圖n—1
于是可求得%=16,
所以可得%=20,%=25,%eN*(〃N4,〃£N*)
所以集合4={。/4£N*}中的元素之和為16+20+25=61,
故選:D.
15.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中??茧A段練習(xí))焦點(diǎn)為尸的拋物線C:y2=2p尤(p>())的對(duì)稱軸與
準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,點(diǎn)8在拋物線C上且在第一象限,在△ABb中,3sin/AFB=4sin/E4B,則直線期的斜率
為()
A/W
Ar4a
232
【答案】A
【解析】過(guò)B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為",作無(wú)軸的垂線,垂足為E,
則由拋物線的定義可得IBF|=|BH\,由3sinZAFB=4sinNE4B,
在△ABF中由正弦定理可知:|AB|=:|BF|=g|2//|,|,
設(shè)班1的傾斜角為a,貝1Jsina=tana=也4,
BFBH32
故選:A.
16.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中??茧A段練習(xí))如圖,已知正四棱臺(tái)A8CD-4BC]。的上、下
底面邊長(zhǎng)分別為2和4,側(cè)棱長(zhǎng)為石,點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn),點(diǎn)尸在側(cè)面BCG與內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界),且叱
與平面片所成角的正切值為2百,則()
D
A.CP長(zhǎng)度的最小值為20-1
B.存在點(diǎn)P,使得EPLPC
C.存在點(diǎn)尸,使得AP//EG
D.棱長(zhǎng)為1.5的正方體可以在此空心棱臺(tái)容器內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A,分別取BC,耳G,A2的中點(diǎn)為£G,",連接EF,FG,GH,HE,EG,如下圖所示:
由題意得,BGHG,BCJGF,又HGcGF=G,HG,GFu平面EFGH,
所以可得用G,平面瓦G〃,
又EGu平面EFGH,所以用GLEG;
又因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4,側(cè)棱長(zhǎng)為君,
即可得"G=2,EF=4,84=石,易得GF=2,
所以在梯形瓦GH中,GF=HG=HE=2,EF=4,可得EG=26,
滿足EG?+G尸2=£/2,所以EGLGF;
又B£iCGF=G,耳G,GBU平面3CC內(nèi),所以EG,平面3CC由;
又因?yàn)椤關(guān)與平面BCQBI所成角的正切值為26,
FGr~
可得一^=2石,即PG=1,
PG
所以點(diǎn)尸的軌跡是G為圓心,即以BC為直徑在平面BCGB、內(nèi)的半圓,
故CP長(zhǎng)度的最小值為CG-1=20-1,故A正確;
對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知,EG,平面BCGA,CPu平面BCGA,所以EGLCP;
若CPLGP(即CP與以4G為直徑的半圓相切時(shí)),CP,平面EPG,
又EPu平面EPG,所以砂,PC,
即存在點(diǎn)P,使得EPLPC,故B正確;
對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)與重合時(shí),AE//BG,且AE=8|G=2,
此時(shí)四邊形以片G為平行四邊形,所以A4〃EG,gpAP//EC,,故C正確;
對(duì)于D,若正方體在此容器內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動(dòng),則正方體的外接球可以放進(jìn)容器,
棱長(zhǎng)為1.5的正方體的外接球直徑為主8,
2
由等腰梯形EFG”可知,其高GG'=百,如下圖所示:
可知此棱臺(tái)可放入的最大球的直徑為。,小于正方體外接球直徑,
故不可以在此空心棱臺(tái)容器內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng),所以D不正確.
故選:ABC
17.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)??茧A段練習(xí))設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿足41-3肛+/-z=0,則空的
Z
最大值為()
A.0B.2C.1D.3
【答案】C
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)無(wú)、>、z滿足4x?-3孫+y2-z=。,貝l]z=4Y-3孫+y:
孫=盯=]<]=1
22
貝IJz4%-3xy+y4%+2_3_2_2_3,當(dāng)且僅當(dāng)>=2尤>0時(shí)取等號(hào).
故的最大值為1.
Z
故選:C.
3InY
18.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)+a-2以,若存在唯一的整數(shù)%,
X
使則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
ln3In2、In3In2
A-『r丁B.)
In2In3、
C.(—,—)D.(In2,In3)
23
【答案】A
31nx
【解析】/(x)的定義域?yàn)椋ā?+s),由“x)>0有唯一整數(shù)解,得吧!>2依一。有唯一整數(shù)解,
X
令g(x)=獨(dú)空,定義域?yàn)?。,+8),h{x)=2ax-a,定義域?yàn)?0,”),
x
則g,(x)=型二臂,令g'(x)=0,解得尤=e,
則g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,y)上單調(diào)遞減,g(x)在X=e處取極大值也是最大值,
易知成x)的圖象是恒過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線,
若aWO,則顯然不符合題意,
31n2,
---->4a-a
…4,即2ln3ln2
若a>0,貝!J]oio,角牛付<a<——,
g⑶⑶31n52
----<oa-a
[3
故選:A.
19.(2023?湖南?學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立,奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)
的基礎(chǔ),著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物,具有典型的分形特征,其操作過(guò)程如下:將閉區(qū)
間[0』均分為三段,去掉中間的區(qū)間段\彳),記為第1次操作;再將剩下的兩個(gè)區(qū)間0,g,1,1分別均
分為三段,并各自去掉中間的區(qū)間段,記為第2次操作;…;每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上,將剩下的
各個(gè)區(qū)間分別均分為三段,同樣各自去掉中間的區(qū)間段;操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去,剩下的區(qū)間集合即是“康
2
托三分集".設(shè)第〃次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為巴,數(shù)列也“}滿足:b?=nan,則數(shù)列也}中的取值最大的項(xiàng)為
()
A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第6項(xiàng)
【答案】C
【解析】由題可知4=:,a2=2xgxg,a3=22xgxgxg,a4=23x;xgxgxg,
由止匕可知%=2“一,所以4,
因?yàn)?i=3"+l嗚一#(|)4(1]加+1)2-斗照(-/+4〃+2),
令—/+4附+2=0,解得多=2+后,%=2-#(舍),
由此可知"W4時(shí)力+1-2>0;〃25時(shí)&]-bt<0,故4的取值最大,
故選:C.
20.(2023?湖北省直轄縣級(jí)單位?高三??茧A段練習(xí))在平面內(nèi),四邊形A8CQ的—3與,?;パa(bǔ),
DC=tBC=A/3,ADAC=30°,則四邊形A8C£)面積的最大值=()
A.6B.走+1C.變+1D.2
22
【答案】B
【解析】因?yàn)榕c“互補(bǔ),sinZB=sinZD,且四點(diǎn)共圓.
ACDC
所以NCBO=ZDAC=30°,在△ADC中,由正弦定理得
sinZDsinADAC
ACBCBCDC
在一ABC中,由正弦定理得,所以
sinZBsinZBACsinZBACsinZDAC
得sin/3AC=且,所以N3AC=60°或NBAC=120°.
2
r)c
設(shè)四邊形ABC。的外接圓半徑為R,則一二…=2R,解得尺=1.
sinZDAC
(1)設(shè)A5=a,AD=b.
當(dāng)NR4c=60°,則NBAD=90°,故ZBC£>=90°,止匕時(shí)S叱。=gxlxgxsin90°,且BD=2,在RtA4B£)
中,4=〃+"..2",所以即SAM=;x她,1.
所以四邊形鉆8面積5=5.8+54如,@+1,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí),四邊形ABCD面積取得最大值為3+1
(2)當(dāng)/BAC=120°,則/A4£>=150°,故N8CZ)=30°,所以S"四=gxlxV^xsin30°=乎.因?yàn)?/p>
.”n=2R,所以m=1,則在△ABD中由余弦定理得1=〃+62一2"儂150°,
sinABAD
2
所以也"=1-("+Z?)<1,即〃/?<^^.所以5ABD=—x^Z?sinl50°=—ab<^~,
V73ABD2412
此時(shí),四邊形ABC。面積S=SBCD+SABD<立<3+1,
綜上,四邊形A3CD面積的最大值等于走+1,
2
故選:B.
21.(2023?湖北武漢?高三武漢二中??茧A段練習(xí))函數(shù)Ax)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)xNO時(shí),
/(%)=優(yōu)(°>1).若對(duì)任意的%目02+1],均有〃x+f)z"(x)y,則實(shí)數(shù)/的最大值是()
411
A.——B.——C.0D.-
936
【答案】A
【解析】???/(元)是定義在7?上的偶函數(shù),且當(dāng)xNO時(shí),f(x)=ar(a>l),
:.f{x)=(a>1),當(dāng)xNO時(shí)為增函數(shù),
二[/⑴丫=(朋)=°網(wǎng)=/(3x),
則/(x+f)2"(尤)了等價(jià)于/(龍+。之〃3無(wú)),
gp|x+f|>|3x|,即8尤2一2a-產(chǎn)40對(duì)任意xe[02+f|恒成立,
設(shè)g(x)=8九2-2tx—t2,
則有愕,產(chǎn)⑵+丁一9+1)一產(chǎn)皿24
解得一]Wf"a'
14
又21+1>0,**.—<,W—.
29
故選:A.
_2
22.(2023?湖北武漢?高三武漢二中??茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=sin8+=r(O>0)在[0,2]上恰有4
個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
A.竽兀B「3兀,2)J
.[萬(wàn)兀C.I271,-71D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=sinox+*3>0)在[0,2]上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),
—2r-I
則方程sins+*X=0在[0,2]上恰有4個(gè)不同的解,
即方程sinox=占在[0,2]上恰有4個(gè)不同的解,
所以函數(shù)g(x)=sin<ax(0>0)與函數(shù)/z(x)=在[0,2]上恰有4個(gè)不同的交點(diǎn),
7_44
因?yàn)楹瘮?shù)飄了)=—^r=-1+—且了=」\在[0,2]上單調(diào)遞減,
人"I乙J\/十乙%十乙
所以函數(shù)函數(shù)飄了)=三|在[0,2]上單調(diào)遞減,且/?(0)=1,飄2)=0,
函數(shù)g(無(wú))=sin8(0>O)是由,=sinx函數(shù)圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,倍,
CD
作出兩個(gè)函數(shù)圖象,如圖:
要使函數(shù)g(x)=sin0x(0>O)與函數(shù)/z(x)="|^在[0,2]上恰有4個(gè)不同的交點(diǎn),
由圖知:g(x)=sins3>0)的周期T滿足=3TW2<2T,所以3三?!?〈4把Ji,
2coco
所以音Vo<2兀,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為g,2兀]
故選:B
23.(2023?湖北?高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)/(x)=2sin(x+5)+cos2x的最大值為(
A.1+72B."C.2忘D.3
【答案】B
【解析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得/(x)=2sinI+j+sin2(x+£|,令人》+二,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為
,(e)=2sine+sin2。,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)的最值,即可得解;因?yàn)?/p>
/(%)=2sinIx+—I+cos2x
所以/(%)=2sinlx+—l+sin2l%+—I=2sinlx+—l+2sinlx+—IcosIx+—
令e=x+工
4
貝ij/(,)=2sin,+2sin,cos,=2sin8+sin2,
則f(°)=2cos0+2cos20=2(2cos26—1)+2cos9=4cos28+2cos6-2
令/'(8)=。,得cos<9=-l或cos6=;
當(dāng)—l<cos夕<5時(shí),/'(夕)<0;/<cos6<l時(shí)/(。)>0
所以當(dāng)cosO=g時(shí),取得最大值,此時(shí)sinO=]
所以小)=2x立+2x£L辿
\'max2222
故選:B
二、多選題
24.(2023?廣東佛山?高三統(tǒng)考階段練習(xí))如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=3,△BCD是邊長(zhǎng)為
2的正三角形,平面ABC1平面3co,點(diǎn)尸滿足BP=4BC+〃BA,2e[0,l],^G[0,1],貝IJ()
A.當(dāng)時(shí),尸CD的面積為定值
B.當(dāng)〃=。時(shí),|。尸|的長(zhǎng)度的取值范圍為[6,2]
C.當(dāng)〃=g時(shí),存在點(diǎn)尸,使得BPLDP
D.當(dāng)22+〃=1時(shí),存在點(diǎn)尸,使得。P_L平面ABC
【答案】BD
【解析】取3C中點(diǎn)。,連接A。,。。,由題意可知AOLBCDOLBC,
又平面ABC」平面BCD,平面ABCc平面3CD=3C,所以AO_LDO,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則&(0,0,20)、3(1,0,0)、C(-l,0,0),D(0,V3,0),
因?yàn)锽P=/IBC+〃BA,所以尸卜22-〃+1,0,2?).
當(dāng)2=g時(shí),網(wǎng)-〃,0,2a)為動(dòng)點(diǎn),PCD的面積不是定值,故A錯(cuò)誤;
當(dāng)〃=0時(shí),「(1—240,0),|£>尸|=422-1)2+3,又因?yàn)閛w/Wl,
所以|DP|e[若,2],故B正確;
當(dāng)〃=;時(shí),P〔g_22,0,后)
所以8P=];_2尢0,應(yīng)[,。尸=];-22,一百,0),BPDP=0,
所以122-g:+2=0無(wú)解,所以不存在這樣的點(diǎn),故C錯(cuò)誤;
當(dāng)22+〃=1時(shí),尸(0,0,20〃),則尸在y軸上,只有尸與原點(diǎn)重合時(shí),。尸,平面ABC,故D正確.
故選:BD
25.(2023?廣東佛山?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知log?尤=log3y=logsz,則下列不等式可能成立的是()
A.0<z<y<x<lB.l<z<y<x
C.0<Z<X2<^<1D.\<y<z<x2
【答案】AC
【解析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)S=log2f,=log3f,S=log5/的圖象,
從圖中可以看出,當(dāng)X,y,Z均在區(qū)間(0,1)時(shí),有0<z<y<x<l,
當(dāng)x,>,z均在區(qū)間(l,+oo)時(shí),有l(wèi)<x<y<z,故A正確,B錯(cuò)誤;
由于logzX=log/?,所以有l(wèi)og3y=1。8/2=log5z,
作出函數(shù)s=log/,=log3?,s=logs/的圖象,類似地可以得出C正確,D不正確.
故選:AC.
26.(2023?廣東珠海?高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x),尸(x)是其導(dǎo)函數(shù),恒有
則()
sinxcosx
C./圖<2cosl"⑴D.?>2/(l)cosl
【答案】AD
【解析】因?yàn)樗詓in尤>0,cosx>0,又』⑴>21^1,
所以f'(x)cosx>f(x)sinx,
構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)cosx,則g'(x)=7'(x)cosx--(x)sinx>0,
所以g(x)在(0,[上為增函數(shù),
因?yàn)樗詆3]>gC即后卜^>/£|嶗,即/國(guó)>后田,故A正確;
因?yàn)闅?,所以《小丹即舟嘖故佃>由口故B錯(cuò)誤;
因?yàn)?<1,所以g[)<g⑴,即小吟</⑴COS1,故/])<W)cosl,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)樗?gt;1,所以即/[f卜s]>"l)cosl,故了\)>2/⑴cosl,故D正確.
故選:AD
27.(2023?廣東廣州?高三華南師大附中??茧A段練習(xí))已知ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。,
b,c,且,=而,bcosC+ccosB=2,若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn),。是AC的中點(diǎn),點(diǎn)。是ABC所在平面內(nèi)
一點(diǎn),OA+2OB+3OC=0,則下列說(shuō)法正確的是()
A.若(AB+AC>3C=0,貝1]刖+相=6
B.若CA在C5方向上的投影向量為CB,則|尸。|的最小值為典
114
C.若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),則2OP+OQ=。
(_、
4R
D.若?~|+|~?BC=0,則APAB+AC為定值18
〔網(wǎng)lACU
【答案】ACD
【解析】如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接。E,:反osC+ccos3=2,由余弦定理可得:
]a2+b2-c2a2+c2-b2.2a2
b,----------Fc----------------=2,??-----=2,..。=2,
lablac2a
又。A+2O3+3OC=0,OA+OC=-2(O8+OC),:.2OQ=-2x(2OE^,;.OQ=-2OE,
對(duì)A選項(xiàng),?.,(A8+ACbBC=0,.??2AE-BC=0,又E為中點(diǎn),
??BE=-BC=—ci=l,又AB=c=V10'??AE=AB2—BE2=J10-1=3,
:.\AB+AC\=\2AE\=6,故A選項(xiàng)正確;
對(duì)B選項(xiàng),在CB方向上的投影向量為CB,;?AS13C,又。是AC的中點(diǎn),尸在8c上,.?.當(dāng)尸。,3c
時(shí),P。最小,此時(shí)產(chǎn)。=345=半,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)C選項(xiàng),若點(diǎn)尸為2C的中點(diǎn),即尸與E點(diǎn)重合,:OQ=-2OE,。。=-2。尸,
/.2OP+OQ=Q,故C選項(xiàng)正確;
(\
對(duì)D選項(xiàng),:[?~網(wǎng)r+|~網(wǎng)?BC=0,.?./A4c的平分線與BC垂直,
...一ABC是以3C為底邊的等腰三角形,又由A選項(xiàng)分析知AE=3,
/.根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知AP-AE=|AE|2=9,
AP-^AB+AC)=AP-(2AE)=2AP-AE=2x9=1S,故D選項(xiàng)正確.
故選:ACD.
28.(2023?廣東廣州?高三華南師大附中??茧A段練習(xí))已知數(shù)列{。"}滿足%=1,。盧限=e%-1,則()
A.{4}為單調(diào)遞減數(shù)列B.??+1>1a?
(2儼
C.”2〃+1+“2〃-1<2a2nD.%024I~I
【答案】ABD
【解析】由題意可得e%"=£^,
an
對(duì)于A,令g(x)=e「xT,則g")=e*-l,所以g(x)在(0,+e)單調(diào)遞增,在(-力,0)單調(diào)遞減,所以
g(x)>g(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,
若?!?i=。,又a"e""'=e""-1,則%=e"”-l得,則4+i=a“=a._i==4=。與題設(shè)矛盾,所以4產(chǎn)。,
設(shè)/z(x)=e*-l-xe”,則”(無(wú))=-xe*,當(dāng)x>0時(shí),//(x)單調(diào)遞減,當(dāng)尤<0時(shí),/zf(x)>0,h[x)
單調(diào)遞增,
所以〃(x)V/z(0)=。,即/一1W屁*,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,所以。“e“”>e"”-1,
I—[e"i—1e—]
由8(%)=/-X-120可知當(dāng)%>0時(shí),---->1,則%=1,e^2=---------=------->1,即。2〉。,
xax1
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