2024年高考數(shù)學(xué)：新定義型二次函數(shù)問題（重點(diǎn)突圍）(學(xué)生版)

高考復(fù)習(xí)材料

新定義型二次函數(shù)問題

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】..................................................................................1

【考向一新定義型二次函數(shù)問題】..........................................................1

1

【直擊中考】

【考向一新定義型二次函數(shù)問題】

例題：（2023秋?江西南昌?九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)

歷了如下過程：

⑴已知拋物線夕=-工2+&-3經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）,貝16=,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0,1）

成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是.

抽象感悟：

我們定義：對(duì)于拋物線>=如2+加+世。彳0）,以>軸上的點(diǎn)M（0,加）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的

拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線"，點(diǎn)〃為"衍生中心

⑵已知拋物線丁=-工2-2工+5關(guān)于點(diǎn)（0,加）的衍生拋物線為了，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求加的取值范

圍.

問題解決：

（3）已知拋物線y=加+2"-6（。手0）.

①若拋物線》的衍生拋物線為了=b/-2法+/優(yōu)/0）,兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求

a,b的值及衍生中心的坐標(biāo);

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②若拋物線V關(guān)于點(diǎn)（o,左+1）的衍生拋物線為M，其頂點(diǎn)為4；關(guān)于點(diǎn)（0,%+2）的衍生拋物線為%,其

頂點(diǎn)為4；…；關(guān)于點(diǎn)（0,后+的衍生拋物線為州，其頂點(diǎn)為4,...（“為正整數(shù)）.求447的長(zhǎng)（用含〃

的式子表示）.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?浙江紹興?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：同時(shí)經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)，（加，0），3（力，0）（加H"）的兩條拋物

線稱為同弦拋物線.如拋物線。|7=（》-1）@-3）與拋物線。27=2（》-1）。-3）是都經(jīng)過（1,0）,（3,0）的同弦拋

物線.

⑴引進(jìn)一個(gè)字母，表達(dá)出拋物線。的所有同弦拋物線；

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⑵判斷拋物線。3：了=5%2-\%+1與拋物線￡是否為同弦拋物線，并說明理由；

⑶已知拋物線是G的同弦拋物線，且過點(diǎn)（4,5）,求拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值.

2.（2022?九年級(jí)單元測(cè)試）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：

定乂：如果—■次函數(shù)y—qx++C］（qW0,%,,q是吊數(shù)）與y—+b/+<?2（6/2*。，。2，%，。2是常

數(shù)）滿足％+出=。，4=4，c1+c2=o,則稱這兩個(gè)函數(shù)互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)求了=-/+3元-2函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)

函數(shù)

小明是這樣思考的：由y=-/+3x-2函數(shù)可知為=-1,4=3,。=-2,根據(jù)％+出=。，4=4，

弓+。2=0求出。2，&，。2，就能確定這個(gè)函數(shù)的"旋轉(zhuǎn)函數(shù)

請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問題：

⑴寫出函數(shù)了=*+3彳-2的"旋轉(zhuǎn)函數(shù)"；

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⑵若函數(shù)必=/-三X+"與％=_/+_3互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)〃，求(/?+?)2016的值；

(3)已知函數(shù)y=；(x-l)(x+4)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱點(diǎn)分別是4、B”試證明經(jīng)過點(diǎn)4、片、G的二次函數(shù)與函數(shù)y=；(x-l)(x+4)互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)

3.(2021秋?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考期中)定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作"同軸對(duì)稱拋

物線

例如：丁=(x-1)。-2的"同軸對(duì)稱拋物線"為y=-(x-l)2+2.

⑴請(qǐng)寫出拋物線了=(x-l)2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對(duì)稱拋物線"夕=-。-17+2的頂點(diǎn)坐

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標(biāo)；寫出拋物線y=-](x-l)2+；的"同軸對(duì)稱拋物線”為.

⑵如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)3是拋物線人了="2-4辦+1上一點(diǎn)，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)8作x

軸的垂線，交拋物線工的"同軸對(duì)稱拋物線"于點(diǎn)C,分別作點(diǎn)8、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)9、C,

連接2C、CC、B'C'、BB',設(shè)四邊形88'C'C的面積為S(S＞。).

①當(dāng)四邊形88'C'C為正方形時(shí)，求。的值.

②當(dāng)拋物線工與其"同軸對(duì)稱拋物線"圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)

時(shí)，請(qǐng)求出。的取值范圍.

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4.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】

定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（xj）,若x,y都可以用同一個(gè)字母表示，那么點(diǎn)尸的運(yùn)

動(dòng)路徑是確定的.若根據(jù)點(diǎn)尸坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式

的過程叫做將點(diǎn)"去隱

例如，將點(diǎn)即加+1,-加+1）（〃?為任意實(shí)數(shù)）"去隱"的方法如下：

設(shè)x=m+1①,y=-m+1②,

由①得加=x-l③

將③代入②得歹=一（1）+1,整理得y=r+2,

則直線V=-X+2是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑.

【遷移應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系工勿中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)（。為任意實(shí)數(shù)）的運(yùn)動(dòng)路徑是拋物

備用圖

⑴請(qǐng)將點(diǎn)。"去隱"，得到該拋物線表達(dá)式；

⑵記（1）中拋物線為沙（如圖），少與x軸交于點(diǎn)，，B（/在8的左側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)C,現(xiàn)將少進(jìn)行平

移，平移后的拋物線少'始終過點(diǎn)/，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'.

i）試確定點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

ii）在直線x=-2的左側(cè)，是否存在點(diǎn)C',使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C'的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

5.（2022秋?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）定義若拋物線

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y=ax2+bx+c（a#0）與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則稱拋物線為直線的"雙幸運(yùn)曲線"，其交點(diǎn)為該直線的"幸運(yùn)

點(diǎn)”.

⑴已知直線解析式為y=下列拋物線為該直線的"雙幸運(yùn)曲線〃的是；（填序號(hào)）

①y=x?+1；（2）,y=x2+x-2；（3）y=x2-x；

⑵如圖，已知直線/：y=x-4,拋物線y=f2-3x為直線/的“雙幸運(yùn)曲線"，"幸運(yùn)點(diǎn)"分別為A、B,在

直線/上方拋物線部分是否存在點(diǎn)尸使△尸4B面積最大，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值和點(diǎn)尸坐標(biāo)，若不存

在，請(qǐng)說明理由；

（3）已知X軸的“雙幸運(yùn)曲線"尸江+6x+c（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)（1,3）,（0,-2）,在x軸的"幸運(yùn)點(diǎn)”分

別為“、N,試求兒W的取值范圍.

6.（2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與無(wú)軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍

成的封閉曲線稱為“月牙線"，如圖①，拋物線G：y=N+2x-3與拋物線。2：y=aN+2ax+c組成一個(gè)開口

向上的“月牙線"，拋物線G和拋物線。2與％軸有著相同的交點(diǎn)/（-3,0）、B（點(diǎn)8在點(diǎn)/右側(cè)），與y

軸的交點(diǎn)分別為G、X（0,-1）.

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⑴求拋物線。2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo).

⑵點(diǎn)”是X軸下方拋物線G上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作"N1X軸于點(diǎn)N,交拋物線。2于點(diǎn)。，求線段"N與線段

0M的長(zhǎng)度的比值.

⑶如圖②，點(diǎn)￡是點(diǎn)“關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG,在x軸上是否存在點(diǎn)R使得△EFG是以

EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7.（2022秋?安徽淮北?九年級(jí)淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興趣小組對(duì)二次函數(shù)

的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)了="2+云+°（。/0）圖象上的點(diǎn)/（xj）的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)

變?yōu)锳點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)4（x，x+W，他們把這個(gè)點(diǎn)4定義為點(diǎn)A的"簡(jiǎn)樸"

點(diǎn).他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)了="2+區(qū)+0,/0）所有簡(jiǎn)樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線

定義為尸辦2+6x+c（aw0）的"簡(jiǎn)樸曲線”.例如，二次函數(shù)y=x?+x+l的"簡(jiǎn)樸曲線"就是

y=x2+x+l+x=x2+2x+l,請(qǐng)按照定義完成：

⑴點(diǎn)P（l,2）的"簡(jiǎn)樸"點(diǎn)是；

⑵如果拋物線了="2-7x+3（aw0）經(jīng)過點(diǎn)求該拋物線的"簡(jiǎn)樸曲線"；

⑶已知拋物線尸x2+6x+c圖象上的點(diǎn)孫簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是4（-1」），若該拋物線的‘簡(jiǎn)樸曲線"的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（私”），當(dāng)04CW3時(shí),求"的取值范圍.

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8.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：若二次函數(shù)y=%（x-〃）2+后的圖象記為￡,其頂點(diǎn)為/（瓦k）,二次

函數(shù)＞=的（》-左）2+4的圖象記為C2,其頂點(diǎn)為3（左，h）,我們稱這樣的兩個(gè)二次函數(shù)互為"反頂二次函

數(shù)”.

分類一：若二次函數(shù)Gf=%（x-〃丫+左經(jīng)過02的頂點(diǎn)3,且C2：y=g（x-左）?+/7經(jīng)過G的頂點(diǎn)4我們

就稱它們互為"反頂伴侶二次函數(shù)

⑴所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是命題.（填嗔"或"假"）

⑵試求出了=f-4x+5的"反頂伴侶二次函數(shù)

⑶若二次函數(shù)G與互為"反頂伴侶二次函數(shù)"，試探究為與電的關(guān)系，并說明理由.

⑷分類二：若二次函數(shù)￡:y=%（x-〃）2+左可以繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。得到二次函數(shù)。2；y=a2（x-k^+h,我

們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)

①任意二次函數(shù)都有"反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)"是命題.（填"真"或"假"）

②互為"反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)"的對(duì)稱中心點(diǎn)〃有什么特點(diǎn)？

③如圖，。，C?互為"反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點(diǎn)￡,尸的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)0,G,且EF〃G0〃x軸，當(dāng)四

邊形EFQG為矩形時(shí)，試探究二次函數(shù)G，的頂點(diǎn)有什么關(guān)系.并說明理由.

9.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）定義：將二次函數(shù)/的圖象沿x軸向右平移再沿x軸翻折，得到新函數(shù)

/'的圖象，則稱函數(shù)/'是函數(shù)/的值衍生拋物線已知/：y=N-2x-3.

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⑴當(dāng)f=-2時(shí)，

①求衍生拋物線/'的函數(shù)解析式；

②如圖1,函數(shù)/與/'的圖象交于M(-石，n),N(m,-26)兩點(diǎn)，連接政V.點(diǎn)P為拋物線/'上一點(diǎn),

且位于線段肱V上方，過點(diǎn)尸作尸。lly軸，交MN于點(diǎn)、Q,交拋物線/于點(diǎn)G,求&0NG與%PNG存在的

數(shù)量關(guān)系.

(2)當(dāng)f=2時(shí)，如圖2,函數(shù)/與x軸交于/,B兩點(diǎn),與歹軸交于點(diǎn)C